用“轉(zhuǎn)化與構(gòu)造”求解向量中的最值問(wèn)題

☉湖北大學(xué)附屬中學(xué) 章雄鋼

2017年版高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)“四基”“四能”，將“三維目標(biāo)”整合、內(nèi)化、升華為“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，體現(xiàn)了新時(shí)代對(duì)數(shù)學(xué)課程育人的要求：用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.

平面向量是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中既重要又基本的概念之一，它是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來(lái)的，是對(duì)某些自然事物高度概括抽象的結(jié)果，它是溝通幾何、代數(shù)的重要橋梁，是認(rèn)識(shí)多維空間的基礎(chǔ)，是研究相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題、解決物理學(xué)和工程技術(shù)的重要工具.高中階段平面向量一章的內(nèi)容可以簡(jiǎn)單概括為“234n”，即：兩個(gè)定理、三種法則、四種運(yùn)算、n個(gè)概念，其中蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、坐標(biāo)法等數(shù)學(xué)思想方法.向量有用，關(guān)鍵是它具有一套良好的運(yùn)算性質(zhì)，能實(shí)現(xiàn)“形”與“數(shù)”的互化，從而解決各種“形”與“數(shù)”的問(wèn)題，其解決問(wèn)題的路徑簡(jiǎn)而言之為：“形到向量”?“向量的運(yùn)算”?“向量和數(shù)到形”.用“轉(zhuǎn)化與構(gòu)造”的方法求解向量中的最值問(wèn)題就是最好的案例，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的好載體.

一、“轉(zhuǎn)化”讓求解向量中的最值問(wèn)題程序化

轉(zhuǎn)化是極其重要的數(shù)學(xué)思想方法，是實(shí)現(xiàn)由難到易、由繁到簡(jiǎn)、由未知到已知的關(guān)鍵.平面向量有兩個(gè)解決問(wèn)題的至尊法寶：平面向量基本定理和坐標(biāo).通常將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到“基底”和“坐標(biāo)”表示的情境中，再利用相關(guān)定理和性質(zhì)解決問(wèn)題.

圖1

例1如圖1，在平面四邊形ABCD 中 ，AB⊥BC，AD ⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1. 若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____.

分析：|cos∠AEB，、cos∠AEB均為變量，是一個(gè)“動(dòng)態(tài)問(wèn)題”，需要將其轉(zhuǎn)化為“靜態(tài)問(wèn)題”來(lái)解決，通常采用的解決方法是“基底法”和“坐標(biāo)法”，用相關(guān)的定理、性質(zhì)解決問(wèn)題，體現(xiàn)了“程序化”特點(diǎn).

解法1：選取為基底，設(shè)t（t≥0），

圖2

向量題是高考的?？碱}，實(shí)踐證明，在解決有關(guān)向量問(wèn)題時(shí)，一是要善于運(yùn)用向量的各種運(yùn)算解決問(wèn)題，以體現(xiàn)出運(yùn)用向量處理問(wèn)題的優(yōu)越性；二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化的思想，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題上的作用.“基底法”是根據(jù)平面向量基本定理，化未知為已知，化零亂為有序，在統(tǒng)一的表達(dá)方式下利用定理、性質(zhì)解決問(wèn)題.“坐標(biāo)法”通過(guò)巧妙地建立平面直角坐標(biāo)系，構(gòu)建起代數(shù)與幾何聯(lián)系的橋梁，從而利用代數(shù)語(yǔ)言翻譯已知條件和所求結(jié)論，借助代數(shù)運(yùn)算解決問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)以形思數(shù)，以數(shù)解形的化歸與轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程思想.坐標(biāo)法解決問(wèn)題通常有三個(gè)步驟：第一，建立直角坐標(biāo)系；第二，將向量用坐標(biāo)表示；第三，代入式子進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算.

二、“構(gòu)造”讓求解向量中的最值問(wèn)題圖形化

在解決向量數(shù)量積的最值時(shí)，根據(jù)向量的“方向”、“大小”的二元特性，在解決向量問(wèn)題時(shí)，可以構(gòu)造圓，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓的性質(zhì)、三角形中的正弦定理或余弦定理等來(lái)解決問(wèn)題；也可以聯(lián)想向量加法的“三角形法則”、“平行四邊形法則”等構(gòu)造三角形或平行四邊形解決問(wèn)題.通過(guò)“構(gòu)造”有效的圖形，讓向量問(wèn)題“圖形化”.與學(xué)生對(duì)平面幾何的認(rèn)知勾連起來(lái)，“構(gòu)造”容易識(shí)別的函數(shù)模型，讓向量問(wèn)題“代數(shù)化”與函數(shù)、不等式等知識(shí)勾連起來(lái)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)、方法和能力的同化.

例2如圖3，在△ABC中，已知，AC=2，則的最大值是______；最小值是______.

分析：在△ABC中，對(duì)邊與對(duì)角是定值，則外接圓的半徑為定值，聯(lián)想并構(gòu)造三角形外接圓.

解：如圖4，構(gòu)造△ABC的外接圓，

圖4

根據(jù)向量的幾何屬性，構(gòu)造出學(xué)生熟悉的圖形，讓解題更直觀，化難為易.讓學(xué)生利用已知知識(shí)解決新問(wèn)題的過(guò)程，正是提升學(xué)生思維品質(zhì)的過(guò)程，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性、趣味性、創(chuàng)新性，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)課程在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)中的作用.

三、“轉(zhuǎn)化與構(gòu)造”讓求解向量中的最值問(wèn)題模型化

學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成，其實(shí)質(zhì)就是在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，首先形成數(shù)學(xué)場(chǎng)域里的思維方式、解決問(wèn)題的方法，并理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，然后將形成的思維方式、解決問(wèn)題的方法遷移到實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)域中去解決問(wèn)題.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特點(diǎn)，核心素養(yǎng)外顯的形式即解決問(wèn)題方法的模型化，并根據(jù)學(xué)生學(xué)識(shí)的增長(zhǎng)，不斷優(yōu)化這些模型.上述案例顯示，學(xué)生在求解向量中的最值問(wèn)題時(shí)，可以形成解決問(wèn)題的模型.

例3已知a、b是平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量，若向量c滿(mǎn)足（a-c）·（b-c）=0，則|c|的最大值是多少？

分析：如圖5，a⊥b?OA⊥OB?點(diǎn)O在以AB為直徑的圓上，

則O、C兩點(diǎn)都在以AB為直徑的圓上，OC是此圓的弦，因此，可以通過(guò)構(gòu)造圓來(lái)解決問(wèn)題.

圖5

解法1：（構(gòu)造法）如圖5，構(gòu)造圓，得弦OC的長(zhǎng)=|c|≤直徑AB=，即|c|max=.

解法2：（轉(zhuǎn)化法）因?yàn)閨a|=|b|=1，a·b=0，所以|a+b|=.

因?yàn)椋╝-c）·（b-c）=0，所以a·b-（a+b）·c+|c|2=0.

所以|c|2=（a+b）·c=|a+b·||c|cosθ=|c|cosθ（θ=〈a+b，c〉）.

解法3：（坐標(biāo)法、構(gòu)造法） 設(shè)a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y），

平面向量中的最值問(wèn)題的求解是強(qiáng)化學(xué)生“四基”，培養(yǎng)學(xué)生“四能”的良好的載體，我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中要有效利用.求解平面向量中的最值問(wèn)題，方法很多，但其本質(zhì)是圍繞充分利用向量的基本知識(shí)、基本思想和處理向量問(wèn)題的基本技能、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)展開(kāi)的，在“教”與“學(xué)”的過(guò)程中，根據(jù)問(wèn)題背景，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)并明確問(wèn)題的本質(zhì)是什么，并利用已有學(xué)識(shí)，通過(guò)分析，給出問(wèn)題解決的方案.在這個(gè)過(guò)程中，其工具是“轉(zhuǎn)化”和“構(gòu)造”，在轉(zhuǎn)化、構(gòu)造過(guò)程中聯(lián)想與向量相關(guān)的函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、坐標(biāo)化思想等，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題、知識(shí)、方法等本質(zhì)上的關(guān)聯(lián)，以解決問(wèn)題.W