變中有度 變中求活
——例談變式教學(xué)的層次

☉江蘇省江浦高級(jí)中學(xué) 經(jīng)中進(jìn)

“變式”原來(lái)是心理學(xué)上的一個(gè)名詞，其意義是變換材料的出現(xiàn)形式.而引入到數(shù)學(xué)教學(xué)中，變式教學(xué)已經(jīng)成為了一種備受認(rèn)可且非常常用的課堂教學(xué)模式.無(wú)論是新授課還是復(fù)習(xí)課中都有變式教學(xué)的影子，其可以很好地夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生靈活解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的發(fā)散性思維與創(chuàng)新意識(shí)，并有著非常好的教學(xué)效果.

一、變式現(xiàn)狀

然而，數(shù)學(xué)變式教學(xué)在實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)效果并不佳，其只是表面形式上的機(jī)械變式，最多只是重復(fù)訓(xùn)練，能力層面上的突破并不明顯.數(shù)學(xué)變式教學(xué)缺少深度、廣度、靈活度.

變式教學(xué)必須是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，通過(guò)變式教學(xué)突出數(shù)學(xué)知識(shí)、能力、方法的本質(zhì)屬性，突出問(wèn)題解決的思想性，有效提升學(xué)生舉一反三和靈活創(chuàng)新的能力，這樣的變式教學(xué)才能充分凸現(xiàn)其價(jià)值，才能充分提高學(xué)生的能力，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

變式教學(xué)要形成效益，就得從變中有度，變中求活等方面做文章.下面結(jié)合一道圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的變式教學(xué)設(shè)計(jì)來(lái)進(jìn)行多角度闡述.

二、案例分析

【高考在線(xiàn)】（2018·全國(guó)Ⅲ卷理·11） 設(shè)F1、F2是雙曲線(xiàn)=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)點(diǎn)F2作C的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為P，若則雙曲線(xiàn)C的離心率為（ ）.

分析：根據(jù)題目條件，利用雙曲線(xiàn)中參數(shù)a，b，c的幾何意義可知|OF2|=c，|PF2|=b，進(jìn)而利用勾股定理可得|OP|=，再借助解析幾何中的直線(xiàn)方程來(lái)轉(zhuǎn)化，從而得以建立參數(shù)a、c之間的關(guān)系式，并求解出雙曲線(xiàn)的離心率.

解：由參數(shù)a，b，c的幾何意義可知|OF2|=c，|FP2|=b，則有，可得

結(jié)合兩直線(xiàn)垂直的關(guān)系，可得直線(xiàn)PF2的方程為y=（x-c）.

而F1（-c，0），由兩點(diǎn)間的距離公式可得|PF1|=.整理可得c2=3a2.

故選擇答案：C.

點(diǎn)評(píng)：解決圓錐曲線(xiàn)的離心率問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找橢圓或雙曲線(xiàn)中參數(shù)a、b、c所滿(mǎn)足的關(guān)系式，對(duì)此有兩種常見(jiàn)的破解方式：一是利用幾何特征、幾何運(yùn)算來(lái)得到相應(yīng)的關(guān)系式；二是直接利用代數(shù)運(yùn)算來(lái)建立關(guān)系式.往往利用幾何特征來(lái)處理會(huì)減少一些運(yùn)算量.

三、變式過(guò)程

1.同層變換，加深解法印象

此類(lèi)變式屬于同層變換，對(duì)問(wèn)題加以適當(dāng)變換，與原來(lái)題目的難度基本相同，解法也基本相同，這樣可以更有效地幫助學(xué)生加深對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的解法印象，形成解題模式.

【變式1】（2019·浙江模擬）設(shè)F1、F2是雙曲線(xiàn)1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作C2的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為P，若|PF1|=2|PF2|，則雙曲線(xiàn)C的離心率為_(kāi)_____.

解析：由a，b，c的幾何意義可知|OF2|=c，|PF2|=b，則有|PF1|=2|PF2|=2b.

結(jié)合兩直線(xiàn)垂直的關(guān)系得直線(xiàn)PF2的方程為y=x-c）.

2.淺層變換，深化概念理解

此類(lèi)變式屬于淺層變換，是在學(xué)生掌握相應(yīng)解題方法的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上回歸到基本概念、基本知識(shí)與基本技能，克服思維定式，初步形成掌握此類(lèi)基本方法破解問(wèn)題的能力.

【變式2】（2019·江蘇模擬）已知雙曲線(xiàn)（a＞0，b＞0），過(guò)雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)F作C的漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為M，延長(zhǎng)FM與y軸交于點(diǎn)P，且|FM|=4|PM|，如圖1所示，則雙曲線(xiàn)C的離心率為_(kāi)_____.

圖1

解析：設(shè)F（c，0），可知雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為

3.中層變換，突出思維能力

此類(lèi)變式屬于中層變換，是在學(xué)生初步形成掌握此類(lèi)基本方法破解問(wèn)題的基礎(chǔ)上，真正學(xué)會(huì)分析問(wèn)題、處理問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.

【變式3】（2018屆山東省泰安市高三二?！?2）已知F為雙曲線(xiàn)（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F向C的一條漸近線(xiàn)引垂線(xiàn)，垂足為A，交另一條漸近線(xiàn)于點(diǎn)B，若|OF|=|OB|，則C的離心率是（ ）.

解析：設(shè)雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)方程為，則直

由|OF|=|OB|可知△OFB為等腰三角形，則D為BF的中點(diǎn)，可得點(diǎn)B到x軸的距離為點(diǎn)A到x軸的距離的2倍，即，整理可得a2=3b2.

故選擇答案：B.

四、反思總結(jié)

變式教學(xué)要有“度”，變式教學(xué)要有“活”，不能只是重復(fù)訓(xùn)練的教學(xué)，只有滲透數(shù)學(xué)知識(shí)、貫穿數(shù)學(xué)思想、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的變式教學(xué)，才是有價(jià)值、高效的教學(xué).因此，教師需要不斷加強(qiáng)自身修養(yǎng)，提升對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)方法和數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解程度，從更高層面上去把握問(wèn)題，只有這樣，才能“變出”有“度”、有“活”、有思想、有靈性的題目，從而真正提高數(shù)學(xué)課堂的效率，培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，使學(xué)生的發(fā)散思維能力、探究能力、創(chuàng)新能力等均得到有效提高.F