重復(fù)觀測(cè)平差的一種新算法

鄧永和

(麗水學(xué)院，浙江麗水 323000)

單位權(quán)中誤差公式為[1-4]

(1)

或

(2)

絕大多數(shù)文獻(xiàn)按式(1)計(jì)算單位權(quán)中誤差，如文獻(xiàn)[10-19]等。E(VTPV)表示VTPV的理論平均值，而不是某一次的VTPV，故由式(1)計(jì)算單位權(quán)中誤差是不嚴(yán)密的，以此為基礎(chǔ)的參數(shù)方差陣也是不嚴(yán)密的。文獻(xiàn)[5]基于χ2統(tǒng)計(jì)量，按每次平差所得的VTPV計(jì)算單位權(quán)中誤差。但是，它沒有研究所得的單位權(quán)中誤差與傳統(tǒng)方法單位權(quán)中誤差的理論關(guān)系，也沒有研究未知數(shù)參數(shù)X及方差陣在兩種方法中是否存在理論關(guān)系。

為此，提出有別于文獻(xiàn)[5]的新方法，并研究所得的單位權(quán)中誤差與傳統(tǒng)方法單位權(quán)中誤差的理論關(guān)系，也研究了未知數(shù)參數(shù)X及方差陣在兩種方法中的不同，并用模擬算例做了驗(yàn)證分析。

1 新方法思路

這里的單位權(quán)中誤差是重復(fù)觀測(cè)中任意一次觀測(cè)值的單位權(quán)中誤差，而不是常規(guī)方法多次觀測(cè)平均值的單位權(quán)中誤差。若需要求常規(guī)方法多次觀測(cè)平均值的單位權(quán)中誤差，只需根據(jù)重復(fù)觀測(cè)中任意一次觀測(cè)值的單位權(quán)中誤差，按誤差傳播定律進(jìn)行計(jì)算即可。

對(duì)于未知參數(shù)X，可根據(jù)每次觀測(cè)值按間接平差計(jì)算，再取平均值。

2 新方法與傳統(tǒng)方法的理論研究

2.1 新方法計(jì)算

(3)

未知數(shù)估值為

(4)

每次的單位權(quán)中誤差估計(jì)值為[2]

(5)

每次的單位權(quán)方差估值的數(shù)學(xué)期望和方差滿足[2，3]

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

新方法單位權(quán)方差的數(shù)學(xué)期望和方差為

(11)

(12)

由式(6)和式(11)，可得

(13)

由式(7)和(12)，可得

(14)

由式(13)和式(14)可知，計(jì)算單位權(quán)中誤差估值時(shí)，式(10)要優(yōu)于式(5)。

對(duì)式(4)取平均值，得未知數(shù)X的最終估計(jì)值

(15)

(16)

(17)

由式(16)和式(17)可知，計(jì)算未知數(shù)估值時(shí)，式(15)要優(yōu)于式(4)。

2.2 傳統(tǒng)方法(舊方法)計(jì)算

(18)

可以證明

(19)

(20)

而單位權(quán)中誤差為

(21)

再參考文獻(xiàn)[2，3]可得

(22)

(23)

而參數(shù)X的數(shù)學(xué)期望及方差陣估值為

(24)

(25)

2.3 新方法與傳統(tǒng)方法(舊方法)的理論關(guān)系

(1)單位權(quán)中誤差估值的理論關(guān)系研究

顯然，式(10)和(21)計(jì)算出的單位權(quán)中誤差不會(huì)相等。下面從理論上證明新舊方法單位權(quán)中誤差的近似函數(shù)關(guān)系，有

(26)

故單位權(quán)中誤差為

(27)

式(27)與式(10)比較可知

(新)

(28)

這就從理論上證明了新舊方法單位權(quán)中誤差是近似相等的。

此外，由式(6)和式(15)可知：新舊兩種方法的單位權(quán)方差估值都是無偏估計(jì)；由式(7)、式(16)和式(21)可知，新方法單位權(quán)方差的方差較優(yōu)(前者是后者的近1/m)，再考慮新方法選擇多次觀測(cè)所得VTPV的平均值代替E(VTPV)。因此，可認(rèn)為由新方法計(jì)算單位權(quán)中誤差更好。

(2)新舊方法未知數(shù)參數(shù)X估計(jì)值的理論關(guān)系研究

由式(8)和(13)可知：新方法和傳統(tǒng)方法(舊方法)計(jì)算出的參數(shù)X估計(jì)值是相等的，即

(29)

3 模擬算例分析

以文獻(xiàn)[2]數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，所列觀測(cè)高差假設(shè)為第1次觀測(cè)值，再假設(shè)存在另外2次相同權(quán)陣的虛擬重復(fù)觀測(cè)值(見表1)。

表1 虛擬觀測(cè)數(shù)據(jù)

3.1 新方法計(jì)算

第1次觀測(cè)值，取10 km觀測(cè)高差為單位權(quán)觀測(cè)，則有

VTPV=1 189.856(mm)2

第2次觀測(cè)值，取10 km觀測(cè)高差為單位權(quán)觀測(cè)，則有

VTPV=985.902 2(mm)2

第3次觀測(cè)值，取10 km觀測(cè)高差為單位權(quán)觀測(cè)，則有

VTPV=2 499.434(mm)2

3.2 舊方法計(jì)算

令10 km觀測(cè)高差3次觀測(cè)為單位權(quán)觀測(cè)，則可求出

VTPV=1 460.858 98(mm)2。

3.3 新舊方法計(jì)算比較

(1)兩種方法所得未知數(shù)X估值相等，這與前面的理論推導(dǎo)一致。

(2)兩種方法所得未知數(shù)X的方差陣近似相等，這與前面的理論推導(dǎo)也一致。

(3)兩種方法單位權(quán)中誤差也是近似相等的，這與前面的推導(dǎo)也一致。

(4)兩種方法單位權(quán)方差的方差之比接近1/m，與理論也是一致的。

4 結(jié)束語

(1)從多次觀測(cè)的VTPV平均值代替E(VTPV)這個(gè)角度來看，新方法單位權(quán)中誤差公式的理論更嚴(yán)密，證明了新方法的單位權(quán)方差也是無偏估計(jì)，新舊方法單位權(quán)中誤差近似相等(但含義不一致，數(shù)字近似相等)，新方法單位權(quán)方差的方差是舊方法的近似1/m。

(2)證明了新方法未知數(shù)X的估值也是無偏估計(jì)，新方法未知數(shù)X方差陣與舊方法近似相等。新方法未知數(shù)X的相關(guān)計(jì)算，等于或優(yōu)于舊方法的相關(guān)計(jì)算。

(3)模擬算例驗(yàn)證了新方法的可行性和有效性，比較了新舊方法的計(jì)算效果，所得結(jié)論與理論分析基本一致。