從一道課本習(xí)題看“阿波羅尼斯”圓

☉甘肅省蘭州市第十中學(xué) 溫慶峰

題目已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離之比為，求點(diǎn)M的軌跡方程.

解析：如圖1所示，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），連結(jié)MO，MA，有：|MA|=

化簡得：x2+y2+2x-3=0，

圖1

則方程（1）即為所求點(diǎn)M的軌跡方程，它表示以C（-1，0）為圓心，2為半徑的圓.

這是人教A版高中數(shù)學(xué)必修2（P124 B組，3題）的一道習(xí)題，若對(duì)教材進(jìn)行二次開發(fā)，從系統(tǒng)的高度切入，可以進(jìn)行從特殊到一般的推廣探究，還可以分析挖掘出這道題的幾何背景，題中所求出的圓，我們習(xí)慣上稱這種圓為“阿波羅尼斯”圓.“阿波羅尼斯”圓不僅是具有數(shù)學(xué)文化的探究素材，而且在高考中以它為背景的考題也經(jīng)常出現(xiàn).

背景展示：阿波羅尼斯（Apolloning，約公元前260～170），是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德一起被稱為亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要的研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一.

將上面的習(xí)題推廣到一般形式，這就是人教A版高中數(shù)學(xué)必修2（P144 B組，2題）的一道復(fù)習(xí)參考題.

推廣：已知點(diǎn)M（x，y）與兩個(gè)定點(diǎn)M1，M2距離的比是一個(gè)正數(shù)m，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形（考慮m=1和m≠1兩種情形）.

解析：以線段M1M2所在的直線為x軸，線段M1M2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)M1（-a，0），M2（a，0）（a＞0）.

化 簡得：（1-m2）x2+（1-m2）y2+2a（1+m2）x+（1-m2）a2=0，（1）

①當(dāng)m=1時(shí)，方程為x=0，圖形是直線x=0，也就是線段M1M2的垂直平分線（定義這樣的直線為阿波羅直線）；

幾何畫板探究：如圖2所示，即得軌跡問題

圖2

通過幾何畫板進(jìn)行簡單的幾何實(shí)驗(yàn)，構(gòu)造出了符合條件的圖形，激發(fā)了學(xué)生觀察思考、動(dòng)手實(shí)踐、交流探究的能力.

人教A版高中數(shù)學(xué)必修2（P139）信息技術(shù)應(yīng)用，用幾何畫板探究點(diǎn)的軌跡.

例1已知點(diǎn)P（2，0），Q（8，0），點(diǎn)M與點(diǎn)P的距離是它與點(diǎn)Q的距離的，用《幾何畫板》探究點(diǎn)M的軌跡，并給出軌跡的方程.

通過探究知道：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之商為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，然后就可以引發(fā)學(xué)生探究：

（1）到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡是橢圓.

（2）到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為定值的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.

（3）到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為定值的點(diǎn)的軌跡是卡西尼卵形線.

掌握了探究方法，橢圓、雙曲線的學(xué)習(xí)就會(huì)變得輕而易舉了，這樣以題練技，以技通法，明在閱讀題目后將其翻譯成數(shù)量關(guān)系，暗在學(xué)思維、找工具、找方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、數(shù)據(jù)處理能力.

例2（2013·江蘇卷17題）如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|=2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

解析：點(diǎn)C在直線l：y=2x-4上，故設(shè)C的坐標(biāo)為（a，2a-4）.因?yàn)榘霃絩1=1，所以圓C的方程是：（x-a）2+［y-（2a-4）］2=1.

設(shè)點(diǎn)M（x，y），則由|MA|=2|MO|可得點(diǎn)M的軌跡正是阿波羅尼斯圓D，即

化簡整理得：x2+（y+1）2=4.

圖3

所以點(diǎn)M（x，y）在以D（0，-1）為圓心，r2=2為半徑的圓上.又點(diǎn)M（x，y）在圓C上，所以兩圓有公共點(diǎn)的條件是：|r-r|≤|DC|≤|r+r|，即1≤5a2-12a+9≤9，解得0≤1212

評(píng)注：由圖3可以直觀地觀察出兩圓公共點(diǎn)的變化情況，當(dāng)a=0時(shí)，圓C為x2+（y+4）2=1與所求圓D相切；當(dāng)a=時(shí)，圓C為=1，也與所求圓D相切.這樣，答案0≤a的正確性也就不言而喻了.

例3（2014·湖北卷文17）已知圓O：x2+y2=1和點(diǎn)A（-2，0），若定點(diǎn)B（b，0）（b≠-2）和常數(shù)λ滿足：對(duì)圓O上任意一點(diǎn)M，都有|MB|=λ|MA|，則：

（1）b=______；（2）λ=______.

評(píng)注：解本題的常用方法是“坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法”，但是條件中依然有比例，所以仍然可以采用“阿波羅尼斯圓”來處理.

例4（2008·江蘇卷，13題）滿足條件AB=2，AC=的△ABC的面積的最大值是______.

圖4

解析：建立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)閏=1，λ=，代入阿波羅尼斯圓公式得：（x-3）2+y2=8.設(shè)圓心為M，顯然當(dāng)CM⊥x軸時(shí)，△ABC面積最大，此時(shí)|CM|=，所以（故填答案

評(píng)注：顯然這又是一例“阿波羅尼斯圓”，既然△ABC存在，說明其軌跡不包括與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)P，Q，由于所以CP為△ACB的內(nèi)角平分線；同理，CQ為△ACB的外角平分線.這就是說，P，Q分別是線段AB的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)，而PQ正是阿氏圓的直徑.于是“阿波羅尼斯圓”又被稱為“內(nèi)外圓”.因此，上例又有如下的解法：

解析二：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)C到定點(diǎn)A（-1，0）和B（1，0）的距離之比為，則有|x+1|=|x-1|，整理得x2+2x+1=2（x2-2x+1），即x2-6x+1=0，解得x1=3-2，x2=3+2，所以x1=3-2為內(nèi)分點(diǎn)，x2=3+2為外分點(diǎn).圓半徑（x-x）=2即為三角形高的最大值，即△ABC高的最大值是2故△ABC面積的最大值是2F