應(yīng)注意“內(nèi)”的含義*

☉北京豐臺(tái)二中 甘志國(guó)

一、應(yīng)注意“區(qū)間內(nèi)”和“區(qū)間上”的用法［1］

題1（2012年高考安徽卷理科第19題）設(shè)函數(shù)（fx）b（a＞0）.

（1）求函數(shù)（fx）在［0，+∞）內(nèi)的最小值；

（2）略.

參考答案：（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，（fx）的最小值為b+2（且最小值點(diǎn)為x=-lna）；當(dāng)a≥1時(shí)，（fx）的最小值為b（且最小值點(diǎn)為x=0）；（2）略.

筆者認(rèn)為，這里的“［0，+∞）內(nèi)”應(yīng)改為“［0，+∞）上”.

中國(guó)社會(huì)科學(xué)院語(yǔ)言研究所詞典編輯室編《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》（商務(wù)印書館，2012年第6版）第938頁(yè)給出了“區(qū)間內(nèi)”中的“內(nèi)”的解釋：方位詞，里邊（跟“外”相對(duì)）；第1137頁(yè)給出了“區(qū)間上”中的“上”的解釋：方位詞，用在名詞后，表示在物體的表面，比如臉上、墻上、桌子上.

由此解釋可知“［0，+∞）內(nèi)”就是“（0，+∞）上”，這樣第（1）問(wèn)的答案就應(yīng)當(dāng)是：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）最小值為b+2（且最小值點(diǎn)為x=-lna）；當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）無(wú)最小值.

是用“區(qū)間內(nèi)”還是用“區(qū)間上”，我們先來(lái)看看普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（人民教育出版社，2007年第2版）《數(shù)學(xué)·必修1·A版》（2014年第8次印刷）第28-29頁(yè)及《數(shù)學(xué)·選修2-2·A版》（2014年第1次印刷）第23頁(yè)、第26頁(yè)第4題、第30頁(yè)的相應(yīng)敘述：

（1）一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮：

如果對(duì)于定義域I內(nèi)（筆者認(rèn)為，這里的“定義域I內(nèi)”應(yīng)改為“定義域I上”）某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2），那么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；

如果對(duì)于定義域I內(nèi)（筆者認(rèn)為，這里的“定義域I內(nèi)”也應(yīng)改為“定義域I上”）某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＞f（x2），那么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù).

如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f（x）的單調(diào)區(qū)間.

（2）①一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：

在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)，如果f′（x）＞0，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f′（x）＜0，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

②證明函數(shù)f（x）=2x3+6x2+7在（0，2）內(nèi)是減函數(shù).

③一般地，如果在區(qū)間［a，b］上函數(shù)y=f（x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.

筆者還發(fā)現(xiàn)，《數(shù)學(xué)·必修1·A版》使用的都是“區(qū)間上”，這是準(zhǔn)確的（因?yàn)樗稀吧稀钡暮x）；《數(shù)學(xué)·選修2-2·A版》對(duì)于開(kāi)區(qū)間使用的都是“區(qū)間內(nèi)”，對(duì)于閉區(qū)間使用的都是“區(qū)間上”，這也是準(zhǔn)確的（因?yàn)樗鼈兎謩e符合“內(nèi)”、“上”的含義）.

所以，筆者認(rèn)為，對(duì)于所有的區(qū)間（包括無(wú)窮區(qū)間），都可以說(shuō)“區(qū)間上”；只有開(kāi)區(qū)間（包括區(qū)間端點(diǎn)都取不到的無(wú)窮區(qū)間）才可以說(shuō)“區(qū)間內(nèi)”.對(duì)于不是開(kāi)區(qū)間（包括區(qū)間端點(diǎn)都取不到的無(wú)窮區(qū)間）的區(qū)間，若說(shuō)該區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，就是指不包括該區(qū)間端點(diǎn)的點(diǎn)，這種說(shuō)法我們應(yīng)盡量回避（因?yàn)楹軉?，且絕大多數(shù)讀者都不太熟悉）.

所以，以上（1）中“定義域I內(nèi)”的說(shuō)法也不對(duì)，應(yīng)改為“定義域I上”.

我們?cè)賮?lái)看下面的兩道高考題.

題2（2013年高考江蘇卷第9題）拋物線y=x2在x=1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域?yàn)镈（包含三角形的內(nèi)部和邊界）.若點(diǎn)P（x，y）是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn)，則x+2y的取值范圍是______.

參考答案：

注：筆者認(rèn)為應(yīng)把題目中的“區(qū)域D內(nèi)”改成“區(qū)域D上”，否則正確答案是

題3（2007年高考湖南卷文科第21題）已知函數(shù)（fx）+bx在區(qū)間［-1，1），（1，3］內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn).

（1）求a2-4b的最大值；

（2）當(dāng)a2-4b=8時(shí)，設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線為l，若l在點(diǎn)A處穿過(guò)函數(shù)y=f（x）的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線y=f（x）運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，從l的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)f（x）的表達(dá)式.

解：（1）由題設(shè)可得函數(shù)f（′x）=x2+ax+b在區(qū)間［-1，1），（1，3］內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根，設(shè)為x1，x（2x1

因?yàn)榍芯€l在點(diǎn)A（1，（f1））處穿過(guò)函數(shù)y=（fx）的圖象，所以g（x）=（fx）-（[a+b+1）bx-（a+b+1）在x=1兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，即x=1不是函數(shù)g（x）的極值點(diǎn).

且g（′x）=（x-1）（x+1+a）.

若1≠-（1+a），則x=1是函數(shù)g（x）的極值點(diǎn).所以1=-（1+a），a=-2.再由a2-4b=8，得b=-1，故x.

注：三次曲線在拐點(diǎn)（即對(duì)稱中心，也即二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)）處的切線穿過(guò)該曲線，其余的點(diǎn)處的切線均不會(huì)穿過(guò)該曲線.

建議把題3中的“在區(qū)間［-1，1），（1，3］內(nèi)”改為“在區(qū)間［-1，1），（1，3］上”（這樣較為準(zhǔn)確，因?yàn)椤皡^(qū)間內(nèi)”和“區(qū)間上”的含義不同）.

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)3·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第3版）第68頁(yè)寫道“月均用水量在區(qū)間［2，2.5）內(nèi)的居民最多，在［1.5，2）內(nèi)的次之，大部分居民的月均用水量都在［1，3）之間”，筆者認(rèn)為，這里的“區(qū)間［2，2.5）內(nèi)”，“［1.5，2）內(nèi)”，“［1，3）之間”應(yīng)分別改為“區(qū)間［2，2.5）上”，“［1.5，2）上”，“［1，3）上”.

二、對(duì)一道課本復(fù)習(xí)參考題的改動(dòng)

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)·必修2·A版》（人民教育出版社，2007年第3版）（下簡(jiǎn)稱《必修2》）第35頁(yè)第5題是：

圖1

如圖1，圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面在圓柱底面內(nèi)，并且底面是正三角形.如果圓柱的體積是V，底面直徑與母線長(zhǎng)相等，那么三棱柱的體積是多少？

這里的“內(nèi)”字也用錯(cuò)了，且題設(shè)“底面直徑與母線長(zhǎng)相等”是多余的，所以建議把該題改為：

如圖1，三棱柱ABC-A′B′C′的頂點(diǎn)均在圓柱的底面圓周上，并且三棱柱的底面是正三角形.如果圓柱的體積是V，那么三棱柱ABC-A′B′C′的體積是多少？

三、建議把“直線在平面內(nèi)”改為“直線在平面上”

《必修2》第35-36頁(yè)寫道“幾何體的平面是無(wú)限延展的”.筆者認(rèn)為，準(zhǔn)確地說(shuō)，應(yīng)當(dāng)是“幾何體的平面向各個(gè)方向均是無(wú)限延展的”.

而直線向兩個(gè)方向也均是無(wú)限延伸的，所以“直線在平面內(nèi)”的說(shuō)法有些不妥，建議將其改為“直線在平面上”.

建議把《必修2》中的“直線在平面內(nèi)”均改為“直線在平面上”（《必修2》中相應(yīng)的敘述全是“直線在平面內(nèi)”，沒(méi)有用過(guò)“直線在平面上”的敘述），比如

（Ⅰ）（第41頁(yè)）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

（Ⅱ）（第48頁(yè)）直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種：

（1）直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；

（2）直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

（3）直線與平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn).