基于修正模態(tài)法的支路串聯(lián)諧振識別

艾永樂，韓朝陽，李 帥，姜志彬，武稼祥

(河南理工大學電氣工程與自動化學院，河南 焦作 454150)

隨著電力電子技術(shù)的快速發(fā)展，大量的新興電力電子裝置以及傳統(tǒng)的鐵磁元件、電弧爐等非線性用電設備也在冶金、化工等領(lǐng)域得到了大量應用。這些非線性設備的存在使得電網(wǎng)中不可避免的存在著大量的諧波，即存在著諧振激勵源。電力系統(tǒng)正常運行時，系統(tǒng)阻抗呈感性，考慮到無功補償電容器和高壓輸電線電容的存在，因此系統(tǒng)中存在串并聯(lián)諧振點。當激勵源與諧振點合拍時，電力系統(tǒng)將會發(fā)生諧振現(xiàn)象，危害系統(tǒng)的正常運行和電力設備的安全[1-3]。因此，全面、快速、準確識別串并聯(lián)諧振點，對于電力系統(tǒng)諧波諧振分析有重大意義。

目前，國內(nèi)外普遍認為解析法和頻譜分析法是準確識別串并聯(lián)諧振存在并確定串并聯(lián)諧振點的通用方法[4-5]。對于目前的復雜電力網(wǎng)絡，解析法無法適用。文獻[6-7]提出了諧振模態(tài)分析法(Resonance Mode Analysis，RMA)，通過對網(wǎng)絡節(jié)點導納矩陣特征值的分解，得到相應模態(tài)的阻抗、模態(tài)電壓和模態(tài)電流，解耦了各節(jié)點之間的耦合，很好地識別出并聯(lián)諧振并分析了相關(guān)諧振的信息。但是，該方法無法識別和分析串聯(lián)諧振。文獻[8-9]提出了回路模態(tài)分析法分析串聯(lián)諧振；但，該方法仍不能識別支路串聯(lián)諧振點。文獻[10]提出了一種將模態(tài)法與虛擬支路法相結(jié)合的串聯(lián)諧振分析方法；該方法通過在各節(jié)點添加虛擬支路，從而保證網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)不變，同時借用模態(tài)法使用特征值分解的思想，進而識別出了串聯(lián)諧振；但是，在復雜網(wǎng)絡中很難建立回路阻抗矩陣。同時，添加虛擬支路成倍的增加了回路阻抗矩陣的規(guī)模。文獻[11-12]提出了支路法分析串聯(lián)諧振，但是其識別的諧振點與模態(tài)分析法(RMA)的相同，仍是并聯(lián)諧振。文獻[13]通過對諧波源進行戴維南-諾頓等效變換，提出了改進的虛擬支路法，該方法使用節(jié)點導納矩陣分析串聯(lián)諧振，避免了重新建立回路阻抗矩陣，減少了計算量；但該方法仍需建立支路導納矩陣和支路節(jié)點關(guān)系矩陣，且它是從單條支路出發(fā)考察串聯(lián)諧振。而，并聯(lián)和串聯(lián)諧振都是由幾條支路元件的相互作用引起的，單單從單條支路識別串聯(lián)諧振將會無法進一步分析諧振性質(zhì)。文獻[14]提出了一種利用電容器掃描識別并聯(lián)諧振的方法，為無功補償電容器避免諧振安裝提供了理論依據(jù)。本文從串并聯(lián)的定義出發(fā)，分析指出了電力系統(tǒng)網(wǎng)絡中的串聯(lián)諧振應分為回路串聯(lián)諧振和支路串聯(lián)諧振。同時，通過針對電力系統(tǒng)網(wǎng)絡回路串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振的分析，發(fā)現(xiàn)：由于電力系統(tǒng)輸電線路的特性，即線路阻抗比(R/X)較小，導致回路串聯(lián)諧振點和并聯(lián)諧振點幾乎重合。最后，利用修正節(jié)點導納矩陣的模態(tài)法，通過添加虛擬支路識別支路串聯(lián)諧振。

1 模態(tài)法諧振識別分析

1.1 模態(tài)法基本概念

由文獻[7-8]可知：模態(tài)法(RMA)假設在頻率為f時，系統(tǒng)發(fā)生并聯(lián)諧振；由式(1)可求得該頻率節(jié)點電壓向量中的某些元素會出現(xiàn)的極大值。

(1)

式中，Yf為系統(tǒng)在頻率f下的節(jié)點導納矩陣；Uf、If分別為系統(tǒng)在頻率f下的節(jié)點電壓向量和節(jié)點注入電流向量。為了簡便，以下將省略下標f。發(fā)生并聯(lián)諧振會導致某些節(jié)點電壓非常大，意味著形成的節(jié)點導納矩陣接近奇異。因此，可以使用特征值分解技術(shù)研究接近奇異的節(jié)點導納矩陣。將矩陣Y進行特征值分解，如式(2)所示。

Y=LΛT

(2)

式中，Λ為特征值矩陣；L、T分別為左、右特征向量矩陣，且L=T-1。將式(2)代入式(1)得：

U=LΛ-1TI?TU=Λ-1TI

(3)

定義Um=TU為模態(tài)電壓向量，Im=TI為模態(tài)電流向量，Zm=Λ-1為模態(tài)阻抗矩陣。因此，式(3)可以表達為：

(4)

1.2 節(jié)點導納矩陣法進行模態(tài)分析

當系統(tǒng)存在頻率為f的并聯(lián)諧振時，只要在相關(guān)節(jié)點(母線)注入很小的該頻率諧波電流，就會引起非常大的諧波電壓，且此時對應的模態(tài)阻抗矩陣Zm=Λ-1中有一較大值。如圖1所示的三節(jié)點測試系統(tǒng)，其各支路參數(shù)均已標注在系統(tǒng)圖中。建立其節(jié)點導納矩陣，利用模態(tài)法分析其并聯(lián)諧振。所建立的模態(tài)阻抗曲線如圖2所示。由圖2可知，系統(tǒng)存在三個并聯(lián)諧振點，分別為4.58、18.96和29.54。通過搭建matlab/simulink仿真電路進行阻抗頻譜掃描，得到的并聯(lián)諧振點與模態(tài)法一致。

圖1 三節(jié)點測試系統(tǒng)Fig.1 Three node test system

圖2 模態(tài)阻抗曲線Fig.2 Modal impedance curve

1.3 回路阻抗矩陣法進行模態(tài)分析

由諧振理論可知，電路等效導納最小時發(fā)生并聯(lián)諧振，引起過電壓；電路等效阻抗最小時發(fā)生串聯(lián)諧振，引起過電流。由于電流的產(chǎn)生離不開回路，串聯(lián)諧振過電流的產(chǎn)生意味著某一回路阻抗出現(xiàn)了最小值，因此串聯(lián)諧振與系統(tǒng)回路密切相關(guān)，而非僅與母線(節(jié)點)和支路相關(guān)。因此，使用模態(tài)法進行串聯(lián)諧振分析時，要建立系統(tǒng)的回路阻抗矩陣，其對應的等式為：

(5)

式中，Zloop為回路阻抗矩陣；Iloop為回路電流向量(后面為簡便將省略下標loop)；E為回路電壓向量。

針對圖1所示的三節(jié)點測試系統(tǒng)，所建立的回路阻抗矩陣以loop1、loop2和loop3為基本回路，且基本回路的電流方向為圖中所標注的方向。利用模態(tài)法分析其回路串聯(lián)諧振，其模態(tài)等式為：

(6)

式中，Jm為模態(tài)回路電流向量；Ym為模態(tài)回路導納矩陣；Vm為模態(tài)回路電壓向量。由式(6)可以看出，回路各模態(tài)之間同樣實現(xiàn)了“解耦”。同時，若某一模態(tài)導納(如λ1)非常小或等于零，這時即使施加很小的模態(tài)電壓(vm1)，也將會引起很大的模態(tài)電流(ZL=jXL)。利用這個特性，根據(jù)式(6)建立模態(tài)導納曲線，如圖3所示。由圖3可知，系統(tǒng)存在三個回路串聯(lián)諧振點，分別為4.58、18.96和29.54。

圖3 模態(tài)導納曲線Fig.3 Modal admittance curve

2 理論分析

2.1 單節(jié)點系統(tǒng)模型

由圖2-3可以看出，使用節(jié)點導納矩陣分析識別的并聯(lián)諧振點和使用回路阻抗矩陣分析識別的串聯(lián)諧振點一樣。下面，通過如圖4所示的單節(jié)點系統(tǒng)說明該結(jié)果產(chǎn)生的原因。

圖4 單節(jié)點系統(tǒng)Fig.4 Single node system

2.2 討論與分析

假設圖4中ZL=jXL、YC=jB、Zline=jXline，則loop回路在頻率為時，對應的回路阻抗Zloop(h)為：

(7)

當回路發(fā)生串聯(lián)諧振時，即|Zloop(h)|最小時的頻率hseries為：

(8)

(9)

當節(jié)點發(fā)生并聯(lián)諧振時，即|Ybus(h)|最小時的頻率hparallel為：

(10)

由式(8)和(10)可知，當系統(tǒng)各支路參數(shù)僅有虛部項時，系統(tǒng)的并聯(lián)諧振點和串聯(lián)諧振點為同一諧振點。

(11)

(12)

假設hseries和hparallel分別對應著|Zloop(h)|和|Ybus(h)|最小時的頻率，即hseries和hparallel分別對應著回路串聯(lián)諧振頻率和節(jié)點并聯(lián)諧振頻率。對于輸電系統(tǒng)網(wǎng)絡，圖4中ZL對應著負荷阻抗，令XL=5Ω、α1=(0～10)；YC對應著無功補償電容器，令B=0.1S；Zline對應著線路阻抗，令Xline=1Ω、α2=(0～1)。則hseries-hparallel與α1、α2的關(guān)系圖如圖5所示。

圖5 hseries-hparallel與α1、α2的關(guān)系圖Fig.5 A diagram of the relationship between hseries-hparallel and α1,α2

由圖5可以看出，隨著輸電線路阻抗Zline的阻抗比α2增大，hseries-hparallel的值也越來越大，即串聯(lián)諧振點與并聯(lián)諧振點偏離越大，但總體來看最大差值不大于3%。對圖1所示的三節(jié)點測試系統(tǒng)的參數(shù)進行修改，令Z1=3+0.3j、Z2=3+0.3j、X1=2+0.2j。同樣，建立節(jié)點導納矩陣，進行并聯(lián)諧振模態(tài)分析；建立回路阻抗矩陣，進行串聯(lián)諧振模態(tài)分析，對應的模態(tài)曲線如圖6所示。

圖6 模態(tài)阻抗和模態(tài)導納曲線Fig.6 Modal impedance and modal admittance curve

由圖6可以看出，由于增大了支路參數(shù)的阻抗比，使用節(jié)點導納矩陣模態(tài)法識別出的并聯(lián)諧振點與使用回路阻抗矩陣模態(tài)法識別出的串聯(lián)諧振點已不重合。因此，使用回路阻抗矩陣模態(tài)法識別回路串聯(lián)諧振的分析是正確的。經(jīng)過以上三種情況的分析，可以得到如下結(jié)論：對于高壓輸電網(wǎng)絡，因其線路阻抗比(R/X)較小，所以其對應的回路串聯(lián)諧振點和并聯(lián)諧振點將會重合，在這種情況下發(fā)生的諧振不僅會產(chǎn)生過電壓危害，還會產(chǎn)生過電流危害，需要特別注意。

3 修正節(jié)點導納矩陣的模態(tài)法

由第一節(jié)的分析可知，對于電力系統(tǒng)回路串聯(lián)諧振的識別可以轉(zhuǎn)化為節(jié)點并聯(lián)諧振的識別。同時，電力系統(tǒng)中不但有回路串聯(lián)諧振，也會存在支路串聯(lián)諧振(也可稱為端口串聯(lián)諧振)。如圖4中的端口a-b、支路Zline與負載形成支路串聯(lián)回路，由于該“回路”并不是真正意義上的回路，若要分析其形成的支路串聯(lián)諧振，則需在端口添加一條導納值極大的支路(即理想導線支路)形成回路，然后才能分析其諧振現(xiàn)象。轉(zhuǎn)化過程如圖7所示。

圖7 諧振轉(zhuǎn)化識別流程圖Fig.7 Flow chart of resonance conversion recognition

對于電力系統(tǒng)網(wǎng)絡，可以通過修改其形成的節(jié)點導納矩陣(Y)，來實現(xiàn)虛擬支路的添加，其修正節(jié)點導納矩陣公式如式(13)所示。

(13)

式中，ykk為導納矩陣的第k個對角元素；X1+B3為虛擬支路的導納值；上標k表示虛擬支路X1+B2∥(Z2+B1∥Z1)一次連接在節(jié)點Z2+B1∥Z1，且每次計算虛擬支路Z2+B2∥(X1+B3)只能添加在一個節(jié)點與參考節(jié)點間。因此，本文所提方法與節(jié)點導納矩陣模態(tài)法相比，在建立系統(tǒng)網(wǎng)絡矩陣方面，基本沒有增加任何工作量，僅增加了修正節(jié)點導納矩陣這一步驟。同時，本文所提方法也可認為是模態(tài)分析法的一種拓展，它完善了模態(tài)法分析系統(tǒng)的串并聯(lián)諧振體系。其中，修正節(jié)點導納矩陣的算法流程如圖8所示。

圖8 算法流程圖Fig.8 Algorithm flow chart

使用頻譜分析法和本文所提方法分析圖1所示三節(jié)點測試系統(tǒng)的支路串聯(lián)諧振，結(jié)果如圖9所示。

由圖9可以看出，測試系統(tǒng)存在六個支路串聯(lián)諧振點，使用本文所提方法識別出了六個支路串聯(lián)諧振點；同時，由于系統(tǒng)阻抗比(R/X)較小，所以識別出的支路串聯(lián)諧振點并沒有誤差，能準確識別。圖9(b)中“branch 1 model 2”代表在該節(jié)點1與參考節(jié)點(地節(jié)點)之間添加虛擬支路，由模態(tài)2識別出的諧振點。由圖9(b)可得到支路串聯(lián)諧振點所對應的支路信息，如表1所示。

圖9 支路串聯(lián)諧振識別圖Fig.9 Branch series resonance recognition diagram

諧振頻率/(pu)模態(tài)峰值/(pu)相關(guān)支路6.04141.7Z2+B2∥(X1+B3)10.004e+8X1+B317.681032X1+B2∥(Z2+B1∥Z1)22.64384.1Z2+B1∥Z126.54809.9Z2+B2∥(X1+B3)29437.9X1+B2∥(Z2+B1∥Z1)

4 IEEE14節(jié)點系統(tǒng)仿真分析

為了進一步驗證本文提出方法的可行性和有效性，選取IEEE14節(jié)點系統(tǒng)，利用matlab/simulink進行仿真。其中，IEEE14節(jié)點系統(tǒng)如圖10所示，節(jié)點系統(tǒng)參數(shù)從文獻[15]中獲?。黄渲?，基準容量為100 MVA，且各節(jié)點負載參數(shù)均按串聯(lián)恒阻抗負載建模等效。

圖10 IEEE14系統(tǒng)圖Fig.10 IEEE14 system diagram

基于simulink中的阻抗頻譜掃描功能，運用頻譜法識別支路串聯(lián)諧振。同時，用本文所提方法進行支路串聯(lián)諧振識別，結(jié)果如圖11所示。由圖11知，用頻譜法識別出了總共9個支路串聯(lián)諧振，而通過本文所提方法識別出全部支路串聯(lián)諧振，且最大誤差為0.12。

圖11 IEEE14系統(tǒng)支路串聯(lián)諧振識別圖Fig.11 Series resonance recognition diagram of IEEE14 system branch series

5 結(jié) 論

串并聯(lián)諧振組成了諧振問題的兩個分支，分析發(fā)現(xiàn)：電力系統(tǒng)中串聯(lián)諧振可以分為回路串聯(lián)諧振和支路串聯(lián)諧振。通過對支路串聯(lián)諧振識別進行研究，形成了以下結(jié)論：

1)使用網(wǎng)絡矩陣模態(tài)法識別節(jié)點并聯(lián)和回路串聯(lián)諧振點時，其對應的串并聯(lián)諧振點重合；且電力系統(tǒng)支路阻抗比(R/X)越小，對應的回路串聯(lián)和節(jié)點并聯(lián)諧振點重合度越高。

2)基于電力系統(tǒng)串并聯(lián)諧振重合的理論，提出了基于修正節(jié)點導納矩陣的模態(tài)法，并將之應用于識別支路串聯(lián)諧振。對于支路串聯(lián)諧振，可通過添加虛擬支路的方法，使支路串聯(lián)諧振轉(zhuǎn)變?yōu)榛芈反?lián)諧振，進而運用識別并聯(lián)諧振的方法識別支路串聯(lián)諧振。最后，通過三節(jié)點系統(tǒng)和IEEE14節(jié)點系統(tǒng)的仿真分析，驗證其可行性和正確性。