思維在多解中提升，素養(yǎng)在探究中發(fā)展
——一道有關(guān)拋物線的阿基米德焦點三角形問題

☉四川省南充高級中學(xué) 胡 敏

拋物線的弦與過弦的兩端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形.有關(guān)拋物線的阿基米德三角形在近年高考、自主招生、競賽以及一些模擬卷中經(jīng)常出現(xiàn)，且背景各異，?？汲Ｐ?，變化多端，有時以選擇題或填空題的形式單獨出現(xiàn)，有時出現(xiàn)在解答題當(dāng)中，并與相關(guān)的圓錐曲線問題加以交匯與綜合.了解涉及阿基米德三角形的一些知識，對于解決問題很有幫助，也可以在很大程度上拓展知識面.

一、問題呈現(xiàn)

問題（2019屆四川省成都市高三模擬·16）已知F為拋物線C：x2=4y的焦點，過點F的直線l與拋物線C相交于不同的兩點A，B，拋物線C在A，B兩點處的切線分別是l，l，且l，l相交于點P，則的最小值為______.1212

本題中對應(yīng)的△PAB就是一個特殊的阿基米德三角形.常規(guī)的破解方法是利用函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化法來處理，即設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線C聯(lián)立并化簡得x2-4kx-4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|AB|=y1+y2+p=k（x1+x2）+4，對x2=4y兩邊求導(dǎo)得y′=x，故切線PA的方程為（x-x1），切線PB的方程為（x-x），聯(lián)立可解得P點坐標(biāo)，進而代入2，最后利用導(dǎo)數(shù)法、均值不等式法等方法來確定最值.

二、試題解析

解析：設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

結(jié)合拋物線的定義可得|AB|=y1+y2+p=k（x1+x2）+2+2=4k2+4，

對x2=4y兩邊求導(dǎo)可得，故切線PA的方程為，切線PB的方程為

解法1：（導(dǎo)數(shù)法：涉及含參的函數(shù)問題，通過換元思維來構(gòu)造對應(yīng)的函數(shù)，通過求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)為零所對應(yīng)的零點即函數(shù)極值點來確定相應(yīng)的最值問題，是解決含參函數(shù)最值的常見思維.）

解法2：（均值不等式法：對于含參的函數(shù)問題，通過相應(yīng)代數(shù)式的配湊，結(jié)合代數(shù)式的特征，借助三次均值不等式的應(yīng)用來確定對應(yīng)的最值問題.利用均值不等式確定最值時，要注意對相應(yīng)的代數(shù)式進行合理且正確的配湊與轉(zhuǎn)化，這也是解決問題的關(guān)鍵所在.）

點評：破解此類問題常規(guī)的思維方式就是通過設(shè)出對應(yīng)的直線方程，利用直線與拋物線的位置關(guān)系加以轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)與方程的思想求解對應(yīng)的弦長、直線方程以及其他相關(guān)的問題，進而利用導(dǎo)數(shù)法、三角函數(shù)法、基本不等式（或均值不等式）法等來確定其最值，從而得以破解.

三、模型歸納

其實，以上過焦點的弦所對應(yīng)的阿基米德三角形是一個更為特殊的三角形.過拋物線C的焦點F作拋物線C的弦，與拋物線C相交于不同的兩點A，B，拋物線C在A，B兩點處的切線分別是l1，l2，且l1，l2相交于點P，那么△PAB就稱為阿基米德焦點三角形.

該阿基米德焦點三角形有以下幾個特征：

（1）P必在拋物線C的準(zhǔn)線上；

（2）△PAB為直角三角形，且∠P為直角；

（3）PF⊥AB（即符合射影定理）.

利用以上阿基米德焦點三角形的性質(zhì)，可以更加快速且簡捷地來處理以上問題.

分析1：（焦點弦性質(zhì)法1：設(shè)出直線AB的傾斜角θ，借助拋物線的極徑公式確定|AF|與|BF|的代數(shù)式，結(jié)合阿基米德三角形的性質(zhì)并通過直角三角形的射影定理來建立相應(yīng)的關(guān)系式，從而確定|PF|的代數(shù)式，再結(jié)合均值不等式的應(yīng)用，利用配湊法來確定的最小值.）

解法1：設(shè)直線AB的傾斜角為θ，不失一般性，根據(jù)拋物線的對稱性，不妨設(shè)

由阿基米德三角形的性質(zhì)可得PA⊥PB，PF⊥AB，

結(jié)合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF·||BF|=即，那么

分析2：（焦點弦性質(zhì)法2：設(shè)出|AF|=m，|BF|=n，結(jié)合阿基米德三角形的性質(zhì)并通過直角三角形的射影定理來建立相應(yīng)的關(guān)系式，進而得到|PF|2=|AF·||BF|=mn，通過拋物線的焦點弦性質(zhì)的變形與轉(zhuǎn)化得到m+n=mn，進而通過均值不等式的應(yīng)用，利用配湊法來確定的最小值.）

解法2：由阿基米德三角形的性質(zhì)可得PA⊥PB，PF⊥AB，

設(shè)|AF|=m，|BF|=n，則有|AB|=m+n，

結(jié)合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF·||BF|=mn，

則有|AB|=|PF|2=mn，

即mn=16時取等號，

點評：有關(guān)拋物線的焦點弦的相關(guān)性質(zhì)的結(jié)論是我們比較熟悉的，通過這些結(jié)論并結(jié)合阿基米德三角形的性質(zhì)，可以有效提升解題速度，提高解題效益.

四、總結(jié)歸納

其實，除了在拋物線中存在阿基米德三角形及其相關(guān)的結(jié)論外，橢圓與雙曲線中也有類似的阿基米德三角形問題.綜合而言，在圓錐曲線中都存在著對應(yīng)的阿基米德三角形，圓錐曲線的弦與過弦的兩端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形.阿基米德三角形還有很多其他的性質(zhì)，可以通過網(wǎng)絡(luò)查找一些相關(guān)的性質(zhì)，對于發(fā)展與拓展學(xué)生的知識面與思維很有幫助，從而真正地提升深入學(xué)習(xí)的寬度與深度，提高數(shù)學(xué)效益，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素質(zhì)，提升思維品質(zhì).F