剖解立體幾何，探究解題方法

☉江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)公道中學(xué) 葛 艷

☉江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)公道中學(xué) 王 雷

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容，在歷年高考中均占有一定的分值，學(xué)習(xí)和掌握立體幾何問題的解法對(duì)于學(xué)生空間思維的培養(yǎng)與邏輯運(yùn)算的強(qiáng)化有著一定的幫助，本文將以一道立體幾何壓軸題為例，開展試題解讀及多解探析.

一、真題再現(xiàn)，試題解讀

考題（2018年全國卷Ⅲ第19題）如圖1所示，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧C（D所在的平面互相垂直，M是CD上異于C，D的點(diǎn).

圖1

（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）當(dāng)三棱錐M-ABC的體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.

解讀：本考題是高考典型的立體幾何壓軸題，考題有兩問：第（1）問求證面面垂直，第（2）問求解在特定條件下二面角的正弦值.均屬于立體幾何的常見問題，主要考查學(xué)生識(shí)別空間幾何的結(jié)構(gòu)特征、理解面面垂直的證明定理以及二面角等相關(guān)知識(shí).考慮到立體幾何問題的求解過程需要學(xué)生提煉圖形特征，推理幾何條件，開展問題的綜合計(jì)算分析，因此對(duì)學(xué)生的空間想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要求較高.同時(shí)求解該類問題需要學(xué)生采用一些數(shù)學(xué)思想方法，合理利用數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想來簡化分析過程.

二、試題剖析，多解呈現(xiàn)

考題的兩問均屬于立體幾何的代表性問題，問題的求解具有一定的思路：需要根據(jù)幾何特征選取不同的解題視角，從定理出發(fā)來構(gòu)建具體的模型，基于模型來探尋解題條件，并最終完成證明或求解.

1.幾何法破解面面垂直

第（1）問求證面面垂直，可以采用常規(guī)的幾何法，且有以下兩種解題思路.

思路一：提取相關(guān)面中的線線垂直條件，基于線面垂直的判定定理來完成線面垂直的證明，然后基于面面垂直的判定定理來構(gòu)建面面垂直，思維導(dǎo)圖如圖2所示.該思路的難點(diǎn)在于如何證明問題中的線面垂直，證明時(shí)需要充分挖掘問題中所隱含的垂直關(guān)系，由平面幾何的線線垂直入手來完成證明.

圖2

解題步驟：由已知條件可知平面CDM⊥底面ABCD，由于DM?平面CDM，在平面ABCD上的射影在線段CD上，且CD⊥BC，所以DM⊥BC.如圖3所示，連接CM，由于CD為半圓的直徑，點(diǎn)M位于圓弧上，則∠DMC=90°，即DM⊥CM.由即可證DM⊥平面BMC.而，DM?平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC，證畢.

圖3

思路二：基于面面垂直的定義：若兩個(gè)平面的二面角為直二面角，則這兩個(gè)平面互相垂直.因此可以根據(jù)上述面面垂直的定義來構(gòu)建解題模型，首先確定二面角的平面角，然后分析其平面角的角度，進(jìn)而完成證明.該思路的難點(diǎn)在于構(gòu)建二面角的平面角，可通過繪制平面的交線來獲得.

圖4

解題步驟：如圖4所示，過點(diǎn)M作直線m，使得m∥AD，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知線m是平面ADM與平面BMC的交線，即平面ADM∩平面BMC=m.進(jìn)一步分析可知MC⊥m，DM⊥m，所以∠DMC就是二面角D-m-C的平面角，根據(jù)定理“直徑所對(duì)的圓周角為直角”可得∠DMC=90°，所以平面AMD⊥平面BMC，證畢.

2.多視角構(gòu)建二面角

第（2）問求解三棱錐M-ABC的體積最大時(shí)，平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值，實(shí)際上該問可以拆分為兩問：①三棱錐M-ABC的體積最大時(shí)的情形；②兩平面所成二面角的正弦值（“無”棱二面角）.根據(jù)第①問的體積最大的條件可以確定圓上點(diǎn)M的位置，然后采用幾何中對(duì)應(yīng)的方法來構(gòu)建二面角.

需要分兩步進(jìn)行：第一步三棱錐M-ABC的體積等于△ABC的面積與點(diǎn)M到底面距離乘積的三分之一，即×h，其中S為固定值，因此三棱錐M-△ABCABC的體積大小僅受h大小的影響，直接體現(xiàn)在點(diǎn)M到直線CD的距離上，因此當(dāng)點(diǎn)M與圓心O的連線MO⊥CD時(shí)，h取得最大值，此時(shí)三棱錐的體積最大.對(duì)于第二步的二面角的構(gòu)建可以采用不同的解題方法，主要有幾何法、向量法和射影面積法三種，對(duì)于不同的方法存在不同的難點(diǎn)和轉(zhuǎn)化思路，下面對(duì)幾何法與射影面積法進(jìn)行具體探究.

方法一：幾何法.

利用幾何法求解二面角問題，考慮到面MAB與面MCD不存在交線，因此所成的二面角屬于“無”棱二面角，對(duì)于該類二面角，解題的關(guān)鍵是確定兩個(gè)平面所成的交線，后續(xù)在構(gòu)建二面角的平面角時(shí)，具體為“四字”步驟——“作，指，證，求”，即首先作輔助線，然后指出二面角并加以證明，最后求解二面角.

解題步驟：MO⊥CD時(shí)三棱錐M-ABC的體積最大.過點(diǎn)M作直線EF，使得EF∥DC，則有OM⊥CD，由線面平行的性質(zhì)可確定EF就為面MAB與面MCD的交線，即EF是二面角的棱，取AB的中點(diǎn)P，連接PM、OP，則PM⊥EF，可證得∠PMO就為所求二面角的平面角.在Rt△MOP中，MO=1，OP=2，MP=，所以sin∠PMO即三棱錐M-ABC的體積最大時(shí)，面MAB與面MCD所成二面角的正弦值為

方法二：射影面積法.

求解二面角的正弦值時(shí)可以考慮先求其余弦值，然后再轉(zhuǎn)化，而求解余弦值時(shí)可以借助求圖形的射影面積的方式，具體公式為S′=S·cosθ，其中S′為圖形在另一平面上的射影面積，S為該圖形的原面積，θ為原圖形所在平面與射影平面所成二面角的平面角.在求解時(shí)可以利用垂直、平行的方法構(gòu)建射影圖形，進(jìn)而求出射影圖形的面積，然后根據(jù)面積的比值，求解出所成二面角的余弦值.

解題步驟：由于AD∥BC，平面DMC⊥平面ABCD，則△MCD就為△MAB在平面MCD上的投影.設(shè)二面角的平面角為θ，則cos，故sin，即面MAB與面MCD所成二面角的正弦值為

三、解后反思，教學(xué)建議

本考題是高中數(shù)學(xué)常見的立體幾何壓軸題，上述所呈現(xiàn)的解法是求解該類問題最常見的方法，總體上可以歸結(jié)為幾何與代數(shù)兩類解題視角，其解題過程中策略的構(gòu)建思路具有一定的啟示意義，下面將進(jìn)一步開展反思總結(jié).

1.關(guān)注問題特點(diǎn)，總結(jié)解題規(guī)律

上述考題中的兩問具有一定的難度梯度，第（1）問求證面面垂直只需要結(jié)合幾何定義，利用對(duì)應(yīng)的幾何定理來完成即可，相對(duì)而言較為簡單.考題的難度主要集中在第（2）問的二面角的分析上，所給的兩平面之間沒有明顯的交線，屬于“無”棱二面角問題.上述對(duì)于該特殊問題呈現(xiàn)了三種解法思路，其中的幾何法、向量法和射影面積法也是求解“無”棱二面角問題最為有效的方法.幾何法需要化“無棱”為“有棱”；而向量法則需要充分利用圖形中的面面垂直的關(guān)系來構(gòu)建空間坐標(biāo)系，從而簡化求解過程；而射影面積法中的射影圖形的構(gòu)建可以結(jié)合兩線平行或垂直的特性完成.教學(xué)中需要教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形特點(diǎn)，領(lǐng)悟方法，并形成知識(shí)規(guī)律，從本質(zhì)上掌握立體幾何探究突破的策略.

2.關(guān)注思想方法，開展思想教學(xué)

高考立體幾何問題肩負(fù)著知識(shí)考查和能力考查的雙重使命，其中能力考查最為重要的一項(xiàng)是對(duì)學(xué)生的解題思維和數(shù)學(xué)思想的考查，這也是數(shù)學(xué)解題的精華所在.實(shí)際上數(shù)學(xué)的解題過程就是問題轉(zhuǎn)化、思路構(gòu)建的過程，在這個(gè)過程中需要學(xué)生充分調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)思維，結(jié)合對(duì)應(yīng)的思想方法開展問題分析.如上述考題涉及數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化化歸思想，正是在這兩種思想的融合下完成了問題的拆解和對(duì)應(yīng)的剖析，因此可以說數(shù)學(xué)思想是指導(dǎo)解題的靈魂，也是開展解題教學(xué)需要重視的內(nèi)容.在實(shí)際教學(xué)中，需要教師結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，滲透數(shù)學(xué)的思想方法，指導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想的解題內(nèi)涵及技巧，通過學(xué)習(xí)解題來發(fā)展數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而拓展解題思維.