整合課本與資料 探究與拓展并行*
——“直線與圓相切”微專題課堂實錄

☉甘肅省天水市第一中學 劉 怡

本節(jié)課是筆者參加與兄弟學校同課異構交流活動時所做的課堂實錄.教學設計綜合考慮高考題的考點，復習資料中學生的難點，課本中的一些經(jīng)典習題，試圖將直線與圓相切的相關知識點有機地整合在一起，設計成適合學生探究性學習的高三一輪復習課.

考情分析：在全國卷文科試題中，直線與圓位置關系中的相切問題是高頻考點.試題大多帶有綜合性，內容涉及對稱、定點、定值、最值等題型.試題強調幾何問題代數(shù)化，代數(shù)問題幾何化的意識，要求提高應用圓的幾何性質以及運用數(shù)形結合思想解題的能力.

學情分析：授課班級為高三文科普通班

（1）學生做復習資料題時遇到的難點：對過圓外一點引圓的兩切線，求兩切點所在的直線方程的這類問題存在解題困難.

（2）對圓的幾何性質掌握較差，且缺少探究，在解答直線與圓有關的問題時，偏重代數(shù)運算，忽略圓的幾何性質，從而將簡單問題復雜化.

（3）僅會運用基本方法解答問題，運算過于繁瑣，對“設而不求”等思想方法缺乏理解，不會運用.

教學目標：（1）會探究直線與圓相切的相關問題.例如求切線方程、切線長、兩切點連線所在的直線方程等.（2）能結合直線與圓相切的幾何性質來解決一些最值問題.

重點：過圓外一點引圓的切線，求兩切點所在的直線方程.

難點：有關直線與圓相切的最值問題.

一、課堂簡錄

1.直線與圓相切幾何元素的探究

例1 過點O（0，0）作圓M：（x-3）2+（y-4）2=5的兩條切線，切點分別為P、Q.

（1）試求切線OP、OQ的直線方程.

變式2：過點（2，6），求圓的切線方程呢？

讓兩名學生同時在黑板上解答例1（1）.

生1：設切線方程為y=kx，聯(lián)立方程得（k2+1）x2-（6+8k）x+20=0，然而在計算Δ=0時出錯.

教師點評：學生2側重幾何法，若直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，然后用此性質進行求解.學生1側重代數(shù)法，直線與圓的方程聯(lián)立后，讓判別式等于0，進而求得切線斜率.相比而言幾何法運算量少，不容易出錯.但是聯(lián)立方程的方法是討論直線與圓錐曲線位置關系的基本方法，具有一般性.可以遷移到直線與橢圓、雙曲線、拋物線相切的相關問題上.

師：變式1先不計算，并思考在解答中和（1）有什么相同和不同嗎？

生3：等量關系和前者相同，解題思路也一樣.

生4：點都在圓外，要用點斜式設切線方程.

生5：數(shù)字比之前的麻煩，并且?guī)в懈?

師：同學們說的這些都對，大家有沒有注意到設點斜式的前提是斜率存在，結合圖形這個圓有兩條斜率不存在的切線，x=3±作出圖形），因此，數(shù)據(jù)代入得到的方程只能求出一條切線的斜率，另外一條就是斜率不存在的x=3-

師：從圖形中可以很直觀的看出前兩題的點都在圓外，那么變式2呢？就不那么直觀了，我們可以借助方程來判斷.

學生齊聲：點在圓上.

生6：因為切線和過切點的半徑垂直，故求出切線斜率即可.

師生總結：過一點求圓的切線，首先要判斷點與圓的位置關系.若點在圓上則是一條切線；若點在圓外則是兩條切線，如若方程此時只有一解，說明另外一條切線的斜率不存在.

（2）求切線OP、OQ的長度.

（3）求兩切點連線PQ的直線方程.

生8：聯(lián)立切線與圓的方程，求切點P，Q的坐標，再用兩點式求直線方程.

生9：只需求出一個切點即可，PQ和OM垂直，用點斜式更簡單.

師：你覺得哪個切點運算簡單些？

全班齊聲：Q點.

全班動手運算得出結果，PQ的直線方程為：3x+4y-20=0.

師：以上解法是代數(shù)解法，記作解法一.注意觀察圖形，大家還能發(fā)現(xiàn)其他解法嗎？

生10：因為∠OPM=∠OQM=90°，所以P，Q兩點在以OM為直徑的圓上，以OM為直徑的圓的方程為x2-3x+y2-4y=0，因此PQ是兩圓公共弦所在的直線方程.與圓M相減即可得PQ的直線方程.

師：這個方法是幾何解法，記作解法二，其運算的確比解法一更為簡便.大家還能找到其他解法嗎？

全班沉思中，沒有學生主動發(fā)言.

師：對MP⊥OP也可以用向量構建等量關系.設切點P（x，y），由=0得x2-3x+y2-4y=0，同理Q點也滿足此方程，即這個方程是過P，Q兩點的圓，以下同解法二.

解法三是解法一和解法二的綜合，在此過程中要注重對點的設而不求的解題方法.

例2 （2015年江蘇10）在平面直角坐標系xOy中，以點A（1，0）為圓心且與直線l：mx-y-2m-1=0（m∈R）相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為______.

師：首先要利用數(shù)形結合思想，認真作圖.并思考這條直線有何特點？什么在變，什么沒變？

生齊聲：有定點，斜率在變.

師：求定點.

生齊聲：（2，-1）.

師：不妨記為點P.

師：因為圓與直線相切，所以圓心到動直線的距離就是圓的半徑.利用電子黑板作圖軟件，繪制直線，并讓直線繞著定點P旋轉，讓學生仔細觀察定點A（1，0）到直線距離的變化，讓學生直觀感受.不一會兒，學生齊聲回答，當PA⊥l時，PA

二、課堂小結

這節(jié)課我們對直線與圓相切的問題做了一個有機整合，此類題型涉及對稱、定點、最值等，同時對相切的幾何元素做了一個深入的學習.一般解析幾何的解題思路不唯一，我們不要畏懼運算，但更不能死算，在解決圓與直線相切的問題時，要善于分析圓的幾何性質，并利用數(shù)形結合思想，才能找到更為簡便的計算方法.

“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江?！保詈?，希望我們能養(yǎng)成善于對所學知識進行歸納、反思的學習習慣，也祝愿大家在學習的道路上，不斷前行.

三、教學反思

高三復習中，學生和教師大都重資料而輕課本，容易陷入題海戰(zhàn)術之中，那么復習中如何落實核心素養(yǎng)呢？筆者認為引導學生先把課本復習好，然后再以課本為生長點，讓學生體會很多高考題是對課本的變式、綜合或者拓展.以課本為生長點，對知識加以整合、探究并拓展，從而達到對知識的深度學習，使復習更高效.整個課堂是師生在對話中交流，在合作中學習，因此課堂氣氛自然、流暢.

四、“微專題”的教學思考

1.專題的確定：遵循“真”、“實”、“小”的原則

“微專題”不求面面俱到，而是針對學生在單元復習和大專題復習中暴露出的在知識、方法和能力方面的薄弱環(huán)節(jié)，選擇切口小、角度新、針對性強的小專題，以學生復習中的“問題”促“專題”的生成，力求解決學生學習中的“真問題”和“實問題”.教學設計主要是考慮到以下兩點因素：學生的難點和考試的熱點.

2.注重知識的整合，突出“以小見大”

“微專題”的教學關鍵在于抓住課堂內容的主線，讓學生在真情境、真討論、真問題、真思考中學會學習，理清例題之間的內在邏輯關聯(lián)，這樣才能使學生做到“舉一反三”，“觸類旁通”.F