基于在線(xiàn)辨識(shí)的機(jī)器人慣量前饋控制仿真研究

洪 鷹，徐世超，肖聚亮，王國(guó)棟，張智濤，劉宏業(yè)，段文斌，滕宗燁

(1. 天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300350；2. 天津揚(yáng)天科技有限公司，天津 300073)

隨著工業(yè)的發(fā)展，人們對(duì)協(xié)作機(jī)器人的要求進(jìn)一步提高，要求機(jī)器人的伺服控制系統(tǒng)有很高的軌跡跟蹤精度、無(wú)超調(diào)的定位過(guò)程和更快的響應(yīng)速度.目前，在機(jī)器人領(lǐng)域應(yīng)用最多的還是經(jīng)典 PID反饋控制系統(tǒng)，而通過(guò)調(diào)整控制器的增益來(lái)提高系統(tǒng)的跟蹤精度和響應(yīng)速度是最簡(jiǎn)單最容易實(shí)現(xiàn)的方法[1].基于此，Chang等[2]提出一種交流伺服系統(tǒng)的非線(xiàn)性自適應(yīng)反逐步控制方案，給出了控制器增益的選擇準(zhǔn)則；Ji等[3]將有源控制器參數(shù)作為機(jī)械手姿態(tài)和負(fù)載的函數(shù)進(jìn)行切換來(lái)調(diào)整 PID控制器增益.二者都是利用動(dòng)態(tài)調(diào)整增益的方法來(lái)改善控制性能，從而使得伺服系統(tǒng)在電機(jī)高轉(zhuǎn)速時(shí)具有較好的跟蹤特性，在電機(jī)低轉(zhuǎn)速時(shí)具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差.但調(diào)整控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益，是在犧牲一種特性的情況下提升另一種特性，無(wú)法兼顧系統(tǒng)的跟蹤精度和系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與動(dòng)態(tài)品質(zhì).

為了解決一般反饋控制系統(tǒng)在提高控制精度與確保系統(tǒng)穩(wěn)定性之間存在的矛盾，提升伺服控制系統(tǒng)的綜合性能，針對(duì)機(jī)器人控制系統(tǒng)，一些學(xué)者提出了前饋控制加反饋控制的復(fù)合控制方法.孫玉陽(yáng)等[4]利用遺傳算法對(duì)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)參數(shù)進(jìn)行離線(xiàn)辨識(shí)，將優(yōu)化后的動(dòng)力學(xué)模型作為前饋函數(shù)，一定程度上提升了前饋力矩的準(zhǔn)確度，但該技術(shù)沒(méi)有考慮關(guān)節(jié)中傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的彈性作用，在實(shí)際應(yīng)用中容易引發(fā)機(jī)械諧振、速度控制不精確，而且離線(xiàn)辨識(shí)方法不具有通用性，對(duì)于不同結(jié)構(gòu)的機(jī)器人，慣性參數(shù)的組合方式就不相同，缺乏普適性.Wang等[5]提出了一種利用BP(back propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法代替動(dòng)力學(xué)模型的力矩前饋控制方法，避免了由于動(dòng)力學(xué)模型建立不準(zhǔn)確而帶來(lái)的精度下降的問(wèn)題，同時(shí)也省去了復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)環(huán)節(jié)，實(shí)驗(yàn)證明該方法能夠提升機(jī)器人的軌跡跟蹤精度.但 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法有其自身的缺點(diǎn)，例如學(xué)習(xí)速度慢、容易陷入局部極小值等，從而在一定程度上降低了該種方法的可操作性.Zeeshan等[6]和Rene等[7]提出將動(dòng)力學(xué)模型與學(xué)習(xí)算法相結(jié)合來(lái)對(duì)前饋函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化的方法，既降低了建立機(jī)器人逆動(dòng)力學(xué)模型的難度，又簡(jiǎn)化了訓(xùn)練學(xué)習(xí)算法的復(fù)雜過(guò)程，同時(shí)提升了前饋模型的準(zhǔn)確度.但這種優(yōu)化方法依然是離線(xiàn)優(yōu)化，不能將機(jī)器人實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中的慣量變化實(shí)時(shí)反映到前饋模型中，一定程度上會(huì)影響前饋慣性力矩的準(zhǔn)確性.

本文提出了一種新型的可應(yīng)用于輕型模塊化協(xié)作機(jī)器人的前饋控制技術(shù)，該技術(shù)充分考慮機(jī)器人關(guān)節(jié)的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中由于存在齒輪、皮帶、諧波減速器等部件而引發(fā)的柔性問(wèn)題，將關(guān)節(jié)電機(jī)與電機(jī)的負(fù)載拆分成兩個(gè)剛體，構(gòu)造兩剛體彈簧系統(tǒng)并建立數(shù)學(xué)模型.另外，由于機(jī)器人在運(yùn)行過(guò)程中，各關(guān)節(jié)電機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不停變化的，該技術(shù)引入在線(xiàn)辨識(shí)算法，辨識(shí)各關(guān)節(jié)電機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，實(shí)時(shí)修正前饋通道上動(dòng)力學(xué)模型中的慣性參數(shù)，得到更精確的前饋力矩，使伺服系統(tǒng)保持優(yōu)秀的跟蹤性能.為了驗(yàn)證該技術(shù)的有效性，本文基于實(shí)驗(yàn)室研制的一種輕型模塊化機(jī)器人對(duì)慣量前饋控制進(jìn)行了仿真.結(jié)果表明，該技術(shù)能夠顯著提升機(jī)器人伺服控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和軌跡跟蹤精度.

1 復(fù)合控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

1.1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

慣量前饋控制技術(shù)是在傳統(tǒng)的機(jī)器人驅(qū)動(dòng)器的三閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上增加一個(gè)前饋模塊，這個(gè)前饋模塊本質(zhì)上屬于力矩前饋，但和一般的力矩前饋有所區(qū)別.普通的力矩前饋模塊中的動(dòng)力學(xué)模型只需 3個(gè)輸入：位移、速度、加速度，便可得到前饋力矩輸出，模型中的慣性矩陣中的慣性參數(shù)多由SolidWorks、UG等三維軟件測(cè)量而來(lái)，或者通過(guò)動(dòng)力學(xué)參數(shù)離線(xiàn)辨識(shí)而來(lái)[8].而本文提出的基于機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的力矩前饋需要 4個(gè)輸入：位移、速度、加速度和慣量矩陣，慣量矩陣中對(duì)角線(xiàn)上元素由在線(xiàn)辨識(shí)的慣量值轉(zhuǎn)化而來(lái).

圖1是本文提出的慣量前饋控制結(jié)構(gòu)示意圖.首先，根據(jù)作業(yè)要求規(guī)劃?rùn)C(jī)器人的笛卡爾空間軌跡，控制器求解機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，計(jì)算出機(jī)器人關(guān)節(jié)角位移q、角速度角加速度等.以第i關(guān)節(jié)為例，控制器一方面將該關(guān)節(jié)角位移信號(hào)qi和角速度信號(hào)˙qi經(jīng)減速比R轉(zhuǎn)換為關(guān)節(jié)電機(jī)的位移指令信號(hào)和速度指令信號(hào)，輸入到驅(qū)動(dòng)器中，速度指令信號(hào)作為前饋速度信號(hào)qω與位置控制器的輸出ω進(jìn)行疊加作為速度環(huán)的輸入，再經(jīng)速度控制器、電流控制器的調(diào)控作用，得到電機(jī)的輸入電流im，im與電機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)K相乘，得到電機(jī)電磁力矩Te.被控系統(tǒng)包括電機(jī)、負(fù)載、電機(jī)與負(fù)載之間的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，將被控系統(tǒng)等效為兩剛體彈簧系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入為電磁力矩Te，輸出為電機(jī)轉(zhuǎn)速mω與負(fù)載轉(zhuǎn)速Lω，在機(jī)器人運(yùn)行過(guò)程中，采集Te與mω信號(hào)，作為在線(xiàn)辨識(shí)單元的輸入，輸出第i關(guān)節(jié)電機(jī)負(fù)載的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)值與該關(guān)節(jié)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jmi相加得到關(guān)節(jié)i的總的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量慣量轉(zhuǎn)換單元的輸入為各關(guān)節(jié)總的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，利用等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與慣性矩陣的關(guān)系，輸出慣量矩陣作為逆動(dòng)力學(xué)模型的一個(gè)輸入，替換模型中的慣性矩陣；另一方面，控制器將根據(jù)規(guī)劃軌跡計(jì)算出的各關(guān)節(jié)角位移q、角速度角加速度˙輸入到動(dòng)力學(xué)模型當(dāng)中，計(jì)算出機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各關(guān)節(jié)所需驅(qū)動(dòng)力矩τ.然后根據(jù)力矩與電流的關(guān)系，將計(jì)算出的前饋力矩轉(zhuǎn)換為前饋電流iq，疊加到驅(qū)動(dòng)器電流環(huán)的輸入端，完成串聯(lián)機(jī)器人的慣量前饋控制.

圖1 慣量前饋控制結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Structural diagram of inertia feedforward control

1.2 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模與驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)用協(xié)作機(jī)器人模型如圖2所示.

由于機(jī)器人在運(yùn)行過(guò)程中，前3個(gè)關(guān)節(jié)的力矩變化較后3個(gè)關(guān)節(jié)更為明顯，所以取前3個(gè)關(guān)節(jié)為代表對(duì)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證，分別給定前3個(gè)關(guān)節(jié)的角位移與時(shí)間的關(guān)系，即

圖2 機(jī)器人三維模型Fig.2 Robot 3D model

利用拉格朗日動(dòng)力學(xué)公式[9]對(duì)圖 2中的輕型模塊化串聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，即

式中q1、q2、q3分別為關(guān)節(jié)1、2、3的角位移，rad.

后3個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速設(shè)為0，機(jī)器人從初始零位開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，利用 Matlab和 Adams聯(lián)合仿真驗(yàn)證.圖3(a)、(b)、(c)分別為前 3個(gè)關(guān)節(jié)力矩的驗(yàn)證曲線(xiàn)，圖3(d)為前3關(guān)節(jié)力矩的誤差曲線(xiàn).

由圖3的驗(yàn)證結(jié)果可以看出：關(guān)節(jié)1力矩的誤差峰值為0.945 N· m，相對(duì)誤差為1.46%；關(guān)節(jié) 2力矩的誤差峰值為3.005 N· m，相對(duì)誤差為0.17%；關(guān)節(jié) 3力矩的誤差峰值為1.044 N· m，相對(duì)誤差為1.9%.從Matlab軟件中編寫(xiě)的 Lagrangian動(dòng)力學(xué)方程計(jì)算出的關(guān)節(jié)力矩與在 Adams中測(cè)量的關(guān)節(jié)力矩基本一致，驗(yàn)證了所建立動(dòng)力學(xué)模型的正確性.

圖3 動(dòng)力學(xué)模型仿真驗(yàn)證Fig.3 Verification of dynamic model in simulation

2 兩剛體彈簧系統(tǒng)傳遞函數(shù)建模

工業(yè)機(jī)器人的發(fā)展趨勢(shì)是使用具有彈性的輕型機(jī)器人結(jié)構(gòu)，這種彈性主要來(lái)源于齒輪、軸承、彈性地基以及連桿的彎曲與扭轉(zhuǎn)[10-12].本實(shí)驗(yàn)室研制的協(xié)作機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)采用中空模塊化設(shè)計(jì)[13-14]，關(guān)節(jié)內(nèi)采用電機(jī)加諧波減速器的組合，電機(jī)與減速器之間采用帶輪傳動(dòng)，中空的設(shè)計(jì)減輕了各關(guān)節(jié)模塊的質(zhì)量，采用諧波減速器能夠獲得較大的關(guān)節(jié)輸出力矩，采用帶輪傳動(dòng)能夠使電機(jī)軸線(xiàn)偏離減速器軸線(xiàn)，使關(guān)節(jié)內(nèi)部結(jié)構(gòu)更加緊湊，如圖4所示.

圖4 模塊化關(guān)節(jié)內(nèi)部結(jié)構(gòu)Fig.4 Internal structure of modular joint

這些結(jié)構(gòu)特性會(huì)使電機(jī)與連桿之間出現(xiàn)彈性作用，因此，將被控系統(tǒng)等效為兩剛體彈簧系統(tǒng)，其中，電機(jī)轉(zhuǎn)軸與負(fù)載分別等效為剛體，具有彈性作用的中間傳動(dòng)機(jī)構(gòu)等效為扭轉(zhuǎn)彈簧，如圖5所示.

圖5 兩剛體彈簧系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意Fig.5 Structural diagram of two rigid body spring system

圖 5中，伺服驅(qū)動(dòng)器控制電機(jī)運(yùn)行，提供電磁轉(zhuǎn)矩Te，Te與傳動(dòng)軸系扭轉(zhuǎn)力矩Ts共同作用于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jm、阻尼系數(shù)為Cm的電機(jī)轉(zhuǎn)軸，對(duì)其角速度mω產(chǎn)生影響.Ts與負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL共同作用于等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JL、阻尼系數(shù)為CL的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，最終決定執(zhí)行機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)速Lω.其中，Ks與Cs分別為等效彈簧的扭轉(zhuǎn)剛度和阻尼系數(shù).

根據(jù)上述理論分析，可推出驅(qū)動(dòng)端與負(fù)載端的Laplace形式的關(guān)系式[15]為

式中：s為L(zhǎng)aplace算子；mθ為電機(jī)輸出軸角位移；Lθ為連桿角位移，由于系統(tǒng)中摩擦阻尼對(duì)系統(tǒng)影響較小，忽略不計(jì)[15]，得到電磁轉(zhuǎn)矩到電機(jī)輸出軸角速度的傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)中含有電機(jī)負(fù)載的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JL，電磁轉(zhuǎn)矩Te與電機(jī)輸出軸角速度mω能夠直接被測(cè)出或者通過(guò)測(cè)量量轉(zhuǎn)換得到，所以，式(4)將作為負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在線(xiàn)辨識(shí)的基礎(chǔ).

3 慣量在線(xiàn)辨識(shí)

3.1 慣量辨識(shí)算法構(gòu)建

機(jī)器人在運(yùn)行過(guò)程中，隨著位置和姿態(tài)的改變，各關(guān)節(jié)電機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也在不停變化，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的辨識(shí)是否及時(shí)，辨識(shí)結(jié)果是否準(zhǔn)確，會(huì)直接影響到前饋力矩的輸出，進(jìn)而決定整個(gè)慣量前饋控制技術(shù)的控制效果.最小二乘辨識(shí)算法具有原理簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，算法跟蹤時(shí)變參數(shù)能力強(qiáng)，辨識(shí)結(jié)果具有無(wú)偏性和一致性等特點(diǎn)[16]，同時(shí)，為了降低舊的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)由新觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)辨識(shí)出的結(jié)果產(chǎn)生影響，本文采用經(jīng)過(guò)改進(jìn)的帶有遺忘因子的最小二乘辨識(shí)算法對(duì)各關(guān)節(jié)電機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行在線(xiàn)辨識(shí).辨識(shí)算法原理如圖6所示.

以某一關(guān)節(jié)為例，為實(shí)現(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的在線(xiàn)辨識(shí)，將被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)式(4)轉(zhuǎn)化為差分方程

其中，待辨識(shí)參數(shù)

式中：ωm(k)為k時(shí)刻電機(jī)輸出軸角速度采樣數(shù)據(jù)；Te(k- 1)為k-1時(shí)刻電磁力矩采樣數(shù)據(jù)；，為兩剛體彈簧系統(tǒng)的諧振頻率；T為采樣周期.

將式(5)轉(zhuǎn)化為最小二乘標(biāo)準(zhǔn)式：

圖6 辨識(shí)算法原理圖Fig.6 Schematic diagram of identification algorithm

其中

式中θ=[a，b，c]T，為待辨識(shí)參數(shù)列向量.

經(jīng)推導(dǎo)，第i關(guān)節(jié)負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JLi與θ向量中各元素的關(guān)系為

將辨識(shí)出的θ向量中各元素值代入式(10)中，即可得到此刻該關(guān)節(jié)電機(jī)負(fù)載等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的估計(jì)值.

將第k-1次辨識(shí)出的θ向量代入式(7)中，得到y(tǒng)( k)的估計(jì)值為

則第k次辨識(shí)的先驗(yàn)誤差為

引入增益向量K(k)和協(xié)方差矩陣P(k)，則帶有遺忘因子的最小二乘辨識(shí)算法的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式[17]為

式中λ( 0 ＜λ≤ 1)為遺忘因子.普通遺忘因子最小二乘法中λ為常數(shù)，λ較大時(shí)，辨識(shí)算法對(duì)輸入的波動(dòng)不敏感，辨識(shí)結(jié)果比較穩(wěn)定，收斂時(shí)辨識(shí)誤差也較小，但對(duì)時(shí)變參數(shù)的跟蹤能力較弱；λ較小時(shí)，算法對(duì)時(shí)變參數(shù)的跟蹤能力較強(qiáng)，但辨識(shí)結(jié)果易波動(dòng)，穩(wěn)定誤差較大.綜合考慮，為了提升對(duì)負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的辨識(shí)效果，需要根據(jù)辨識(shí)誤差值實(shí)時(shí)改變遺忘因子λ的取值，本文采用常鐵原等[18]提出的倒置雙曲線(xiàn)正切函數(shù)的改進(jìn)方式對(duì)遺忘因子λ的取值進(jìn)行修正.

記λ(k+1)為第k+1次辨識(shí)的遺忘因子，

式中參數(shù)f、l、d、m均為常數(shù)，由試驗(yàn)確定.f和l控制λ(k+1)的取值范圍，d和m控制雙曲線(xiàn)正切函數(shù)收斂速度快慢并改善倒置后曲線(xiàn)頂部的形狀.d較大、m較小時(shí)，辨識(shí)結(jié)果收斂速度快、跟蹤能力強(qiáng)；d較小、m較大時(shí)，辨識(shí)結(jié)果的穩(wěn)定性增強(qiáng)、穩(wěn)態(tài)誤差減小.

以第i個(gè)關(guān)節(jié)為例，事先給定一個(gè)足夠小的誤差節(jié)點(diǎn)E0，機(jī)器人開(kāi)始動(dòng)作時(shí)，辨識(shí)算法運(yùn)行，對(duì)待辨識(shí)參數(shù)和協(xié)方差矩陣賦初值，控制系統(tǒng)在線(xiàn)采集電磁力矩信號(hào)和電機(jī)轉(zhuǎn)速信號(hào)并將其輸入到最小二乘標(biāo)準(zhǔn)式(7)中，初始遺忘因子設(shè)為 1，利用帶有遺忘因子的最小二乘法對(duì)式(13)進(jìn)行迭代運(yùn)算，輸出辨識(shí)結(jié)果和辨識(shí)慣量，定義誤差E( k)為第k次各參數(shù)的辨識(shí)結(jié)果與第k-1次各參數(shù)辨識(shí)結(jié)果的差的絕對(duì)值之和.從式(6)可以看出，參數(shù)a的量級(jí)與“1”一致，參數(shù)b、c的量級(jí)與周期T一致，為了保證 3個(gè)參數(shù)的辨識(shí)誤差對(duì)E( k)的貢獻(xiàn)一致，定義的表達(dá)式為

當(dāng)E(k)≤E0時(shí)，認(rèn)為辨識(shí)結(jié)果穩(wěn)定，電磁力矩信號(hào)和電機(jī)轉(zhuǎn)速信號(hào)變化平穩(wěn)，此時(shí)令下一時(shí)刻遺忘因子λ(k+ 1 )=1，保證辨識(shí)結(jié)果具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性和較小的穩(wěn)態(tài)誤差；當(dāng) E ( k)＞E0時(shí)，認(rèn)為辨識(shí)結(jié)果發(fā)生波動(dòng)，辨識(shí)算法的輸入信號(hào)變化明顯，此時(shí)令，利用先驗(yàn)誤差與遺忘因子的關(guān)系對(duì)λ的取值進(jìn)行修正，加快辨識(shí)結(jié)果的收斂速度.

不斷進(jìn)行在線(xiàn)辨識(shí)算法的循環(huán)，即可獲得實(shí)時(shí)的電機(jī)所帶負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的辨識(shí)值

3.2 慣量辨識(shí)算法仿真驗(yàn)證

在快速響應(yīng)的伺服系統(tǒng)中，相較于較高的采樣頻率，串聯(lián)機(jī)器人各關(guān)節(jié)電機(jī)負(fù)載的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化緩慢，在仿真驗(yàn)證中，改變傳遞函數(shù)式(4)中負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JL的數(shù)值，使其按照的規(guī)律變化，取仿真的采樣周期 T = 0 .1ms，取誤差節(jié)點(diǎn)E0= 0 .0001，為了兼顧辨識(shí)結(jié)果具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差和較強(qiáng)的跟蹤能力，經(jīng)過(guò)多次仿真實(shí)驗(yàn)，式(14)中取m= 150，d=20，f=0.2，l=0.75，通過(guò)慣量在線(xiàn)辨識(shí)得到相應(yīng)的結(jié)果，如圖7所示.

圖7 在線(xiàn)辨識(shí)算法仿真驗(yàn)證Fig.7 Verification of online identification algorithm in simulation

從辨識(shí)結(jié)果可以看出，辨識(shí)算法剛啟動(dòng)時(shí)，辨識(shí)結(jié)果波動(dòng)明顯，辨識(shí)誤差較大，屬于過(guò)渡階段.約0.1s后，辨識(shí)結(jié)果收斂理論值，辨識(shí)慣量緊緊跟隨理論慣量變化，收斂后，最大的辨識(shí)誤差為0.012 2 kg· m2，相對(duì)誤差為0.0228%，辨識(shí)結(jié)果的均方根誤差為 5 .56× 1 0-5kg· m2.驗(yàn)證結(jié)果表明：改進(jìn)型的遺忘因子最小二乘辨識(shí)算法具有很好的適應(yīng)性和較高的辨識(shí)精度，能夠應(yīng)用于對(duì)串聯(lián)機(jī)器人運(yùn)行過(guò)程中各關(guān)節(jié)電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的在線(xiàn)辨識(shí).

3.3 慣量轉(zhuǎn)換

在線(xiàn)辨識(shí)算法辨識(shí)出的負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不能直接被利用，需要通過(guò)一系列轉(zhuǎn)換關(guān)系將其轉(zhuǎn)換成動(dòng)力學(xué)模型中的慣性力項(xiàng)參與前饋控制.

4 慣量前饋控制技術(shù)仿真

式中Ri為第i關(guān)節(jié)電機(jī)到連桿的減速比.

將得到的各關(guān)節(jié)前饋電流疊加到驅(qū)動(dòng)器電流環(huán)的輸入端，完成6自由度串聯(lián)機(jī)器人的慣量前饋控制.

基于本實(shí)驗(yàn)室研制的模塊化串聯(lián)機(jī)器人，利用Solidworks+Adams+Matlab進(jìn)行聯(lián)合仿真，在Simulink環(huán)境中，搭建機(jī)器人慣量前饋控制系統(tǒng)，如圖 8所示.系統(tǒng)輸入為預(yù)先規(guī)劃的各關(guān)節(jié)的角位移、角速度和角加速度，系統(tǒng)輸出為各連桿實(shí)際角位移和角速度，各關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)中 PID控制器參數(shù)由工程法進(jìn)行整定，整定結(jié)果如表1所示.

圖8 串聯(lián)機(jī)器人慣量前饋控制仿真系統(tǒng)Fig.8 Inertia feedforward control simulation system of serial robot

式中Mkj表示原慣性矩陣M( q)中第k行第 j列位置元素.

機(jī)器人在運(yùn)行過(guò)程中，控制系統(tǒng)不斷把實(shí)時(shí)的運(yùn)動(dòng)學(xué)信息和慣量矩陣輸入到動(dòng)力學(xué)方程式(19)中，即可輸出當(dāng)前時(shí)刻的目標(biāo)前饋力矩估計(jì)向量.對(duì)于第i關(guān)節(jié)，記其前饋力矩為力矩不

表1 PID參數(shù)Tab.1 PID parameters

圖 8中，被控系統(tǒng)為 Solidworks所建機(jī)器人三維模型經(jīng)由 Adams導(dǎo)入 Matlab的機(jī)器人正動(dòng)力學(xué)模型.由于在線(xiàn)辨識(shí)算法剛啟動(dòng)時(shí)存在過(guò)渡階段，辨識(shí)誤差較大，所以在系統(tǒng)中加入時(shí)間選擇器，并將時(shí)間節(jié)點(diǎn)定為0.1s.系統(tǒng)剛開(kāi)始運(yùn)行時(shí)，辨識(shí)結(jié)果未收斂，選擇器輸出原動(dòng)力學(xué)模型中的慣性矩陣M( q)，進(jìn)行普通的力矩前饋，0.1s后辨識(shí)結(jié)果收斂并穩(wěn)定，選擇器輸出含有辨識(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的慣量矩陣慣量前饋開(kāi)始作用.

為了展現(xiàn)慣量前饋技術(shù)的控制效果，利用Matlab中的機(jī)器人工具箱分別在笛卡爾空間中的水平面與豎直面內(nèi)規(guī)劃圓形軌跡，如圖 9所示，軌跡參數(shù)如表 2所示，其中，圓心坐標(biāo)是在機(jī)器人底座坐標(biāo)系下的坐標(biāo).

圖9 笛卡爾空間圓形軌跡Fig.9 Circular trajectories in Cartesian space

表2 圓形軌跡參數(shù)Tab.2 Circular trajectory parameters mm

分別在施加慣量前饋、施加普通力矩前饋、不施加前饋3種不同控制條件下，使機(jī)器人末端沿著圓形軌跡運(yùn)動(dòng)，通過(guò)對(duì)比機(jī)器人各關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間中的軌跡跟蹤誤差以及機(jī)器人末端在笛卡爾空間中的軌跡跟蹤誤差，來(lái)驗(yàn)證慣量前饋控制性能，由于機(jī)器人在運(yùn)行過(guò)程中，前 3個(gè)關(guān)節(jié)電機(jī)的負(fù)載慣量變化較大，所以在關(guān)節(jié)空間中，選取前 3個(gè)關(guān)節(jié)進(jìn)行驗(yàn)證.本文選擇最大跟蹤誤差和均方根誤差對(duì)跟蹤誤差進(jìn)行量化，均方根誤差的定義如下：

式中：N為采樣點(diǎn)數(shù)；e為跟蹤誤差.

4.1 水平面仿真

根據(jù)水平面內(nèi)圓形軌跡，利用機(jī)器人工具箱中的“robotname.ikine”函數(shù)逆解出前3個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)空間軌跡，如圖10所示，其中圖10(a)為各關(guān)節(jié)角位移曲線(xiàn)，由于機(jī)器人不是從設(shè)定零位開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，而是以圓形軌跡上某一點(diǎn)為初始點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，所以各關(guān)節(jié)在零時(shí)刻的初始位移不為零，圖 10(b)為各關(guān)節(jié)角速度曲線(xiàn)，圖10(c)為各關(guān)節(jié)角加速度曲線(xiàn).

圖10 水平圓關(guān)節(jié)空間軌跡Fig.10 Joint space trajectories of horizontal circle

將逆解出的關(guān)節(jié)空間軌跡作為圖 8所示仿真系統(tǒng)的輸入進(jìn)行仿真，得到各關(guān)節(jié)在不同控制條件下的軌跡跟蹤誤差如圖 11所示，機(jī)器人末端在不同控制條件下的軌跡跟蹤誤差如圖12所示.

圖11 水平圓關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差Fig.11 Joint trajectory tracking error of horizontal circle

圖12 水平圓跟蹤誤差Fig.12 Tracking error of horizontal plane

從圖 11的仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)機(jī)器人穩(wěn)定運(yùn)行后，各關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差峰值出現(xiàn)的時(shí)刻與其角加速度峰值出現(xiàn)的時(shí)刻一致，誤差為0的時(shí)刻與其角加速度為0的時(shí)刻一致，這表明各關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤誤差與各自的角加速度的大小密切相關(guān)，這是因?yàn)榧铀俣仍酱?，控制所需的慣性力越大，機(jī)器人各關(guān)節(jié)電機(jī)所帶的負(fù)載產(chǎn)生的慣性效應(yīng)越大，就越會(huì)對(duì)該關(guān)節(jié)的伺服系統(tǒng)的控制產(chǎn)生不利影響，當(dāng)采用慣量前饋控制技術(shù)時(shí)，控制系統(tǒng)根據(jù)在線(xiàn)辨識(shí)出的各關(guān)節(jié)電機(jī)的負(fù)載的慣量值實(shí)時(shí)計(jì)算并輸出準(zhǔn)確的前饋力矩來(lái)對(duì)機(jī)器人進(jìn)行控制，從而抑制了機(jī)器人在運(yùn)行過(guò)程中的超調(diào)，減小誤差波動(dòng)的范圍，降低軌跡跟蹤誤差.

結(jié)合圖11與圖12可以看出，關(guān)節(jié)誤差會(huì)累積到機(jī)器人末端的軌跡跟蹤誤差上，影響整體的控制效果.通過(guò)對(duì)比水平面內(nèi)機(jī)器人各關(guān)節(jié)和機(jī)器人末端在3種不同控制條件下的軌跡跟蹤誤差曲線(xiàn)，可以看出，慣量前饋控制技術(shù)能夠顯著提升機(jī)器人伺服控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，提高機(jī)器人的控制精度，而且機(jī)器人運(yùn)行的加速度越大，該技術(shù)對(duì)慣性效應(yīng)的抑制作用越明顯.

由于機(jī)器人運(yùn)行0.1s后慣量前饋才開(kāi)始作用，所以對(duì)0.1s之后的仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到水平面內(nèi)前3關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤誤差量化結(jié)果如表3所示，機(jī)器人末端軌跡跟蹤誤差量化結(jié)果如表 4所示.根據(jù)表 3和表4可得，慣量前饋控制技術(shù)能將傳統(tǒng)無(wú)前饋?zhàn)饔玫目刂葡到y(tǒng)的控制精度提高 94%以上，與普通力矩前饋技術(shù)相比，能將控制精度提高70%以上.

表3 水平圓關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差Tab.3 Joint trajectory tracking error of horizontal circle 10-5 rad

表4 水平圓跟蹤誤差Tab.4 Tracking error in horizontal plane 10-2mm

4.2 豎直面仿真

根據(jù)豎直面內(nèi)圓形軌跡，同樣利用機(jī)器人工具箱逆解出前 3個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)空間軌跡如圖 13所示，其中圖 13(a)為各關(guān)節(jié)角位移曲線(xiàn)，圖 13(b)為各關(guān)節(jié)角速度曲線(xiàn)，圖13(c)為各關(guān)節(jié)角加速度曲線(xiàn).

將逆解出的關(guān)節(jié)空間軌跡作為仿真系統(tǒng)的輸入進(jìn)行仿真，得到各關(guān)節(jié)在不同控制條件下的軌跡跟蹤誤差如圖 14所示，機(jī)器人末端在不同控制條件下的豎直圓跟蹤誤差如圖15所示.

結(jié)合圖13、圖14和圖15可以看出，機(jī)器人末端在豎直面內(nèi)運(yùn)行時(shí)，其末端軌跡跟蹤誤差依然是由各關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差累積而來(lái)，各關(guān)節(jié)的跟蹤誤差依然由各自的角加速度來(lái)決定，角加速度較大時(shí)，慣性效應(yīng)明顯，導(dǎo)致控制精度下降.而慣量前饋控制技術(shù)能夠保證系統(tǒng)在加速度較大時(shí)也能具有較高的軌跡跟蹤精度、較小的穩(wěn)態(tài)誤差和較小的超調(diào)量.

對(duì)0.1s之后的仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到前3關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤誤差量化結(jié)果如表5所示，機(jī)器人末端軌跡跟蹤誤差量化結(jié)果如表 6所示.根據(jù)表 5和表 6的具體數(shù)值，可以算出當(dāng)機(jī)器人末端在豎直面內(nèi)走圓形軌跡時(shí)，慣量前饋控制技術(shù)能將傳統(tǒng)無(wú)前饋?zhàn)饔玫目刂葡到y(tǒng)的控制精度提高 90%以上，與普通力矩前饋技術(shù)相比，能將控制精度提高70%以上.

圖13 豎直圓關(guān)節(jié)空間軌跡Fig.13 Joint space trajectories of vertical circle

圖14 豎直圓關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差Fig.14 Joint trajectory tracking error of vertical circle

圖15 豎直圓跟蹤誤差Fig.15 Tracking error of vertical plane

對(duì)比以上仿真結(jié)果中的跟蹤誤差曲線(xiàn)，可以看出，在控制系統(tǒng)不施加前饋和施加慣量前饋兩種條件下得到的誤差曲線(xiàn)變化趨勢(shì)是相同的，而且都與施加普通力矩前饋得到的誤差曲線(xiàn)變化趨勢(shì)相反，這是因?yàn)椴皇┘忧梆伒目刂葡到y(tǒng)單純依靠反饋?zhàn)饔眠M(jìn)行調(diào)節(jié)，只有當(dāng)控制偏差出現(xiàn)之后才發(fā)揮作用，屬于滯后控制；施加慣量前饋的控制系統(tǒng)需要根據(jù)上一周期采集的關(guān)節(jié)電機(jī)的角速度與電磁力矩，在線(xiàn)辨識(shí)出上一周期各關(guān)節(jié)的負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，將慣量辨識(shí)值輸入到前饋通道上的動(dòng)力學(xué)模型中計(jì)算出此刻的前饋力矩，所以慣量前饋控制滯后了一個(gè)速度環(huán)的周期，也屬于滯后調(diào)節(jié)，但由于速度環(huán)周期較小，處在“ms”級(jí)，與此相比，機(jī)器人動(dòng)作緩慢，可以認(rèn)為相鄰兩個(gè)周期內(nèi)，機(jī)器人各關(guān)節(jié)電機(jī)所帶負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量沒(méi)有變化，所以上一周期辨識(shí)出的負(fù)載慣量可以在下一個(gè)控制周期使用；而普通的力矩前饋只與輸入有關(guān)，與控制系統(tǒng)的各項(xiàng)輸出無(wú)關(guān)，是一種預(yù)見(jiàn)性控制，屬于超前調(diào)節(jié)，得到的跟蹤誤差的方向與滯后調(diào)節(jié)的誤差方向相反.又因?yàn)樵跈C(jī)器人開(kāi)始運(yùn)行的 0.1s內(nèi)，辨識(shí)誤差較大，圖8所示的慣量前饋仿真系統(tǒng)采用的是普通前饋，0.1s后辨識(shí)結(jié)果穩(wěn)定，慣量前饋開(kāi)始發(fā)揮作用，所以在最初的0.1s內(nèi)，本文提出的慣量前饋技術(shù)與普通的力矩前饋技術(shù)的作用效果一致.基于上述原因，最終使得機(jī)器人在3種不同控制條件下的軌跡跟蹤誤差曲線(xiàn)的變化趨勢(shì)如圖 11、圖 12、圖 14和圖15所示.

表5 豎直圓關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差Tab.5 Joint trajectory tracking error of vertical circle 10-5 rad

表6 豎直圓跟蹤誤差Tab.6 Tracking error in vertical plane 10-2 mm

綜上，從水平面和豎直面內(nèi)的仿真圖像與誤差量化結(jié)果可以看出，無(wú)前饋控制下的超調(diào)量大，跟蹤誤差的波動(dòng)范圍大，穩(wěn)態(tài)誤差大；普通力矩前饋控制下的超調(diào)量有所減小，跟蹤誤差的波動(dòng)范圍與穩(wěn)態(tài)誤差都比較??；慣量前饋控制下的超調(diào)量幾乎為零，誤差波動(dòng)范圍更小，穩(wěn)態(tài)誤差基本為零.

所以，本文提出的慣量前饋控制技術(shù)能夠明顯加快各關(guān)節(jié)的響應(yīng)速度，減小超調(diào)量，改善機(jī)器人控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性；能夠大幅度降低機(jī)器人控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，提升軌跡跟蹤精度；能夠提高機(jī)器人運(yùn)行的穩(wěn)定性，對(duì)于輸入信號(hào)的波動(dòng)具有很強(qiáng)的適應(yīng)性.其控制效果明顯優(yōu)于普通的力矩前饋控制方法.

5 結(jié) 語(yǔ)

為了降低串聯(lián)協(xié)作機(jī)器人在運(yùn)行過(guò)程中自身慣量變化對(duì)機(jī)器人各關(guān)節(jié)控制系統(tǒng)產(chǎn)生的不利影響，本文提出了一種基于在線(xiàn)辨識(shí)的慣量前饋控制技術(shù)，保證機(jī)器人運(yùn)行過(guò)程具有非常好的動(dòng)態(tài)性能和較高的軌跡跟蹤精度.該技術(shù)利用在線(xiàn)辨識(shí)算法對(duì)任意時(shí)刻各關(guān)節(jié)電機(jī)所帶負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行在線(xiàn)辨識(shí)，通過(guò)辨識(shí)值實(shí)時(shí)修正動(dòng)力學(xué)模型中的慣性力矩，提供更加準(zhǔn)確的前饋力矩.另外，為了保證辨識(shí)慣量更接近真實(shí)慣量，將被控系統(tǒng)等效為兩剛體彈簧系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)算法構(gòu)建.仿真結(jié)果表明，結(jié)合了在線(xiàn)辨識(shí)功能的慣量前饋控制技術(shù)能夠顯著提升機(jī)器人控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度與跟蹤特性，驗(yàn)證了該慣量前饋控制技術(shù)的優(yōu)越性.由于該技術(shù)無(wú)需對(duì)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行離線(xiàn)參數(shù)辨識(shí)也可以輸出較為準(zhǔn)確的前饋力矩，所以降低了動(dòng)力學(xué)前饋技術(shù)的復(fù)雜性，適用范圍更廣.