重復觀測平差的一種新算法

鄧永和

(麗水學院，浙江麗水 323000)

單位權中誤差公式為[1-4]

(1)

或

(2)

絕大多數(shù)文獻按式(1)計算單位權中誤差，如文獻[10-19]等。E(VTPV)表示VTPV的理論平均值，而不是某一次的VTPV，故由式(1)計算單位權中誤差是不嚴密的，以此為基礎的參數(shù)方差陣也是不嚴密的。文獻[5]基于χ2統(tǒng)計量，按每次平差所得的VTPV計算單位權中誤差。但是，它沒有研究所得的單位權中誤差與傳統(tǒng)方法單位權中誤差的理論關系，也沒有研究未知數(shù)參數(shù)X及方差陣在兩種方法中是否存在理論關系。

為此，提出有別于文獻[5]的新方法，并研究所得的單位權中誤差與傳統(tǒng)方法單位權中誤差的理論關系，也研究了未知數(shù)參數(shù)X及方差陣在兩種方法中的不同，并用模擬算例做了驗證分析。

1 新方法思路

這里的單位權中誤差是重復觀測中任意一次觀測值的單位權中誤差，而不是常規(guī)方法多次觀測平均值的單位權中誤差。若需要求常規(guī)方法多次觀測平均值的單位權中誤差，只需根據(jù)重復觀測中任意一次觀測值的單位權中誤差，按誤差傳播定律進行計算即可。

對于未知參數(shù)X，可根據(jù)每次觀測值按間接平差計算，再取平均值。

2 新方法與傳統(tǒng)方法的理論研究

2.1 新方法計算

(3)

未知數(shù)估值為

(4)

每次的單位權中誤差估計值為[2]

(5)

每次的單位權方差估值的數(shù)學期望和方差滿足[2，3]

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

新方法單位權方差的數(shù)學期望和方差為

(11)

(12)

由式(6)和式(11)，可得

(13)

由式(7)和(12)，可得

(14)

由式(13)和式(14)可知，計算單位權中誤差估值時，式(10)要優(yōu)于式(5)。

對式(4)取平均值，得未知數(shù)X的最終估計值

(15)

(16)

(17)

由式(16)和式(17)可知，計算未知數(shù)估值時，式(15)要優(yōu)于式(4)。

2.2 傳統(tǒng)方法(舊方法)計算

(18)

可以證明

(19)

(20)

而單位權中誤差為

(21)

再參考文獻[2，3]可得

(22)

(23)

而參數(shù)X的數(shù)學期望及方差陣估值為

(24)

(25)

2.3 新方法與傳統(tǒng)方法(舊方法)的理論關系

(1)單位權中誤差估值的理論關系研究

顯然，式(10)和(21)計算出的單位權中誤差不會相等。下面從理論上證明新舊方法單位權中誤差的近似函數(shù)關系，有

(26)

故單位權中誤差為

(27)

式(27)與式(10)比較可知

(新)

(28)

這就從理論上證明了新舊方法單位權中誤差是近似相等的。

此外，由式(6)和式(15)可知：新舊兩種方法的單位權方差估值都是無偏估計；由式(7)、式(16)和式(21)可知，新方法單位權方差的方差較優(yōu)(前者是后者的近1/m)，再考慮新方法選擇多次觀測所得VTPV的平均值代替E(VTPV)。因此，可認為由新方法計算單位權中誤差更好。

(2)新舊方法未知數(shù)參數(shù)X估計值的理論關系研究

由式(8)和(13)可知：新方法和傳統(tǒng)方法(舊方法)計算出的參數(shù)X估計值是相等的，即

(29)

3 模擬算例分析

以文獻[2]數(shù)據(jù)為基礎，所列觀測高差假設為第1次觀測值，再假設存在另外2次相同權陣的虛擬重復觀測值(見表1)。

表1 虛擬觀測數(shù)據(jù)

3.1 新方法計算

第1次觀測值，取10 km觀測高差為單位權觀測，則有

VTPV=1 189.856(mm)2

第2次觀測值，取10 km觀測高差為單位權觀測，則有

VTPV=985.902 2(mm)2

第3次觀測值，取10 km觀測高差為單位權觀測，則有

VTPV=2 499.434(mm)2

3.2 舊方法計算

令10 km觀測高差3次觀測為單位權觀測，則可求出

VTPV=1 460.858 98(mm)2。

3.3 新舊方法計算比較

(1)兩種方法所得未知數(shù)X估值相等，這與前面的理論推導一致。

(2)兩種方法所得未知數(shù)X的方差陣近似相等，這與前面的理論推導也一致。

(3)兩種方法單位權中誤差也是近似相等的，這與前面的推導也一致。

(4)兩種方法單位權方差的方差之比接近1/m，與理論也是一致的。

4 結束語

(1)從多次觀測的VTPV平均值代替E(VTPV)這個角度來看，新方法單位權中誤差公式的理論更嚴密，證明了新方法的單位權方差也是無偏估計，新舊方法單位權中誤差近似相等(但含義不一致，數(shù)字近似相等)，新方法單位權方差的方差是舊方法的近似1/m。

(2)證明了新方法未知數(shù)X的估值也是無偏估計，新方法未知數(shù)X方差陣與舊方法近似相等。新方法未知數(shù)X的相關計算，等于或優(yōu)于舊方法的相關計算。

(3)模擬算例驗證了新方法的可行性和有效性，比較了新舊方法的計算效果，所得結論與理論分析基本一致。