基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂設(shè)計(jì)
——以直線與平面垂直的判定為例

☉江蘇省清河中學(xué) 王新明

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立，又相互交融，共同組成了一個(gè)有機(jī)的整體.”由此可見，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)該成為高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的基本體現(xiàn)，是學(xué)生個(gè)體終身發(fā)展以及社會(huì)需要的基本素質(zhì)和必備品質(zhì).筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)首先要落實(shí)到課堂教學(xué)設(shè)計(jì)上，從而讓課堂成為學(xué)生核心素養(yǎng)成長(zhǎng)的土壤.本文以“直線與平面垂直的判定”新授課的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，分享筆者的實(shí)踐與思考.

一、過渡語(yǔ)言的設(shè)計(jì)

如果將一節(jié)課比作成一場(chǎng)觀眾期待的春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)，那么課堂過渡語(yǔ)言就是晚會(huì)主持人的串詞.一節(jié)課常常有多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，如何做到“無(wú)縫對(duì)接”，使得教學(xué)過程自然流暢，這是教學(xué)設(shè)計(jì)中必須要考慮的一個(gè)重要問題.在“直線與平面垂直的判定”這節(jié)課中，如何從直線與平面垂直的定義“直線與平面內(nèi)任意一條直線垂直”過渡到直線與平面垂直的判定的探究，筆者在這節(jié)課中是這樣設(shè)計(jì)的：

我們知道直線與平面內(nèi)任意一條直線垂直，則直線就與這個(gè)平面垂直.這是直線與平面垂直的定義，肯定可以作為直線與平面垂直的判定.但你覺得這樣去判斷，方不方便呢？不方便的地方在哪里？那么一個(gè)自然的想法就是：減少直線的條數(shù).減少到幾條合適呢？

授課時(shí)發(fā)現(xiàn)，通過這幾句話的過渡，學(xué)生的積極性一下子就被調(diào)動(dòng)了起來(lái)，探究直線與平面垂直的判定的熱情明顯高漲.

二、教學(xué)問題的設(shè)計(jì)

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，關(guān)鍵在于培養(yǎng)學(xué)生會(huì)思考.而思考當(dāng)然是以問題為牽引，因此課堂設(shè)計(jì)常常要對(duì)關(guān)鍵性問題的提出進(jìn)行斟酌.問題何時(shí)提？問題怎么提？問題提到什么程度？這些都是教師需要再三思量的.

在“直線與平面垂直的判定”一節(jié)中，筆者通過投影天安門城樓升國(guó)旗的背景，讓學(xué)生觀察旗桿與地面上的影子的關(guān)系，從而抽象地概括出線面垂直的定義.為了達(dá)到預(yù)期的課堂教學(xué)效果，筆者設(shè)計(jì)了如下三個(gè)問題，進(jìn)而讓學(xué)生進(jìn)行環(huán)環(huán)相扣的思考.

（1）在陽(yáng)光的照射下，旗桿AB與它在地面上的影子互相垂直嗎？

（2）隨著太陽(yáng)的移動(dòng)，顯然影子也會(huì)跟著發(fā)生變化.請(qǐng)問：旗桿AB還與它的影子互相垂直嗎？（教師通過電腦動(dòng)畫展示，旗桿AB始終與地面內(nèi)過B的任意一條直線垂直，也就是旗桿AB始終與它的影子垂直）

（3）旗桿AB與地面內(nèi)不經(jīng)過B的直線也相互垂直嗎？為什么會(huì)這樣呢？

通過以上三個(gè)問題的設(shè)計(jì)與引導(dǎo)，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)旗桿在與地面垂直的情況下，旗桿會(huì)與地面上的任何一條直線互相垂直，進(jìn)而抽象地概括出了直線與平面垂直的定義，從而形成了本節(jié)課的核心概念.

數(shù)學(xué)抽象是六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之首，它是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中.通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

通過上面問題的設(shè)計(jì)，能讓學(xué)生順利抽象出線面垂直這一核心概念，為了進(jìn)一步鞏固這一概念，筆者又設(shè)計(jì)了如下兩個(gè)問題讓學(xué)生進(jìn)行辨析.

（1）如圖1，直線l與平面α垂直嗎？（顯然不垂直，學(xué)生很容易找到一條直線與l不垂直）

（2）如圖2，平面α內(nèi)能找到直線與l垂直嗎？能找到幾條呢？無(wú)數(shù)條可以嗎？

圖1

圖2

通過設(shè)計(jì)這兩個(gè)問題，讓學(xué)生從正反兩個(gè)方面來(lái)鞏固對(duì)線面垂直定義的掌握.盡管直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直，但直線與平面并不一定垂直.由此可見，直線與平面垂直定義中的“任意”不可以改為“無(wú)數(shù)”，同時(shí)也為進(jìn)一步探索直線與平面垂直的判定定理做好鋪墊.

三、課堂探究的設(shè)計(jì)

課堂探究是指學(xué)生圍繞著某個(gè)數(shù)學(xué)問題自主探索、學(xué)習(xí)的過程.課堂探究是課堂設(shè)計(jì)中非常重要的環(huán)節(jié)，因?yàn)檎嬲臄?shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)知識(shí)再發(fā)現(xiàn)的教育.為此，筆者選擇三角形折疊探究實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生動(dòng)手操作并確認(rèn)線面垂直的判定定理.筆者緊扣判定定理所需的條件將折紙實(shí)驗(yàn)分成如下三步，并設(shè)置了三個(gè)問題：

怎么折（明確垂直關(guān)系）、怎么展（明確兩相交直線）、怎么放（明確兩相交直線在平面內(nèi)），然后讓學(xué)生自主探究直線與平面垂直的判定定理，鼓勵(lì)學(xué)生將上述探究所得的結(jié)論用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來(lái)，經(jīng)討論后規(guī)范呈現(xiàn).鑒于教材中沒有給予判定定理的證明方法，筆者借助定義讓學(xué)生加深對(duì)線面垂直的判定定理的認(rèn)同感，培養(yǎng)其理性精神.有了前面圓錐的形成作為鋪墊，學(xué)生容易得到折痕AD與桌面內(nèi)的任意一條過點(diǎn)D和不過點(diǎn)D的直線都垂直，從而與桌面垂直，最終完成定理的教學(xué).

值得強(qiáng)調(diào)的是，引導(dǎo)學(xué)生歸納出線面垂直的判定定理之后，應(yīng)及時(shí)告知學(xué)生這是用不完全歸納法得到的，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)是需要進(jìn)行證明的.只是教材在這個(gè)地方?jīng)]有給出，在我們學(xué)習(xí)向量之后是可以進(jìn)行證明的.這也恰恰說(shuō)明了數(shù)學(xué)具有形式性和經(jīng)驗(yàn)性的雙重特點(diǎn).正如波利亞所指出的：“一方面，數(shù)學(xué)是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面來(lái)看，數(shù)學(xué)像是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[科學(xué)；但另一方面，數(shù)學(xué)像是一門試驗(yàn)性的歸納科學(xué).”我們要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的這兩個(gè)方面的特點(diǎn)，既強(qiáng)調(diào)抽象歸納，又重視演繹推理.

總之，課堂探究的設(shè)計(jì)是一門高深的學(xué)問.它不僅僅是探究實(shí)驗(yàn)或問題本身的設(shè)計(jì)，還包括對(duì)其呈現(xiàn)方式、利用方式、實(shí)驗(yàn)預(yù)設(shè)、連鎖反應(yīng)、推廣應(yīng)用等一系列的問題的探究.

四、題組變式的設(shè)計(jì)

著名的數(shù)學(xué)家陳省身先生說(shuō)過：“數(shù)學(xué)的確好玩，它就像一個(gè)花園，你在外面看看也許不起眼，可是你一旦走進(jìn)去就會(huì)發(fā)現(xiàn)那是一個(gè)奇妙而美麗的世界.”高中數(shù)學(xué)課堂如果在教師的精心設(shè)計(jì)下，如水乳交融一般，則讓學(xué)生有更多體驗(yàn)成功的機(jī)會(huì)和平臺(tái)，從而使學(xué)生的思維變得更加活躍.數(shù)學(xué)課堂可以充分發(fā)揮問題變式，形式上可以是“一題多變”、“多題一變”、“一題多用”、“多題一用”等.關(guān)鍵是要能突出知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，能有效地完成教學(xué)目標(biāo).在“直線與平面垂直”的判定一節(jié)中，筆者給出了一組變式題目：

例題 如圖3所示，在三棱椎V-ABC中，VA=VC，AB=BC，K是AC的中點(diǎn).求證：AC⊥平面VKB.

圖3

圖4

變式：（1）在三棱椎V-ABC中，VA=VC，AB=BC.求證：VB⊥AC.

（2）如圖4所示，若E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，試判斷EF與平面VKB的位置關(guān)系.

（3）在（2）的條件下，有同學(xué)說(shuō)“因?yàn)閂B⊥AC，VB⊥EF，所以VB⊥平面ABC”，這種說(shuō)法對(duì)嗎？

例題主要考查的是直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，變式（1）在原題的基礎(chǔ)上，考查了直線與平面垂直的定義；變式（2）是對(duì)課本例題的靈活應(yīng)用；變式（3）進(jìn)一步鞏固了直線與平面垂直的判定定理.三個(gè)變式環(huán)環(huán)相扣，都強(qiáng)化了本節(jié)課的主要內(nèi)容，突出了知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)又使得各個(gè)要點(diǎn)之間融會(huì)貫通，從而圓滿地達(dá)成了課堂教學(xué)目標(biāo).

俗話所說(shuō)：“活到老，學(xué)到老”.在新課程的背景下，教師要善于拓展自己的教學(xué)方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而真正提升學(xué)生的核心素養(yǎng).