高三二輪復(fù)習(xí)專題：減元法解決導(dǎo)數(shù)多變元問題

☉四川省成都七中 王 華

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，高考數(shù)學(xué)的壓軸題也經(jīng)?？疾閷W(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合能力.下面通過幾個(gè)典型例題，說明“減元法”是解決導(dǎo)數(shù)壓軸題中“多變元”問題的通性通法.

例已知函數(shù)f（x）=ax+lnx+1.（1）略；

（2）對任意x＞0，f（x）≤xe2x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：（2）方法一：由題意，對任意x＞0時(shí)ax+lnx+1≤xe2x恒成立，等價(jià)于）在（0，+∞）上恒成立.

綜上所述，a≤2（此方法也稱為“隱零點(diǎn)法”，本質(zhì)是消掉超越運(yùn)算.）

方法二：由題意，x＞0時(shí)ax+lnx+1≤xe2x，即a≤e2x-

考題鏈接：1（.18屆成都三診改編）已知函數(shù)（fx）=xalnx-1，當(dāng)a∈（0，1）∪（1，+∞）時(shí)，（fx）恰有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2

證明：由題意得x＞0），而a∈（0，1）∪（1，+∞）.

思路一：

所以g（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，g（t）＜g（1）=0，

綜上所述，原不等式成立.

考題鏈接：2（.2019屆成都一診）：已知函數(shù)（fx）=-alnx-，a∈R（.1）略.

解：（2）由題意得，當(dāng)a=1時(shí)，不等式（fx）+bx≥1恒成立，

即xex-lnx+（1-b）x≥1恒成立，

因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，有h′（x）＞0，

所以h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且h（1）=e＞0，-ln2＜0.

所以當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增.

所以g（x0）為g（x）在定義域內(nèi)的最小值.

而k（′x）=（x+1）ex＞0，對x∈（0，+∞）恒成立，

即k（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

易知m（x）單調(diào)遞增.

所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為（-∞，2］.

方法小結(jié)：

1.一般的多變元問題我們?？紤]通過“減元法”將多變元轉(zhuǎn)化為單變元進(jìn)行求解.

2.“隱零點(diǎn)法”是通過代換，將超越形式消掉，化為普通運(yùn)算.

3.文中所指的“多變元”問題，可以是廣義上的，比如“隱零點(diǎn)法”中e2x0和lnx0的計(jì)算問題，利用方程進(jìn)行消元，轉(zhuǎn)化為普通多項(xiàng)式的計(jì)算問題，體現(xiàn)了化繁為簡、化未知為已知的基本解題思路.

4.方程思想是“減元法”的靈魂.F