調(diào)和Bergman-Orlicz 空間的Lipschitz 型刻畫(huà)

馬茹夢(mèng),徐景實(shí)

(海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,海南?？?71158)

1 引言

對(duì)于區(qū)域? ?Rn,用h(?)表示? 上的復(fù)值調(diào)和函數(shù)構(gòu)成的空間.對(duì)于一個(gè)固定的正整數(shù)n ≥2,用H=Rn?1×R+表示上半空間,其中R+表示所有正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合.設(shè)α 為實(shí)數(shù),用表示H 上的加權(quán)測(cè)度.給定一個(gè)凸函數(shù)Φ:[0,∞)→[0,+∞),稱Φ是一個(gè)增長(zhǎng)函數(shù)如果它是連續(xù)的且非減的函數(shù).對(duì)于增長(zhǎng)函數(shù)Φ,Orlicz 空間

當(dāng)Φ(t)=tp,t ∈[0,∞)時(shí),Orlicz 空間是Lebesgue空間且對(duì)應(yīng)的調(diào)和Bergman-Orlicz空間表示為

烏蘭哈斯和朱克和在文獻(xiàn)[1]中利用歐氏度量、雙曲型度量、偽雙曲型度量給出加權(quán)Bergman 空間在復(fù)歐氏空間Cn的單位球上的Lipschitz 型刻畫(huà);Kyesook 在文獻(xiàn)[2]中研究了在上半空間H 上的調(diào)和Bergman 空間的刻畫(huà).即設(shè)α>?1,p ∈(0,∞)和則存在一個(gè)正的連續(xù)函數(shù)使得對(duì)所有的z,w ∈H 有

和

其中ρ 和β 的定義見(jiàn)第二節(jié).文獻(xiàn)[2]還給出了上半空間上調(diào)和函數(shù)差商的刻畫(huà)和歐氏空間中單位球上調(diào)和Bergman 空間的刻畫(huà).

受文獻(xiàn)[1,2]的影響,我們將把文獻(xiàn)[2]中的結(jié)果推廣到上半空間或單位球上的調(diào)和Bergman-Orlicz 空間中.本文后面如下安排:第二節(jié)為一些概念和需要的引理;第三節(jié)考慮上半空間上的調(diào)和Bergman-Orlicz 空間;第四節(jié)給出上半空間上的調(diào)和函數(shù)差商的有界性;第五節(jié)得到單位球上的調(diào)和Bergman-Orlicz 空間的Lipschitz 型刻畫(huà).在本文中符號(hào)表示存在一個(gè)正常數(shù)C 使得A ≤CB.如果且則記為A ≈B.

2 預(yù)備知識(shí)

在這一節(jié),介紹一些概念和后面將會(huì)用到的引理.

定義H 上的雙曲型度量β 為

其中

H 上的偽雙曲型度量ρ 是平移不變和伸縮不變的,且ρ 是H 上的距離函數(shù),見(jiàn)文獻(xiàn)[3]中的引理3.1.

符號(hào)Ba(x)表示以a>0 為半徑x ∈Rn為中心的歐氏球.對(duì)于z ∈H 和r ∈(0,1),設(shè)Er(z)表示以r 為半徑z 為中心的偽雙曲型球.易得Er(z)為歐氏球Ba(x),其中

設(shè)d(x,?)是點(diǎn)x 到集合? ?Rn上的歐氏距離.則有

引理2.1[3]若z,w ∈H,則

引理2.2[3]若z,w ∈H,則

給定r ∈(0,1),由以上的引理可得

設(shè)dw 是Rn上的Lebesgue 測(cè)度.以下引理可參考文獻(xiàn)[4]中的引理3.5 或者文獻(xiàn)[5]中的定理HLFS.

給出多重指標(biāo)m=(m1,···,mn),其中mi(i=1,···,n)為非負(fù)整數(shù),則有|m|=m1+···+mn和其中?i表示對(duì)第i 個(gè)指標(biāo)進(jìn)行求微分.由引理2.3 和Cauchy 估計(jì)得下列引理.其證明可參見(jiàn)文獻(xiàn)[6]的推論8.2.

引理2.4[6]設(shè)? 為Rn中的一個(gè)區(qū)域.給定1 ≤p<∞和一個(gè)多重指標(biāo)m=(m1,···,mn).則存在一個(gè)常數(shù)C=C(p,m)>0,使得對(duì)? 上的任意解析函數(shù)f 都有

3 上半空間上的調(diào)和Bergman-Orlicz 空間

本節(jié)的主要定理如下.

定理3.1設(shè)α>?1,Φ 是一個(gè)增長(zhǎng)函數(shù),若則存在一個(gè)正的連續(xù)函數(shù)使得對(duì)所有的z,w ∈H,有|f(z)?f(w)|≤ρ(z,w)[g(z)+g(w)].

定理3.2設(shè)α>?1,Φ 為增長(zhǎng)函數(shù),若則存在一個(gè)正的連續(xù)函數(shù)使得對(duì)所有z,w ∈H,有|f(z)?f(w)|≤β(z,w)[g(z)+g(w)].

設(shè)p>0,Mp表示存在某個(gè)常數(shù)C>0 使得對(duì)所有的s>0 和t>0,Φ(st)≤CtpΦ(s)成立的凸增長(zhǎng)函數(shù)Φ 構(gòu)成的集合.

定理3.3設(shè)α>?1,Φ ∈Mp(p>0),若則存在一個(gè)正的連續(xù)函數(shù)使得對(duì)所有的z,w ∈H,有|f(z)?f(w)|≤|z ?w|[g(z)+g(w)].

引理3.1[7]給定α>?1,則有

對(duì)所有z ∈H 成立.

定理3.1 的證明設(shè)固定考慮H 中ρ(z,w)

由引理2.2 知

即

令v=w,則

因此存在兩個(gè)正的常數(shù)C1,C2使得同理可得由于對(duì)任意的w ∈Er(z),zn≈wn,則當(dāng)w ∈Er(z)時(shí),有.因此|f(z)?f(w)|≤ρ(z,w)h(z),這里

如果ρ(z,w)>r,則由三角不等式得

偽雙曲型距離ρ 滿足三角不等式,因此可以選取r'∈(0,1)使得對(duì)任意的a ∈Er(z)都有Er(a)?Er'(z).

由引理2.4,(2.2),(2.3)式和引理2.2 得

由引理3.1 知

則

運(yùn)用Φ 的凸性和Jensen 不等式得

在H 上對(duì)以上不等式關(guān)于dVα(z)求積分且運(yùn)用Fubini 定理可得

定理3.2 的證明由于ρ ≤β,則定理3.1 中的函數(shù)g 也使得該定理成立.

定理3.3 的證明設(shè)α>?1,Φ ∈Mp(p>0),若則由定理3.1 的證明知存在一個(gè)正的連續(xù)函數(shù)h 使得對(duì)所有的z,w ∈H 有

命題3.1給定α>?1,Φ 為增長(zhǎng)函數(shù),則存在一個(gè)正常數(shù)C 使得對(duì)所有f ∈h(H),有

證固定α>?1.假設(shè)f ∈h(H)和z ∈H.對(duì)于每一個(gè)固定的0

則

運(yùn)用Φ 的凸性和Jensen 不等式得

在H 上對(duì)以上不等式關(guān)于dVα(z)求積分且運(yùn)用Fubini定理得

4 上半空間上調(diào)和函數(shù)的差商

本節(jié)考慮H 上關(guān)于調(diào)和函數(shù)的差商.給定f ∈h(H),對(duì)所有的z,w ∈H 定義

應(yīng)用定理3.1 可得以下結(jié)果.

定理4.1假設(shè)α>?1,Φ ∈Mp,p ∈(α+n,∞)且2γ=p+α ?n,則L 有界地映到LΦ(Vγ×Vγ).

證設(shè)由定理3.1 知存在一個(gè)正的連續(xù)函數(shù)使得對(duì)有

則

故

運(yùn)用Φ 的凸性,得

因此

5 單位球上調(diào)和Bergman-Orlicz 空間的刻畫(huà)

在這節(jié)考慮Rn上單位球B 上的調(diào)和函數(shù).設(shè)α 為實(shí)數(shù),用vα表示B 上的加權(quán)測(cè)度,即dvα(x)=(1 ?|x|2)αdx.用dvα替代dVα,類似于空間與空間可以定義空間與空間

下列引理由Hardy 等在文獻(xiàn)[8]中給出n=2 的證明,n ≥3 的情況見(jiàn)文獻(xiàn)[9].

命題5.1[8,9]給定α>?1 和0

因此有

引理5.1[10]若l,x,y ∈B,則

引理5.2[10]給定α>?1 和實(shí)數(shù)c,對(duì)所有的x ∈B,有

成立.

引理5.3[2]設(shè)1 ≤k ≤n,x,y ∈B,y=(x1,···,xk?1,txk,xk+1,···,xn)其中t 是一個(gè)標(biāo)量.則

定理5.1設(shè)α>?1,Φ ∈Mp(p>0),f ∈h(B).則下列結(jié)果等價(jià).

證(a)(b)類似于定理3.1 的證明可得.

由于[x,y]≥1 ?|x||y|≥1 ?|x|,1 ?|y|.因此

因此得

考慮關(guān)于調(diào)和函數(shù)的差商L 在單位球上的情況.給定f ∈h(B),L 定義為

對(duì)于x,y ∈B,由定理5.1 可以模仿定理4.1 的證明,得到在單位球上的類似結(jié)果.

定理5.2設(shè)α>?1,Φ ∈Mp,n+α

注意到在引理5.2 中c<0 的情況與引理3.1 不同,這個(gè)不同可以把上面的調(diào)和函數(shù)的結(jié)果擴(kuò)展到實(shí)單位球上0

定理5.3設(shè)α>?1,Φ ∈Mp,0

因此