厘清教材脈絡(luò) 探明解題思路
——平面向量最值問題的解決途徑

☉安徽省淮南市教育體育局中小學(xué)教研室 蘇里陽

平面向量兼具“數(shù)”和“形”的特點(diǎn)，是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的有力工具，作為高考必考內(nèi)容之一備受命題者的青睞，考題一般具有小巧靈活的特點(diǎn)，解法多樣，且魅力獨(dú)特.縱覽該部分內(nèi)容，幾何中的全等、相似、平行、垂直等關(guān)系在向量的概念引入后就可以轉(zhuǎn)化為向量的加（減）法、數(shù)乘向量、數(shù)量積等運(yùn)算，從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系，因此向量的線性運(yùn)算具有深刻的幾何意義.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，向量的坐標(biāo)運(yùn)算實(shí)際上是向量的代數(shù)表示，引入向量的坐標(biāo)表示可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化，這就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生所熟悉的代數(shù)運(yùn)算.向量的數(shù)量積把向量的長度和三角函數(shù)聯(lián)系起來，利用向量數(shù)量積可以解決夾角、模長、距離等問題.下面從“數(shù)”和“形”兩個角度，分別談?wù)勂矫嫦蛄康淖钪祮栴}的解決途徑.

一、從“形”的視角

1.圖形法

圖形法是指結(jié)合向量的幾何意義并利用圖形表示來解決問題的方法.向量的運(yùn)算引入后，其工具性作用才能得到充分的發(fā)揮，在引進(jìn)一種向量運(yùn)算后，總是要考查一下它的幾何意義，向量的線性運(yùn)算的幾何意義主要是結(jié)合平行四邊形和三角形來講述的.正因?yàn)橄蛄窟\(yùn)算的幾何意義，才使得向量在解決幾何問題時(shí)可以發(fā)揮很好的作用.

圖1

例1（2018年浙江高考第9題） 已知a，b，e是平面向量，e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2-4e·b+3=0，則|a-b|的最小值是（ ）.

解法1：由b2-4e·b+3=0，得（b-e）·（b-3e）=0.設(shè)b=.所以=0.取EF的中點(diǎn)為C，則B在以C為圓心，EF為直徑的圓上，如圖1，設(shè)a=作射線OA，使得，則|a-b|=（|a-2e）.故選A.

解法2：因?yàn)閎2-4e·b+3=0，所以（b-2e）2=1，|b-2e|=1.把a(bǔ)，b，e的起點(diǎn)作為公共點(diǎn)O，則b的終點(diǎn)在以點(diǎn)C為圓心，半徑為1的圓上，|a-b|就是線段AB的長度.要求|AB|的最小值即求圓上動點(diǎn)B到定直線OA的距離的最小值，也就是圓心C到直線OA的距離減去圓的半徑，因此|a-b|的最小值為1.

本題乍一看讓人無從下手，仔細(xì)揣摩題干中的條件b2-4e·b+3=0，可以轉(zhuǎn)化為兩向量垂直或向量模長為1，然后利用圖形，則其數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系在圖形中一目了然，從而使問題能夠快速且準(zhǔn)確地得到解決.

2.基底法

基底法是指利用平面向量的基本定理和向量的線性運(yùn)算來解決問題的方法，根據(jù)題設(shè)條件選擇兩個模長和夾角已知或易求的不共線的向量作為基底，將所求向量用此基底表示出來，從而把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于已知向量的計(jì)算問題.

例2設(shè)平面向量α，β滿足|α+2β|=3，|2α+3β|=4，則α·β的最小值為______.

破解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)向量α+2β和2α+3β的模長已知，選擇=α+2β與=2α+3β作為基底，利用平面向量的線性運(yùn)算表示出α，β，進(jìn)而借助向量的數(shù)量積的定義式來進(jìn)行求解.

二、從“數(shù)”的視角

1.坐標(biāo)法

坐標(biāo)法是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將已知條件和所求問題用坐標(biāo)表示出來，然后將向量問題完全代數(shù)化，進(jìn)而解決問題的方法.向量問題中如果含有具有垂直關(guān)系的圖形，或者是考查函數(shù)以及與解析幾何相關(guān)的問題都可以考慮用坐標(biāo)法.

例3（2018年天津高考理科第8題）如圖2，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，若點(diǎn)E為邊CD上的動點(diǎn)，則A■→E·B■→E的最小值為（ ）.

圖2

圖3

解：由四邊形的特殊性，分別以DA，DC所在的直線為x軸、y軸建立如圖3的直角坐標(biāo)系，則A（1，0），），D（0，0），又點(diǎn)E在邊CD上，設(shè) E（0，t），且 t∈［0，］，故=（-1，t），=），所以又因?yàn)閠∈］，所以當(dāng)時(shí)有最小值故選A.

2.數(shù)量化

數(shù)量化是指已知向量關(guān)系式，要求代數(shù)式的最值，可以利用數(shù)量積運(yùn)算將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量等式，找出變量之間的聯(lián)系，進(jìn)而破解最值問題.

例4平行四邊形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=120°，P是平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且AP=1，若，則3x+2y的最大值為______.

三、數(shù)與形結(jié)合，解題更省力

例5 已知向量a，b滿足|a|=1，且對任意實(shí)數(shù)x，y，|axb|的最小值為，|b-ya|的最小值為，則|a+b|=（ ）.

解法1：設(shè)a=（1，0），b=（m，n），

因?yàn)閨a-xb|2=（1-xm）2+（-xn）2=（m2+n2）x2-2mx+1，且對任意的x∈R有|a-xb|的最小值為，所以可得，化簡得n2=3m2.同理由|b-ya|的最小值為，得m=±1，所以n2=3.故|a+b|2=（1+m）2+n2=7或3.故答案選C.

所以a·b=1或-1，所以|a+b|2=a2+b2+2ab=7或3，故|a+b|=或.故選C.

平面向量有關(guān)最值問題的解題途徑實(shí)際上都源于基本的轉(zhuǎn)化與化歸思想，在平時(shí)學(xué)習(xí)中應(yīng)予以重視.從整體上把握教材的知識脈絡(luò)，通過圖形法、基底法、坐標(biāo)法、數(shù)量化等策略可以有效應(yīng)對此類題型.只要我們能重視考查知識的來龍去脈，遵循解題的基本規(guī)律，抓住平面向量的本質(zhì)——溝通代數(shù)與幾何的橋梁，認(rèn)真分析已知和所求之間的聯(lián)系，多角度地去解讀，并進(jìn)行對比、分析，反復(fù)琢磨，積累更多的經(jīng)驗(yàn)就能做到舉一反三、觸類旁通.W