HPM視角下球體積公式推導(dǎo)的教學(xué)設(shè)計(jì)

☉上海市進(jìn)才中學(xué) 張樂瑛

一、引言

祖暅原理是我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的成就，在數(shù)學(xué)史上它與被稱為微積分萌芽的卡瓦列里定理是相媲美的；球體積公式的推導(dǎo)是古代幾何學(xué)中的一個(gè)難題，東西方好幾代數(shù)學(xué)家都竭盡智慧探求其精確公式.在滬教版高中數(shù)學(xué)教科書中由于篇幅有限，直接給出了祖暅原理以及由應(yīng)用祖暅原理和長(zhǎng)方體的體積推導(dǎo)出棱柱體積的結(jié)論，且對(duì)于球的體積公式僅有結(jié)論呈現(xiàn).教材的安排很難讓學(xué)生真正理解祖暅原理，亦感悟不到古代數(shù)學(xué)家在推導(dǎo)球體積公式時(shí)所迸發(fā)出的創(chuàng)造性的思維火花和豐富的文化內(nèi)涵，因此本文將嘗試從數(shù)學(xué)史的視角對(duì)祖暅原理以及球體積公式的推導(dǎo)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).

二、數(shù)學(xué)史料

1.《九章算術(shù)》中的球體積公式

《九章算術(shù)》認(rèn)為正方體與其內(nèi)切圓柱的體積之比等于正方形和其內(nèi)切圓的面積之比為4∶3（取π=3），等邊圓柱與其內(nèi)切球的體積之比是4∶3（如圖1），于是得球與其外切正方體的體積之比為9∶16，即得公式

圖1

圖2

2.劉徽和牟合方蓋

圖3

圖4

牟合方蓋恰好把立方體的內(nèi)切球包含在內(nèi)并且同其相切，因此兩者的體積之比為面積之比

因?yàn)榍蝮w與牟合方蓋任何一個(gè)等高的截面面積之比均為π∶4，所以可以確定球體與牟合方蓋的體積之比亦為π∶4（如圖5）.此時(shí)，只要求出牟合方蓋的體積，球的體積便迎刃而解.

圖5

3.祖暅原理和球的體積

兩百年后，祖暅沿用劉徽的思想，利用牟合方蓋的理論去進(jìn)行體積計(jì)算.祖暅?zhǔn)紫热∧埠戏缴w的八分之一來進(jìn)行研究，他沒有直接求八分之一牟合方蓋的體積，轉(zhuǎn)而研究從八分之一小正方體中扣除八分之一牟合方蓋后的剩余幾何體的體積.按常規(guī)說來，剩余幾何體形狀不規(guī)則，更不易求，但祖暅用平行于底的平面在高h(yuǎn)處截八分之一正方體與牟合方蓋，發(fā)現(xiàn)截面在立方體內(nèi)且在牟合方蓋外的部分由勾股定理計(jì)算可得面積S陰影=r2-（r2-h2）=h2（如圖6），且底邊為r，高也為r的倒立方錐在高h(yuǎn)處的截面面積亦為h2，于是他發(fā)現(xiàn)兩個(gè)等高的幾何體在任意等高處的橫截面面積相同，即祖暅原理——緣冪勢(shì)既同，則積不容異，根據(jù)這一結(jié)論，通過計(jì)算得出V剩余=V倒立錐，V牟合方蓋=牟合方蓋=故得出

圖6

三、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

1.回顧歷史，提煉思路

教師：這節(jié)課首先讓我們跟隨前人探索和發(fā)現(xiàn)的腳步去重溫古人是如何推導(dǎo)出球體積公式這段歷史的.

學(xué)生閱讀材料.

教師：從材料中我們可以看到，當(dāng)古人探索球體積這個(gè)新問題時(shí)，他們是怎么做的？

生1：將球的體積問題和正方體、圓柱的體積聯(lián)系起來.在高度相同的情況下，研究他們相切的面積之比作為體積之比.

教師：如果說面積是二維的，那么體積就是三維的，我們可以將體積問題向面積問題轉(zhuǎn)化，這里體現(xiàn)了一種什么解決問題的方法？

生2：降低維度，就是將復(fù)雜向簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化.

教師：祖暅沿用了劉徽的思想，他第一個(gè)聰明的地方是將原來的“牟合方蓋”平均分為八份，取它的八分之一來研究.為什么可以這樣做？

生3：因?yàn)閷?duì)稱性.

教師：祖暅第二個(gè)聰明的地方在于他沒有直接求八分之一牟合方蓋的體積，轉(zhuǎn)而求從小正方體中扣除八分之一牟合方蓋后的剩余體積.祖暅根據(jù)直覺和經(jīng)驗(yàn)提出祖暅原理，今后可以用微積分知識(shí)證明.通過短短的回顧球體積公式推導(dǎo)的歷史，我們看到了凝結(jié)在數(shù)學(xué)公式背后的努力和智慧，探索和突破，談?wù)勀阌∠笞钌羁痰牡胤?

生4：劉徽的質(zhì)疑和牟合方蓋的構(gòu)造，祖暅的分解難點(diǎn)和轉(zhuǎn)化困難尋找突破的智慧.

2.應(yīng)用原理，推導(dǎo)體積

教師：在這里最核心的就是祖暅原理，同學(xué)能把這個(gè)定理中的關(guān)鍵點(diǎn)提煉出來嗎？

教師板書：祖暅原理：兩個(gè)幾何體

（1）等高；

（2）任意高度截面面積相等；

（3）轉(zhuǎn)化為已知或者易求體積的幾何體.

教師：今天我們能否嘗試和古人一樣從已知體積的幾何體出發(fā)推導(dǎo)球的體積呢？想一想，我們前面學(xué)習(xí)了哪些幾何體的體積？如果想運(yùn)用祖暅原理，必須是兩個(gè)幾何體同底等高，但球沒有底，我應(yīng)該如何構(gòu)造與它同底面的幾何體？

生5：我們已知圓柱、圓錐的體積，由球的對(duì)稱性，取二分之一的球體計(jì)算，半球是有底面的幾何體.

教師：在祖暅原理中，除了高度相同，我們要關(guān)注截面的面積是否相同，在不知道用什么幾何體來和半球?qū)Ρ葧r(shí)，我們可以從球的截面面積公式中尋找靈感，若已知球的半徑為r，則用與底面平行且高度為h的平面截球所得的截面形狀是什么？截面面積為多少？

生6：截面形狀為圓，截面面積S=πr2-πh2.

教師：這樣的形式，我們想到什么圖形的面積會(huì)是這樣？

生7：圓環(huán).兩個(gè)同心圓，大圓的半徑為r，小圓的半徑為h，大圓中挖去小圓形成圓環(huán).

教師：如果球是確定的，則半徑r是常數(shù)，而h是隨著截面高度變化而變化的.根據(jù)祖暅原理，下面我們?cè)撛趺醋霾拍芮蟪霭肭虻捏w積.

生8：要找一個(gè)幾何體和半球等高，高度h的截面面積為S=πr2-πh2，一個(gè)圓柱去掉一個(gè)圓錐.底面半徑為r的圓柱、高（遲疑之際，同學(xué)提醒：等高）也為r，底面半徑和高均為r的圓錐.

教師：（畫出正立圓錐）是這樣的嗎？距離底面距離為h的截面的面積是πh2？

生9：不是，應(yīng)該是π（r-h）2.應(yīng)該是倒立的圓錐！

教師：（畫出倒立的圓錐）此時(shí)距離底面距離為h的截面的面積是πh2，你怎么想到的？

生10：祖暅想到的！所以根據(jù)祖暅原理，半球的體積等于圓柱的體積減去圓錐的體積，相當(dāng)于是一個(gè)圓柱中挖去底面積相等，高度相同的圓錐（圖7）大家鼓掌！

圖7

教師：同學(xué)們通過對(duì)祖暅原理的學(xué)習(xí)，能夠?qū)Ⅲw積求解的關(guān)注點(diǎn)放在截面上進(jìn)行觀察，從而通過截面的特征看到幾何體的構(gòu)造.今天我們站在巨人的肩膀上，用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)上的很重要的結(jié)論——祖暅原理，在短時(shí)間內(nèi)完成了古人三百年探求的結(jié)論，說明我們只有跟隨前人探索和發(fā)現(xiàn)的腳步，才能將前人思考和突破的方法進(jìn)行借鑒與創(chuàng)新.

3.理解思路，應(yīng)用鞏固

教師：我們都知道球體可以看做是圓面繞直徑旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體，如果橢圓繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周是一個(gè)橢球，那么你能嘗試求出來橢球的體積嗎？

例1 請(qǐng)?jiān)谘芯亢屠斫馇虻捏w積公式求法的基礎(chǔ)上，解答問題：已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，將此橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的幾何體，求其體積.

生11：先研究在x軸上方的橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的半個(gè)橢球的體積.

平行于x軸，且距離為y（y＞0）的直線交橢圓第一象限部分的交點(diǎn)為則對(duì)應(yīng)平面截得橢球的截面是一個(gè)圓，面積為這個(gè)截面也可以看做是一個(gè)圓環(huán)，兩個(gè)同心圓，大圓半徑為2，小圓半徑為

根據(jù)祖暅原理，可構(gòu)造幾何體，從一個(gè)圓柱中間挖去一個(gè)倒立的圓錐.所以橢球的體積為

教師：很好，該同學(xué)不僅正確地解決了這個(gè)問題，而且思路清晰，并將這類問題的解決步驟規(guī)范化，值得我們大家學(xué)習(xí).（鼓掌）

四、結(jié)語

本節(jié)課屬于重構(gòu)式的HPM教學(xué)案例，通過探尋數(shù)學(xué)歷史中球的體積公式的發(fā)展脈絡(luò)，從劉徽到祖暅，從球的體積到祖暅原理，讓學(xué)生經(jīng)歷探究過程，感受古人在探究過程中的非凡智慧和探索精神.同時(shí)，將前人的結(jié)論進(jìn)行借鑒和創(chuàng)新，嘗試后獲得成功的快樂.本教案在設(shè)計(jì)和實(shí)踐中，有如下感悟：

1.教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)選擇合適的數(shù)學(xué)史融入教學(xué)

我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到學(xué)生有這樣的問題：為什么要學(xué)這個(gè)定理？它是怎么想到的？本節(jié)課根據(jù)教學(xué)內(nèi)容選擇了重構(gòu)式，重現(xiàn)劉徽構(gòu)造牟合方蓋推導(dǎo)球的體積，祖暅提出祖暅原理得到球體積公式的完整過程.數(shù)學(xué)史的運(yùn)用使定理的出現(xiàn)合理自然，同時(shí)也解決了對(duì)祖暅原理的內(nèi)涵理解，應(yīng)用方式等教學(xué)難點(diǎn).數(shù)學(xué)教材需要保證知識(shí)的系統(tǒng)性，但也容易讓學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是靠死記硬背的方式去學(xué)習(xí)一些孤立的知識(shí)，解決這一矛盾的有效途徑之一是適當(dāng)?shù)貙?shù)學(xué)史融入日常教學(xué)中，做到既讓學(xué)生學(xué)習(xí)到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，又讓學(xué)生清晰地了解和認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生過程，養(yǎng)成良好的思維方式，從而為創(chuàng)新思維的培養(yǎng)做好鋪墊.

2.教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)重視數(shù)學(xué)史中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和教育功能

科學(xué)家傅鷹教授有一句名言“科學(xué)只給我們知識(shí)，而歷史卻給我們智慧”.在學(xué)科學(xué)習(xí)中，了解知識(shí)的發(fā)展歷程，可以促進(jìn)我們正確地理解科學(xué)本質(zhì).在球的體積公式的推導(dǎo)過程中，首先多次運(yùn)用到轉(zhuǎn)化思想，如《九章算術(shù)》中公式雖然不對(duì)，但古人將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題處理的轉(zhuǎn)化思想蘊(yùn)含其中；其次在推導(dǎo)過程中構(gòu)造的思想方法亦不斷出現(xiàn)，學(xué)生印象最深刻的是祖暅將未知幾何體的體積與倒立正方錐的體積對(duì)等，在后面構(gòu)造幾何體推導(dǎo)半球體積中根據(jù)截面面積S=πr2-πh2學(xué)生自然想到倒立的圓錐，教學(xué)難點(diǎn)不攻自破；最后，無論在劉徽構(gòu)造牟合方蓋還是祖暅提出祖暅原理的過程中都蘊(yùn)含著極限思想，從直到曲，從有限到無限，雖然沒有明確提出極限的概念，但是讓學(xué)生感受到極限的思想.

在歷史重構(gòu)過程中學(xué)生經(jīng)歷了古人揭開數(shù)學(xué)奧秘的艱辛歷程，經(jīng)歷了令人振奮的探索過程，為劉徽和祖暅的智慧而驚嘆，為數(shù)學(xué)家敢于堅(jiān)持真理的鉆研精神而心生敬佩，為古代數(shù)學(xué)的輝煌成就而感到自豪，從而激勵(lì)學(xué)生為科學(xué)的發(fā)展而努力學(xué)習(xí).