齊次化法在求解最值問題中的應(yīng)用

☉甘肅省白銀市第一中學(xué) 胡貴平

若不等式兩邊各項的次數(shù)相等，則我們稱之為齊次不等式.許多條件不等式問題通過化成齊次不等式來解決，都能起到很好的解題效果.

例1（2017年山東卷12題）已知直線=1（a＞0，b＞0）過點(diǎn)（1，2），則2a+b的最小值為______.

即a=2，b=4時取得等號.

所以2a+b的最小值為8.故填答案：8.

這是一道條件求最值問題，解決本題的方法有很多，已知“和式”為常數(shù)1，所求也是“和式”，且兩個“和式”都是齊次式，最常見的方法是“1的代換”法.“1的代換”法的優(yōu)勢在于避免了多次使用基本不等式時“=”不易取得的錯誤.

例2已知x，y均為正實(shí)數(shù)，滿足x+2y=1，則的最小值為______.

“1的代換”的實(shí)質(zhì)是構(gòu)造齊次式，分母是二次式，分子中x2、y2是二次式，而x是一次式，通過“1的代換”構(gòu)造分子是二次式，再應(yīng)用基本不等式求最值.

例3（2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅預(yù)賽4題）若正實(shí)數(shù)x，y滿足y＞2x，則的最小值是______.

解：x，y是正實(shí)數(shù)，y＞2x，所以

該問題為齊次式，巧妙地轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求解的結(jié)構(gòu)，利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧以及“一定、二正、三相等”的約束條件.

例4 已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2-xy=2，則x2+y2+xy的取值范圍是______.

所以x2+y2+xy∈].故填答案，6].

以不等式或函數(shù)為背景（本題用到對勾函數(shù)）的最值問題，充分地利用了題中的條件以及結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出合適的齊次式，最終達(dá)到消元的目的，進(jìn)而解決問題.

例5已知正實(shí)數(shù)x，y滿足xy≤1，則的最小值為______.

把條件進(jìn)行合適的變形，轉(zhuǎn)化為齊次不等式，為了湊基本不等式的積為定值，換元后進(jìn)行了一次放縮，齊次換元形式應(yīng)依照條件的樣式進(jìn)行調(diào)整.

例6（2013年全國新課標(biāo)Ⅱ文、理24題）設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：

證明：（1）所證不等式的左邊是二次式，右邊是零次式，由已知a+b+c=1，所以（a+b+c）2=1，從而要證的不等式可化為齊二次不等式ab+bc+ac（a+b+c）2，即證ab+bc+ac≤a2+b2+c2.

而a2+b2+c2-（ab+bc+ac）=a-b）2+（b-c）2+（c-a）2］≥0.所以原不等式成立.

許多重要不等式如基本不等式、柯西不等式自身就是齊次不等式，所以證明一些帶條件的非齊次不等式時，利用所給條件對原不等式的結(jié)論進(jìn)行恒等變形，轉(zhuǎn)化為齊次不等式，最終化為易于證明的形式.W