多解賞析，變式探究
——一道直線與圓的最值試題

☉山東省日照第一中學(xué) 孫 蕾

直線與圓是解析幾何中的簡(jiǎn)單圖形，但是它們兩者間的位置關(guān)系涵蓋方程與函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想等，常見的問題有位置關(guān)系問題、參數(shù)問題、弦長(zhǎng)問題、最值問題、性質(zhì)問題、動(dòng)態(tài)問題等，有時(shí)也涉及相對(duì)難一點(diǎn)的軌跡問題，因此其一直成為各級(jí)各類考試的必考內(nèi)容和熱點(diǎn)內(nèi)容，要引起重視.下面結(jié)合一道直線與圓的動(dòng)態(tài)中的最值問題，采用多角度思維進(jìn)行解法賞析與變式探究.

一、問題呈現(xiàn)

【問題】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+（y-1）2=4，若等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，則|PC|的最大值為______.

本題以圓所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程為問題背景，結(jié)合等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦進(jìn)行展開，探討|PC|的最大值問題.由于隨著弦AB的變化，要使得|PC|取得最大值，顯然點(diǎn)P應(yīng)該在弦AB異于圓心C的另一側(cè)，且隨著弦AB的變化，點(diǎn)P的位置也隨著變化，因此如何把直線與圓的動(dòng)態(tài)問題進(jìn)行代數(shù)化，從而得以代數(shù)運(yùn)算是解決問題的切入點(diǎn).

二、多解思維

思維角度1：（直線與圓的位置關(guān)系法）取特殊情況，假設(shè)點(diǎn)P在y軸上，根據(jù)條件確定直線PB的傾斜角，進(jìn)而設(shè)出對(duì)應(yīng)的直線方程，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化已知直線PB與圓C有公共點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式以及絕對(duì)值不等式來確定|PC|的最大值.

圖1

解法1：由于等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，根據(jù)對(duì)稱性可知PC⊥AB，假設(shè)點(diǎn)P在y軸上，設(shè)P（0，b），如圖1所示，依題意可知直線PB的傾斜角為，其對(duì)應(yīng)的斜率為，故設(shè)直線PB的方程為y=x+b，即x-y+b=0.根據(jù)題目條件可知直線PB與圓C有公共點(diǎn)，則有圓心C（0，1）到直線PB的距離≤r=2，則有|b-1|≤4，所以 |PC|=|b-1|≤4，即|PC|的最大值為4，故填答案：4.

思維角度2：（三角函數(shù)法）結(jié)合條件先確定圓C的半徑r=2，利用等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦得到PC⊥AB，設(shè)出∠ACP=α，結(jié)合三角函數(shù)的定義可得|AH|=2sinα，|HC|=2cosα，利用|PC|=|PH|+|HC|的關(guān)系式的轉(zhuǎn)化，通過三角函數(shù)的輔助角公式的應(yīng)用得以確定|PC|的最大值.

解法2：由題可得圓C的半徑r=2，由于等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，根據(jù)對(duì)稱性知PC⊥AB，垂足記為H，設(shè)∠ACP=α，可得|AH|=2sinα，|HC|=2cosα，那么|PC|=|PH|+|HC|=2sinα+2cosα=4sin時(shí)，即時(shí)，|PC|取最大值為4，故填答案：4.

思維角度3：（解三角形法）結(jié)合圓的對(duì)稱性確定PC⊥AB，在△PBC中利用正弦定理建立相應(yīng)的關(guān)系式，再通過轉(zhuǎn)化得到|PC|所對(duì)應(yīng)的三角關(guān)系式，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定其最大值，此時(shí)恰好PB與圓C相切.

圖2

解法3：由于等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，根據(jù)對(duì)稱性知PC⊥AB，如圖2所示，在△PBC中，|BC|=r=2，∠CPB=30°，由正弦定理有，可得·sin∠PBC=4sin∠PBC，則當(dāng)∠PBC=90°時(shí)，此時(shí)PB與圓C相切，|PC|有最大值為4，故填答案：4.

思維角度4：（參數(shù)方程法）取特殊情況，假設(shè)點(diǎn)P在y軸上，并設(shè)出P（0，y0），結(jié)合圓C的參數(shù)方程，通過點(diǎn)B的坐標(biāo)建立參數(shù)y0的關(guān)系式，并結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)來確定y0的最小值，進(jìn)而通過數(shù)形結(jié)合來確定|PC|的最大值.

解法4：由于等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，根據(jù)對(duì)稱性可知PC⊥AB，假設(shè)點(diǎn)P在y軸上，設(shè)，如圖3所示，由圓C：x2+（y-1）2=4，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程為θ為參數(shù)），結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可知1，則當(dāng)θ==1+2sinθ=0時(shí)，y取得最小0值-3+0=-3，此時(shí)|PC|的最大值為3+1=4，故填答案：4.

圖3

思維角度5：（導(dǎo)數(shù)法）結(jié)合條件先確定圓C的半徑r=2，利用等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦得到PC⊥AB，設(shè)出|AB|=2t，利用s=|PC|=|PH|+|HC|得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，通過求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來確定相應(yīng)函數(shù)的極大值，也就是最大值，從而得以確定|PC|的最大值.

解法5：由題可得圓C的半徑r=2，由于等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，根據(jù)對(duì)稱性知PC⊥AB，垂足為H，設(shè)|AB|=2t，可得s=|PC|=|PH|+|HC|=0＜t＜2），而，令s′=0，解得t=，則當(dāng)t∈（0，）時(shí)，s′＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)t∈（，2）時(shí)，s′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減.

思維角度6：（柯西不等式法）結(jié)合條件先確定圓C的半徑r=2，利用等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦得到PC⊥AB，設(shè)出|AB|=2m，利用|PC|=|PH|+|HC|的關(guān)系式的轉(zhuǎn)化，結(jié)合柯西不等式來確定其最值，從而得以確定|PC|的最大值.

解法6：由題可得圓C的半徑r=2，由于等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，根據(jù)對(duì)稱性可知PC⊥AB，垂足為H，設(shè)|AB|=2m，結(jié)合柯西不等式，可得|PC|=|PH|+|HC|=4，當(dāng)且僅，即m=時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)|AB|=時(shí)，|PC|取最大值為4，故填答案：4.

三、變式探究

【變式1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+（y-1）2=4，若等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，則當(dāng)|PC|取得最大值時(shí)，△PAB的面積為______.

解析：由題可得圓C的半徑r=2，由于等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，根據(jù)對(duì)稱性知PC⊥AB，垂足為H，設(shè)|AB|=2m，結(jié)合柯西不等式，可得|PC|=|PH|+|HC|=4，當(dāng)且僅當(dāng)，即m=時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)|AB|=2時(shí)，|PC|有最大值為4，此時(shí)△PAB的面積S=×3=3，故填答案：3

【變式2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+（y-1）2=4，若等腰直角△PAB的斜邊AB為圓C的一條弦，則|PC|的最大值為______.

解析：由題可得圓C的半徑r=2，由于等腰直角△PAB的斜邊AB為圓C的一條弦，根據(jù)對(duì)稱性知PC⊥AB，垂足為H，設(shè)∠ACP=α，可得|AH|=2sinα，|HC|=2cosα，那么|PC|=|PH|+|HC|=2sinα+2cosα=2sin），當(dāng)α+時(shí)，即時(shí)，|PC|的最大值為2，故填答案：

解決此類平面解析幾何中的動(dòng)態(tài)問題，關(guān)鍵是抓住題目條件，把對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)問題進(jìn)行有效的代數(shù)化或幾何化，進(jìn)而通過代數(shù)方法或幾何方法來解決相應(yīng)的動(dòng)態(tài)問題，從而得以巧妙處理，正確破解，方法各異，奇思妙想，切入點(diǎn)不同，破解策略多樣.其實(shí)，在處理數(shù)學(xué)中的動(dòng)態(tài)問題時(shí)，合理地將動(dòng)態(tài)問題靜態(tài)化，然后通過代數(shù)法或幾何法來處理，特別在破解一些相關(guān)的小題時(shí)是非常重要的一種解題策略，充分體現(xiàn)出“小題小做，小題巧做”的思想，有助于數(shù)學(xué)解題能力與應(yīng)用能力的提高，從而真正提升綜合能力，拓展數(shù)學(xué)素養(yǎng).F