基于約瑟夫森結(jié)的微波QUBIT

段可欣

(中國電子科技集團(tuán)公司第三十九研究所 陜西省天線與控制技術(shù)重點實驗室，陜西 西安 710065)

0 引 言

1961年，英國物理學(xué)家約瑟夫森的理論研究表明：兩塊超導(dǎo)體通過絕緣體薄層連接起來組成一個夾層結(jié)構(gòu)，當(dāng)中間的絕緣層厚度為大約10? -20?時，如果給夾層兩邊的超導(dǎo)體加一個電壓，該結(jié)構(gòu)中會出現(xiàn)一些新奇的現(xiàn)象：超導(dǎo)體中的庫珀電子對會穿過絕緣體進(jìn)入夾層另一邊的超導(dǎo)體。這就是著名的超導(dǎo)電子對隧穿效應(yīng)，也叫做約瑟夫森效應(yīng)。

1 約瑟夫森結(jié)

1.1 概述

兩塊超導(dǎo)體夾一層薄絕緣材料的組合稱S-I-S超導(dǎo)隧道結(jié)或約瑟夫森結(jié)。約瑟夫森結(jié)斷面圖的結(jié)構(gòu)如圖1所示：它由超導(dǎo)體S1、絕緣層I和超導(dǎo)體S2組成一個夾層結(jié)構(gòu)，中間的絕緣層厚度為大約10?-20?。

圖1 約瑟夫森結(jié)的結(jié)構(gòu)示意圖

1.2 約瑟夫森結(jié)的基本方程

約瑟夫森結(jié)基本方程分別是指通過結(jié)的電流密度與結(jié)兩側(cè)超導(dǎo)體的量子相位差的關(guān)系以及通過結(jié)兩側(cè)的電壓與結(jié)兩側(cè)量子相位差的關(guān)系[5-9]。

通過約瑟夫森結(jié)的電流密度和約瑟夫森結(jié)兩側(cè)的超導(dǎo)體的量子相位差的關(guān)系為：

Is=Icsinθ

(1)

式中Is是約瑟夫森電流密度;Ic是約瑟夫森電流密度的極大值;θ是兩塊超導(dǎo)體波函數(shù)之間的相位差。而量子相位差和通過約瑟夫森結(jié)兩側(cè)電壓的關(guān)系為：

(2)

根據(jù)自感系數(shù)的定義V=LJdl/dt可得電感系數(shù)為：

(3)

1.3 約瑟夫森結(jié)的伏安特性

測量約瑟夫森結(jié)的伏安特性時，常用直流電表或者低頻電表，他們對高頻電壓及電流關(guān)系無反應(yīng)，其指示值為節(jié)電壓和節(jié)電流的時間平均值。這個平均電流和平均電壓之間的關(guān)系叫做約瑟夫森結(jié)的伏安特性。

I-V特性曲線的形狀取決于約瑟夫森結(jié)和電源內(nèi)阻，對于同一個約瑟夫森結(jié)，采用恒流源和非恒流源得到的I-V特性曲線很不相同，由于約瑟夫森結(jié)的電阻一般只有0.01～10 Ω，通常遠(yuǎn)小于電源內(nèi)阻，因此電源更接近恒流源，也是常用的電源形式，圖2顯示的是恒流源無回滯伏安特性曲線。

圖2 約瑟夫森結(jié)的伏安特性

2 量子QUBIT分類

2.1 QUBIT概述

基于約瑟夫森結(jié)的超導(dǎo)QUBIT原理圖、等效電路和勢能關(guān)系曲線如圖3所示。圖中約瑟夫森結(jié)在超導(dǎo)電路里的作用相當(dāng)于一個結(jié)電感和結(jié)電容構(gòu)成的非線性共振器，這種非線性使得約瑟夫森的能級間隔不均勻，若電磁參量選擇得當(dāng)，可使約瑟夫森結(jié)簡化為一個有效的二能級系統(tǒng)。

圖3 超導(dǎo)QUBIT原理示意圖電流偏置的約瑟夫森結(jié)電路(左)、等效電路(中)和有效的勢能關(guān)系曲線(右)

共振的非線性意味著約瑟夫森結(jié)的能級是可以調(diào)節(jié)的，只要采用適當(dāng)?shù)妮o助電路 (實驗上在mK溫度下操作)，就可以使最低的兩個能級與其他能級完全分離。因此, 由介觀約瑟夫森為主要元器件, 可以建構(gòu)出多種超導(dǎo)量子比特 (QUBIT)。

通常超導(dǎo)QUBIT分為三種類型：超導(dǎo)電荷QUBIT(Superconducting Charge QUBIT)，超導(dǎo)磁通QUBIT(Superconducting Flux QUBIT)和超導(dǎo)相位QUBIT(Superconducting Phase QUBIT)。

超導(dǎo)QUBIT類型的劃分依據(jù)是約瑟夫森耦合能EJ和靜電庫倫能EC的比值。如果EJ/EC～0.1，則該超導(dǎo)QUBIT為超導(dǎo)電荷QUBIT；如果EJ/EC～10，則該超導(dǎo)QUBIT為超導(dǎo)磁通QUBIT；如果EJ/EC～106，則該超導(dǎo)QUBIT為超導(dǎo)相位QUBIT。

除了以上常見的這三種超導(dǎo)QUBIT，還有一些經(jīng)過了改良設(shè)計的超導(dǎo)QUBIT，如超導(dǎo)Fluxonium、超導(dǎo)Xmon、超導(dǎo)transmon以及超導(dǎo)gmon等[10-13]。

2.2 幾種常見QUBIT 性能分析

2.2.1超導(dǎo)電荷QUBIT

最簡單的超導(dǎo)電荷比特也被叫做庫珀對盒 (Cooper-pair box)，是由約瑟夫森結(jié)和n個很小的超導(dǎo)島組成的超導(dǎo)電路，超導(dǎo)島的一端通過約瑟夫森結(jié)(約瑟夫森耦合能EJ，結(jié)電容CJ)與外界電極相連，另一端通過一個門電容(Cg)與門電壓(Vg)相連構(gòu)成回路。其結(jié)構(gòu)如圖4(a)所示：

圖4 超導(dǎo)QUBIT示意圖

庫珀對盒的哈密頓量為：

H=4EC(n-ng)2-EJcosφ

(4)

式中：φ為約瑟夫森結(jié)兩端的相位差，n為超導(dǎo)島上的庫珀對數(shù)目，EC和EJ分別為充電能和約瑟夫森耦合能，ng=CgVg/2e，CJ與Vg為門電容與門電壓，ng無量綱，它描述門電壓的效應(yīng)，是一個控制參量。

在圖4 (a)的基礎(chǔ)上，將單個約瑟夫森結(jié)換成由兩個約瑟夫森結(jié)構(gòu)成的超導(dǎo)環(huán)，這個超導(dǎo)環(huán)可以被看成是一個DC-SQUID，同時在這個DC-SQUID 之上加上磁通量Φe，這個磁通量可以通過加在超導(dǎo)環(huán)正上方上的載流線圈加入，如圖4 (b)所示。如果這個超導(dǎo)環(huán)的自感非常低，這個可控的SQUID的哈密頓量中的勢能變?yōu)椋?/p>

(5)

(6)

上式是隨外面的磁通量的變化而變化?？梢钥闯鲞@個改進(jìn)結(jié)構(gòu)的哈密頓量的有效的磁場兩個分量Bx和Bz都是可調(diào)控的，外面磁通量的可以改變Bz，門電壓可以改變Bx。這樣通過電壓和電流的調(diào)整，我們可以實現(xiàn)沿著x軸和z軸方向的旋轉(zhuǎn)操作，從而實現(xiàn)任意的單比特旋轉(zhuǎn)。在大多數(shù)情況下，我們只讓Bx和Bz中一個發(fā)生作用，決定這些操作的是它的包絡(luò)對時間的積分，因此通過選擇這些包絡(luò)可以優(yōu)化速度和簡化操作。

超導(dǎo)電荷QUBIT的優(yōu)點是它對磁場的漲落不敏感，缺點是環(huán)境中的電荷漲落對它的相干時間影響很大，通常是設(shè)計較大的門電容和結(jié)電容來減小充電能，從而降低電荷噪聲的影響。

2.2.2超導(dǎo)磁通QUBIT

將若干個約瑟夫森結(jié)放置在閉合的超導(dǎo)環(huán)路中，也就是DC-SQUID或RF-SQUID，并對超導(dǎo)環(huán)路施加外部磁通φx,就構(gòu)成了一個超導(dǎo)磁通QUBIT。在這些系統(tǒng)中，有持續(xù)的電流和磁通量，其中最簡單的設(shè)計就是RF-SQUID。如圖5(a)所示，約瑟夫森結(jié)兩端的相位差φ與超導(dǎo)環(huán)中的磁通量φx之間的關(guān)系為φ/2π=φ/φ0+n，其中n為整數(shù)。若加入一個外磁通量，此時這個系統(tǒng)的哈密頓量Η由約瑟夫森耦合能量，自感能量以及電荷能量三部分構(gòu)成。

(7)

這里L(fēng)為環(huán)的自感系數(shù);CJ為結(jié)點容。

圖5 磁通QUBIT示意圖

如果用一個DC-SQUID代替約瑟夫森結(jié)，如圖5(b)所示，就可以調(diào)節(jié)EJ的大小，此時像超導(dǎo)電荷QUBIT一樣，任意的單比特操作都可以實現(xiàn)。為了保證相干操作的發(fā)生，參量βL 必須比1 大，此時兩個雙勢阱有定義較好的態(tài)出現(xiàn)，但是不能比1 大很多，因為這樣會導(dǎo)致隧穿抑制。

超導(dǎo)磁通QUBIT的優(yōu)點是它對環(huán)境中的電荷噪聲也不敏感。而且超導(dǎo)磁通QUBIT沒有引線和測量設(shè)備相連，更容易將其與環(huán)境隔離，因此能夠得到較長的相干時間。缺點是它對磁場的漲落非常敏感。

2.2.3超導(dǎo)相位QUBIT

超導(dǎo)相位QUBIT的結(jié)構(gòu)是由一個約瑟夫森結(jié)連接一個電源構(gòu)成，如圖6(a)所示。電源產(chǎn)生的偏置電流通過這個回路會產(chǎn)生一個形似搓板式的勢場，其勢能為：

(8)

其中Ie為偏置電流，勢場本身與cosφ(φ為結(jié)相位)成比例。

在超導(dǎo)相位QUBIT中，EC?EJ，此時相位是一個確定的值，而庫柏對的數(shù)目則處于完全不確定狀態(tài)。它的哈密頓量可以被描述為：

(9)

從量子力學(xué)角度看，粒子由于隧穿效應(yīng)不可能被勢阱完全束縛，但是如果粒子的能量接近勢阱的底部，這種隧穿可以忽略不計。

圖6(b)為電流偏置的約瑟夫森結(jié)勢阱中的量子化能級。在低溫下，超導(dǎo)相位QUBIT的能級是量子化的，但不是等間距的，我們可以通過調(diào)節(jié)偏置電流來改變勢阱的深度來得到超導(dǎo)相位QUBIT所需要的兩個最低能級|0>，|1>。

圖6 相位QUBIT示意圖

超導(dǎo)相位QUBIT的優(yōu)點是對磁漲落和電荷漲落都不敏感，且結(jié)構(gòu)簡單。缺點是它有引線連接到測量儀器上，因此需要特別的電路設(shè)計才能使它與環(huán)境隔離。此外，1/f 噪聲對相位QUBIT的相干時間有較大影。

2.3 QUBIT間與CPW負(fù)載腔的耦合及微波單量子探測

通常超導(dǎo)比特用來和超導(dǎo)諧振腔系統(tǒng)耦合。就其耦合方式來說，超導(dǎo)電荷比特通常是通過電場和腔直接耦合，超導(dǎo)磁通比特通常是通過感應(yīng)磁場與CPW腔耦合，超導(dǎo)相位比特通常也是通過電容和腔直接耦合。

據(jù)報道，有研究團(tuán)隊通過兩個CPW腔連結(jié)一個耦合transmon比特，已經(jīng)實現(xiàn)了對單個微波光子的量子非破壞性測量。對于實現(xiàn)微波單量子探測的目的來說，這個實驗為微波單量子探測開辟一條新的路徑，利用QUBIT與CPW負(fù)載腔耦合實現(xiàn)微波單量子探測是很有前途的研究方向[14-18]。

2.4 QUBIT測量中常見的誤差來源

在QUBIT構(gòu)成的電路的測量過程中，常見誤差來源通常有以下幾種：

(1)控制電流。QUBIT 狀態(tài)完全可以通過控制電流來操縱，但是控制電流的噪音會使信號產(chǎn)生離散分布；

(2)磁噪聲。磁噪聲通常來源于約瑟夫森結(jié)上的絕緣體和氧化物中兩能級間的波動；

(3)熱噪聲。QUBIT電路工作在mK溫度區(qū)間，良好的絕熱系統(tǒng)對于減少熱噪聲對QUBIT電路的影響十分關(guān)鍵；

(4)底物。約瑟夫森結(jié)的硅基底物對于信號離散也會產(chǎn)生影響，可以選擇更好的底物，比如藍(lán)寶石和15 kΩ的單晶硅片等；

(5)磁力計的反作用。磁力計的反作用是信號離散的另一個可能的來源。測量時隧穿電壓的出現(xiàn)類似于創(chuàng)造了一個準(zhǔn)粒子，它破壞了QUBIT的狀態(tài)。

以上這些因素是QUBIT電路設(shè)計過程中需要特別注意的地方。

3 結(jié) 語

本文介紹了約瑟夫森結(jié)的量子特性和由其構(gòu)成的超導(dǎo)QUBIT的種類及性質(zhì),對于在微波單量子探測領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行了初步的設(shè)想。