基于最優(yōu)最小生成樹的三維模型形狀優(yōu)化方法

韓麗 劉書寧 于冰 徐圣斯 唐棣

摘 要：針對(duì)海量、異構(gòu)、復(fù)雜的三維模型高效形狀分析需求，提出基于最優(yōu)最小生成樹的三維模型形狀優(yōu)化方法。首先基于三維模型的初始最小生成樹（3D-MST）構(gòu)造模型的結(jié)構(gòu)描述;其次通過拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與幾何形狀檢測(cè)并結(jié)合雙邊濾波與熵權(quán)值分布進(jìn)行局部?jī)?yōu)化，獲得模型的優(yōu)化MST表示;最終基于優(yōu)化的Laplacian譜特征，結(jié)合薄板樣條函數(shù)（TPS），實(shí)現(xiàn)模型的形狀分析與相似性檢測(cè)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提方法不僅有效地保留了模型的形狀特征，而且可高效地實(shí)現(xiàn)復(fù)雜模型的稀疏優(yōu)化表示，能進(jìn)一步提高幾何處理與形狀檢索的高效性和增強(qiáng)魯棒性。

關(guān)鍵詞：最小生成樹; 體積; 雙邊濾波; 熵權(quán)值; 譜嵌入

中圖分類號(hào)： TP391.41

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-9081（2019）03-0858-06

Abstract： For the efficient shape analysis of massive， heterogeneous and complex 3D models， an optimization method for 3D model shape based on optimal minimum spanning tree was proposed. Firstly， a model description based on 3D model Minimum Spanning Tree （3D-MST） was constructed. Secondly， local optimization was realized by topology and geometry detection and combination of bilateral filtering and entropy weight distribution， obtaining optimized MST representation of the model. Finally， the shape analysis and similarity detection of the model were realized by optimized Laplacian spectral characteristics and Thin Plate Spline （TPS）. The experimental results show that the proposed method not only effectively preserves shape features of the model， but also effectively realizes sparse optimization representation of the complex model， improving the efficiency and robustness of geometric processing and shape retrieval.

Key words： Minimum Spanning Tree （MST）; volume; bilateral filtering; entropy weight; spectral embedding

0 引言

隨著三維掃描、三維重建技術(shù)的發(fā)展，三維模型已經(jīng)廣泛應(yīng)用于建筑、醫(yī)療、教育、影視娛樂等各行各業(yè)，尤其隨著互聯(lián)網(wǎng)及大數(shù)據(jù)技術(shù)的發(fā)展，三維模型的數(shù)據(jù)量與復(fù)雜度更是顯著提高，基于三維模型優(yōu)化的形狀分析方法更顯得尤為重要。

三維模型形狀分析的關(guān)鍵在于特征描述符的選擇，通過對(duì)比特征描述符獲得模型的相似性。目前常用的三維模型形狀特征描述符有基于幾何特征統(tǒng)計(jì)直方圖的方法、基于骨架拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的方法、基于視覺相似投影的方法以及基于譜分析的方法。其中，基于幾何特征統(tǒng)計(jì)直方圖的方法是通過計(jì)算模型頂點(diǎn)和網(wǎng)格的幾何信息分布特征來分析三維模型，如Osada等[1]提出了一種形狀分布（Shape Distribution， SD）直方圖算法，選擇恰當(dāng)?shù)男螤詈瘮?shù)度量模型，如通過計(jì)算頂點(diǎn)間的歐氏距離獲得模型的形狀分布直方圖; Pickup等[2]提出基于模型表面積的分布直方圖（Surface Area， SA）。該類方法能有效描述模型的全局特征，但是忽略了模型的局部特征。李海生等[3]針對(duì)局部細(xì)節(jié)特征提出一種基于模型內(nèi)二面角的分布直方圖的特征描述方法，但該方法在噪聲干擾、網(wǎng)格簡(jiǎn)化時(shí)，魯棒性較差?；诠羌芡?fù)浣Y(jié)構(gòu)的方法是通過簡(jiǎn)化算法獲取模型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，有效去除模型的冗余信息，提供更直觀、簡(jiǎn)潔的形狀描述，被廣泛應(yīng)用于模型的形狀匹配與檢索，如Reeb圖[4]、中軸線法[5]。這類方法雖然對(duì)擾動(dòng)噪聲具有魯棒性，能夠表現(xiàn)出模型的整體特征，但是缺乏對(duì)細(xì)節(jié)的描述，并且計(jì)算量大。為此，王飛等[6]針對(duì)局部細(xì)節(jié)特征的不足，提出一種拓?fù)渑c形狀特征相結(jié)合的三維模型描述方法。該方法雖然能較好地提取模型的局部特征形狀，但是對(duì)于高精度的模型還需深入研究。 基于視覺相似方法是通過比較多視角下三維模型的二維圖像進(jìn)行匹配。如文獻(xiàn)[7]利用馬爾可夫鏈（Markov Chain， MC）模擬同一物體多視角的統(tǒng)計(jì)特性來進(jìn)行模型的相似性分析;文獻(xiàn)[8]提出一種多視角與圖方法結(jié)合的多視角權(quán)重匹配方法，具有較好的效果，但是該類方法不具有旋轉(zhuǎn)、縮放的特性，且計(jì)算量大。

近年來，譜分析的方法廣泛應(yīng)用于三維模型的檢索與匹配[9-12]?；谧V分析的方法是利用拉普拉斯算子將三維模型映射到譜特征空間，不僅能較好地保持模型的內(nèi)蘊(yùn)屬性，具有等距不變性，并且能夠有效提高非剛性模型的匹配精度。例如，Lipman等[9]基于譜方法實(shí)現(xiàn)全局內(nèi)蘊(yùn)的檢測(cè);Sahillioglu等[10]在譜域構(gòu)造初始化匹配，采用貪婪算法結(jié)合等距性優(yōu)化匹配結(jié)果;Sun等[11]基于模型表面熱擴(kuò)散提出熱核特征（Heat Kernel Signature， HKS）;Aubry等[12]將波動(dòng)方程引入模型，提出波核特征（Wave Kernel Signature， WKS）的形狀分析方法。譜特征由于具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性與抗噪性，被進(jìn)一步應(yīng)用于模型對(duì)稱性檢測(cè)、形狀配準(zhǔn)、深度學(xué)習(xí)中。文獻(xiàn)[13]使用選舉和譜分析方法提出一種模型局部?jī)?nèi)蘊(yùn)對(duì)稱檢測(cè)算法;文獻(xiàn)[14]基于熱核分布識(shí)別精度不突出問題，提出熱模態(tài)特征，提高了模型的檢索精度。

然而，針對(duì)既能突出模型的局部細(xì)節(jié)，又能反映模型的整體特征的高效分析算法仍需進(jìn)一步研究。本文提出一種兼顧模型全局結(jié)構(gòu)與局部幾何細(xì)節(jié)的模型形狀分析與匹配算法，通過拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與幾何形狀檢測(cè)，并結(jié)合圖像中雙邊濾波的思想與熵權(quán)值分布實(shí)現(xiàn)三維模型最小生成樹（Three-dimensional model Minimum Spanning Tree， 3D-MST）的優(yōu)化，構(gòu)造模型的稀疏表示;進(jìn)而獲得優(yōu)化的3D-MST譜特征;最終基于薄板樣條函數(shù)（Thin Plate Spline， TPS），實(shí)現(xiàn)模型的形狀分析與相似性檢測(cè)，本文方法有效提高了模型優(yōu)化表示與形狀分析效率。

1 相關(guān)理論

1.1 三維模型最小生成樹

最小生成樹（Minimum Spanning Tree， MST）是一個(gè)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，可有效描述模型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，被廣泛用于網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)[15]和數(shù)據(jù)挖掘[16]等領(lǐng)域。其經(jīng)典算法有Prim算法和Kruskal算法。Prim以任意頂點(diǎn)出發(fā)，逐次加入生成樹點(diǎn)集中最近的模型頂點(diǎn)，適用于邊稠密的最小生成樹。而Kruskal算法算法適用于邊稀疏的最小生成樹。為了有效保持復(fù)雜模型的形狀結(jié)構(gòu)，本文采用Prim算法構(gòu)建初始的三維最小生成樹（3D-MST）。

圖1為虎的原始網(wǎng)格模型、三維模型最小生成樹以及基于本文算法優(yōu)化后的三維模型最小生成樹。

1.2 幾何形狀特征

穩(wěn)定有效的形狀特征描述是形狀分析的至關(guān)重要因素。最常用的形狀描述符有高斯曲率（Gaussian Curvature， GC）[17]、可視化體積[18] 、形狀直徑（Shape Diameter Function， SDF）[19]、平均測(cè)地線距離（Average Geodesic Distance， AGD）[20]、形狀分布（SD）[1]等。

本文基于普林斯頓評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)[21]，論證分析了GC、SDF、AGD、D2（基于距離的函數(shù)，采樣任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離）等特征在TOSCA數(shù)據(jù)庫上實(shí)現(xiàn)非剛性三維模型檢索的穩(wěn)定性。評(píng)價(jià)結(jié)果如表1及圖2所示。其中：

1）最鄰近準(zhǔn)確度（Nearest Neighbor， NN）：表示在檢索結(jié)果最接近檢索模型的數(shù)目M與返回模型數(shù)目N的比值，NN值越大表示檢索效果越好。

2）第一層級(jí)（First-Tier， FT）和第二層級(jí)（Second-Tier， ST）：FT為當(dāng)K=C-1時(shí)的查全率，ST表示當(dāng)K=2×（C-1）時(shí)的查全率。其中：C表示數(shù)據(jù)集中所有相關(guān)模型總數(shù)量，K表示檢索返回的相關(guān)模型數(shù)量。

3）E度量（E Measure， EM）其值表示為：

4）折扣積累收益（Discounted Cumulative Gain， DCG ），考慮了結(jié)果所在的位置，位置越靠前準(zhǔn)確越高則權(quán)重越大，如果第i個(gè)模型為正確的檢索結(jié)果則為1，否則為0，這個(gè)結(jié)果通過除以最優(yōu)的排序結(jié)果得到最終DCG，計(jì)算公式如下：

其中k表示模型庫中模型的數(shù)量。

以上的5種評(píng)價(jià)指標(biāo)其理想值均為1， 其值越大表明檢索效果越好。P-R曲線反映了查準(zhǔn)率（P）與查全率（R）之間的函數(shù)關(guān)系，曲線越高表明特征檢索效果越好。由表1和圖2可見，可視化體積[18]相對(duì)于其他特征具有更高的區(qū)分性、穩(wěn)定性，因此本文引入模型的可視化體積[18]以及熵權(quán)值分布，有效優(yōu)化模型的形狀表示。

2 三維模型MST優(yōu)化表示

為獲取穩(wěn)定的形狀檢測(cè)，減少噪聲的影響，本文從局部雙邊濾波到整體信息熵優(yōu)化，高效實(shí)現(xiàn)模型的最優(yōu)表示。

2.1 基于雙邊濾波的局部?jī)?yōu)化

雙邊濾波是一種非線性濾波的方法，廣泛應(yīng)用于圖像處理中[22]，可以達(dá)到保邊去噪的效果。濾波器由兩個(gè)測(cè)量函數(shù)構(gòu)成：一個(gè)幾何空間的距離測(cè)量，決定濾波系數(shù)d;另一個(gè)是像素灰度的特征測(cè)量，決定濾波系數(shù)r。像素的輸出值依賴于鄰域的像素值的加權(quán)組合。

本文基于圖像雙邊濾波思想與信息熵理論，通過測(cè)地線距離度量幾何空間差異，采用體積特征度量模型的特征差異，與三維模型MST相結(jié)合構(gòu)造模型的優(yōu)化表示。

距離濾波系數(shù)為：

圖3為victoria模型濾波前后的局部頂點(diǎn)的體積特征對(duì)比折線圖，可見濾波后的體積特征，不僅保持模型的整體形狀特征，而且有效實(shí)現(xiàn)模型的平滑過渡。

2.2 基于信息熵的全局優(yōu)化

熵本身是熱力學(xué)概念，用來表達(dá)分子狀態(tài)雜亂程度的一個(gè)物理量。美國(guó)信息論創(chuàng)始人香農(nóng)引入信息熵用來表示信息量，信息熵越大表示信息量越小，反之信息量越大。近年來信息熵被廣泛引用于圖形圖像的檢索與特征選擇[23]。但信息熵強(qiáng)調(diào)整體模型的特征分布，忽略了模型的局部信息。本文引入局部濾波的形狀特征，結(jié)合信息熵分布，實(shí)現(xiàn)全局的模型優(yōu)化表示。

若d≤γ，則保留父節(jié)點(diǎn)，刪除其子節(jié)點(diǎn);若d>γ，則兩節(jié)點(diǎn)均保留。

圖4分別表示victoria模型的最小生成樹、模型的特征點(diǎn)分布以及最優(yōu)最小生成樹。模型的特征點(diǎn)不但降低了模型的密度，而且可以提高模型的檢索效率。

圖5為本文方法在不同模型上的優(yōu)化結(jié)果， 從左到右依次為優(yōu)化30%、50%、70%的MST。

圖7為不同模型在不同優(yōu)化率下的熵權(quán)分布情況。由折線圖可以看出，對(duì)于同類模型雖然優(yōu)化率不同，但模型的熵權(quán)概率分布相似（如站和抬腿），表明了體積的熵權(quán)值，具有穩(wěn)定的形狀描述能力，能夠在不同優(yōu)化率下很好地保留模型的形狀特征，對(duì)噪聲具有較強(qiáng)的魯棒性，能夠有效地識(shí)別不同種類模型（如人體模型與狼模型）。

3 基于譜圖的形狀匹配

3.1 模型特征點(diǎn)的譜嵌入

拉普拉斯映射的譜嵌入將高維數(shù)據(jù)嵌入到低維空間，可以有效保持模型的內(nèi)蘊(yùn)特征。本文基于最優(yōu)最小生成樹建立拉普拉斯矩陣，計(jì)算模型的譜特征 [24-25]，并結(jié)合TPS配準(zhǔn)方法，實(shí)現(xiàn)模型的形狀配準(zhǔn)與分析。

如圖8表示，其中第一列為初始模型，第二列為模型的拉普拉斯譜域，第三列為實(shí)現(xiàn)MST優(yōu)化后的稀疏譜圖。所示，稀疏表示的譜圖有效保持原有模型的整體結(jié)構(gòu)特征。

綜上所述，完整的最優(yōu)最小生成樹的模型相似性度量算法步驟如下：

輸入： 待匹配的模型X，Y;

輸出： 模型的譜域配準(zhǔn)率sim（X，Y）。

步驟1 提取模型的初始MST;

步驟2 提取模型的內(nèi)部可視化體積并使用雙邊濾波進(jìn)行優(yōu)化;

步驟3 計(jì)算模型的熵權(quán)值;

步驟4 利用熵權(quán)分布及初始MST獲取模型特征點(diǎn);

步驟5 獲取特征點(diǎn)的最優(yōu)MST并提取其譜域;

步驟6 利用TPS獲取模型的配準(zhǔn)率sim（X，Y）。

如圖9表示不同模型間的配準(zhǔn)結(jié)果。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文實(shí)驗(yàn)在TOSCA三角網(wǎng)格數(shù)據(jù)庫（簡(jiǎn)稱TOSCA數(shù)據(jù)庫）上進(jìn)行測(cè)試，所有實(shí)驗(yàn)都在平臺(tái)為Pentium 3.2GHz CPU， 8GB內(nèi)存Windows7操作系統(tǒng)的PC上完成的，并使用VC++6.0和OpenGL2.0圖形庫作為可視化開發(fā)環(huán)境。

本文算法主要由四階段組成，1）原始模型最小生成樹的生成;2）基于雙邊濾波的局部特征優(yōu)化;3）基于熵權(quán)值分布的整體3D-MST優(yōu)化;4）基于譜圖的模型匹配。

為了驗(yàn)證本文模型優(yōu)化方法的穩(wěn)定性，將本文方法與文獻(xiàn)[25]方法和CPD[27]在TOSCA數(shù)據(jù)庫進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比。該數(shù)據(jù)中包含12個(gè)類，148個(gè)模型非剛性模型，盡管該數(shù)據(jù)庫規(guī)模較小，但是選取的模型的不同姿勢(shì)具有代表性。該模型數(shù)據(jù)庫中的部分模型如圖10所示。

圖11（a）、（b）、（c）為本文方法、文獻(xiàn)[25]方法與CPD方法的譜域配準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，圖11（d）為稀疏譜域配準(zhǔn)點(diǎn)在空域中模型形狀匹配結(jié)果顯示。

圖12表示基于三種不同方法，以貓模型為待檢索樣本，在數(shù)據(jù)庫中獲得的三維模型檢索結(jié)果。

可見本文方法對(duì)于同類模型不僅配準(zhǔn)率穩(wěn)定，而且模型頂點(diǎn)優(yōu)化率高、更為高效（如表2所示），對(duì)于不同類模型更能進(jìn)行有效的區(qū)分。因此運(yùn)用本文方法不僅實(shí)現(xiàn)模型的優(yōu)化稀疏表示以及形狀檢測(cè)，更有效提高模型的檢索效率。

如圖13所示，不同優(yōu)化率下，同類模型之間具有較高的匹配度。當(dāng)優(yōu)化率為80%以下時(shí)，稀疏后的模型能夠保留穩(wěn)定的形狀信息，具有較高的模型識(shí)別度和匹配度，但是當(dāng)優(yōu)化率大于80%時(shí)，由于剩下的形狀信息較少，配準(zhǔn)率急速下降。因此，實(shí)驗(yàn)中為了有效保留形狀信息，本文約束模型的優(yōu)化率取為80%。

圖14為相關(guān)方法的P-R曲線，可見，本文方法對(duì)于同類模型不僅配準(zhǔn)穩(wěn)定與精準(zhǔn)，對(duì)于不同類模型更能進(jìn)行有效的區(qū)分。

5 結(jié)語

針對(duì)三維模型的高效形狀分析與檢索需求，提出了一種三維模型最小生成樹優(yōu)化表示算法。通過內(nèi)部可視化體積獲取模型頂點(diǎn)的熵權(quán)分布，運(yùn)用熵權(quán)值對(duì)模型MST自下而上進(jìn)行三維模型的優(yōu)化，最終得到三維模型的MST優(yōu)化表示。

為了驗(yàn)證優(yōu)化模型的形狀穩(wěn)定性，本文提取優(yōu)化模型的譜特征，運(yùn)用TPS方法，進(jìn)行模型的配準(zhǔn)與相似性分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了本文方法有效保持模型的形狀特征，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜模型的稀疏優(yōu)化表示，為進(jìn)一步的模型幾何處理以及檢索等應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。本文方法使用了TPS非剛性配準(zhǔn)算法，在大規(guī)模線性求解方面效率較低，容易產(chǎn)生不穩(wěn)定的解，在建立點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)配準(zhǔn)誤差。在接下來的工作中，將基于現(xiàn)有的研究與理論進(jìn)一步提高模型的配準(zhǔn)效率。

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