雙脈沖發(fā)動機EDPM軟隔層含率相關(guān)能量限制器的黏超彈本構(gòu)模型

范興貴，許進升，陳 雄

(南京理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，南京 210094)

0 引言

級間隔離技術(shù)作為雙脈沖固體火箭發(fā)動機(以下簡稱雙脈沖發(fā)動機)的關(guān)鍵技術(shù)之一，其技術(shù)突破成為雙脈沖發(fā)動機實現(xiàn)工程應(yīng)用的關(guān)鍵。雙脈沖發(fā)動機級間隔層裝置不僅要求具有良好的絕熱能力，還要保證安全可靠地打開。國內(nèi)對雙脈沖發(fā)動機的隔層開展了大量的試驗和仿真研究[1-4]。對于隔層式雙脈沖發(fā)動機而言，隔層必須保證在II脈沖工作時能夠順利打開，打開壓強一致性好。為此，國內(nèi)的許多研究人員對雙脈沖發(fā)動機II脈沖的工作過程進行了數(shù)值模擬[5-6]，在對軟隔層進行建模時，通常將EPDM假設(shè)為線彈性或者超彈性材料來建模。然而，EPDM軟隔層在雙脈沖發(fā)動機工作過程中的力學(xué)行為已經(jīng)不再屬于線彈性或超彈性，具有材料非線性、幾何非線性、加載率相關(guān)性等非線性黏彈性材料的特點。因此，為了真實研究隔層在破壞過程的各種特性，有必要對EPDM軟隔層的本構(gòu)模型進行研究。

目前針對橡膠類材料，已經(jīng)建立了許多黏超彈本構(gòu)模型[7-12]，這些研究者建立的本構(gòu)模型描述的是理想材料的黏超彈性力學(xué)響應(yīng)。對于實際的橡膠類材料來說，當應(yīng)變能累積到一定的極限后，橡膠類材料會發(fā)生失效而斷裂，傳統(tǒng)的描述橡膠類材料的本構(gòu)模型是無法描述這一行為的。為了更準確地描述EPDM軟隔層從開始工作到失效的整個過程，有必要建立包含失效的本構(gòu)模型。本文所建立的考慮失效的本構(gòu)模型是基于原子勢的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型，這種方法的基本思想是建立一個包含能量限制器的應(yīng)變能函數(shù)，從這個應(yīng)變能函數(shù)可以自然地推導(dǎo)出考慮材料失效的黏超彈本構(gòu)模型。這個模型首先由Volokh等[13]在研究各項同性脆性材料的本構(gòu)模型時提出。Volokh[14]、Trapper[15-16]等又將此模型應(yīng)用于描述生物組織力學(xué)行為的本構(gòu)模型中。在后來研究中發(fā)現(xiàn)，之前提出的應(yīng)變能函數(shù)更適用于描述生物軟組織的漸進失效行為，而對于橡膠這種失效時轉(zhuǎn)變比較劇烈的材料來說，需要引入新的可以調(diào)節(jié)失效時轉(zhuǎn)變劇烈程度的應(yīng)變能函數(shù)。因此，Trapper等[17]將上不完全伽馬函數(shù)引入到了應(yīng)變能函數(shù)中，通過調(diào)節(jié)相應(yīng)的參數(shù)可以調(diào)節(jié)失效時的轉(zhuǎn)變劇烈程度。然后作為驗證，他采用此模型模擬了剛性彈丸侵徹天然橡膠薄板的試驗。前面介紹的本構(gòu)模型在卸載時會出現(xiàn)應(yīng)變軟化可逆的問題，為了解決這個問題，Volokh等[18]又提出了一個新的應(yīng)變能函數(shù)，使得當材料內(nèi)部累積的應(yīng)變能達到臨界值時，材料的失效不可逆轉(zhuǎn)。關(guān)于含能量限制器的超彈模型的研究進展可以看Volokh寫的綜述[19]。以上介紹的模型都未考慮應(yīng)變率效應(yīng)，為了描述具有黏超彈性的材料的失效行為，Volokh等[20]將含有能量限制器的應(yīng)變能函數(shù)引入到一個準線性黏彈性本構(gòu)模型中，使得建立的模型可以描述材料失效強度的率相關(guān)效應(yīng)。Aranda等[21]在Volokh提出的失效不可逆的應(yīng)變能函數(shù)的基礎(chǔ)上，考慮應(yīng)變率效應(yīng)，建立了一個考慮材料失效的非線性黏超彈本構(gòu)模型，并對Fatt等[22]在高應(yīng)變率下的單軸拉伸試驗結(jié)果進行了數(shù)值模擬。

Volokh等通過引入了能量限制器這一概念，較好地描述了橡膠類材料在大變形時的失效行為，但是其建立的本構(gòu)模型卻無法描述某些橡膠類材料的斷裂伸長率隨加載速率的增加而增加的現(xiàn)象。本文針對這一不足，在其建立的含率無關(guān)能量限制器的黏超彈本構(gòu)模型基礎(chǔ)上，通過在能量限制器φ中引入率相關(guān)項，使其能夠預(yù)測斷裂伸長率隨加載速率的增加而增加的現(xiàn)象，從而為雙脈沖發(fā)動機軟隔層的打開過程數(shù)值仿真提供理論模型。

1 試驗結(jié)果與分析

本文所研究的對象是某種雙脈沖發(fā)動機用的EPDM軟隔層，厚度為5 mm，該材料需要在EPDM基體中加入填充性纖維(如酚醛纖維、芳綸纖維等)以及阻燃性添加劑(無機阻燃劑、有機阻燃劑和復(fù)合阻燃劑)來提高其熱穩(wěn)定性能和耐燒蝕性能。根據(jù)航天工業(yè)行業(yè)標準GB/T 528—2009，將EPDM軟隔層制成啞鈴型3型標準試件，該試件標距 為16 mm，截面尺寸為4 mm×5 mm。試件尺寸如圖 1所示。

圖1 啞鈴型試件尺寸示意圖(單位：mm)

試驗在微機控制電子萬能材料試驗機上完成，試驗室的環(huán)境條件為：溫度25 ℃，濕度40%。進行了單軸等速拉伸試驗。單軸等速拉伸速率分別為1、10、100、500 mm/min。試驗中對每一個工況進行多次重復(fù)試驗，并選取5次有效試驗結(jié)果的平均值作為該工況下的試驗曲線，單軸等速拉伸的試驗結(jié)果如圖 2所示。

圖2 不同加載速率下的試驗結(jié)果

從圖 2中可看出，EPDM軟隔層表現(xiàn)出軟而韌的特點，沒有比較明顯的屈服現(xiàn)象。從斷裂類型來看，常溫下的EPDM軟隔層為高彈態(tài)，其斷裂類型一般屬于韌性斷裂中的高彈斷裂；從斷裂伸長率來看，在準靜態(tài)加載的條件下，EPDM的斷裂伸長率呈現(xiàn)出較為明顯的率相關(guān)效應(yīng)，即斷裂伸長率隨著加載速率的增加而增加；從斷裂強度來看，和其他硬而韌的高聚物(如尼龍、聚碳酸酯等)相比，其斷裂強度較低，加載速率為500 mm/min時僅有4.5 MPa左右。從圖2還可看出，當伸長比大于1.5之后，從單條曲線來看，工程應(yīng)力-伸長比曲線呈現(xiàn)出線性關(guān)系。

2 改進的含能量限制器的黏超彈本構(gòu)模型

2.1 含率無關(guān)的能量限制器的黏超彈本構(gòu)模型

小變形條件下，黏彈性材料的力學(xué)響應(yīng)可以用標準線性固體模型來描述[23]，對于大變形的情況，仍然可以采用相似的模型，如圖3所示。

圖3 黏超彈本構(gòu)模型

(1)

其中

自由能ψ可以分解為

(2)

對于大變形不可壓縮的橡膠材料來說，式(1)可以改寫為

(3)

對于應(yīng)變能函數(shù)ψ(C)，若考慮含有能量極限，則可以寫為[14]

(4)

式中Γ(s，x)為上不完全伽馬函數(shù)；W(C)為未損傷超彈性材料的應(yīng)變能密度函數(shù)；φ為能量限制參數(shù)；m為無量綱材料常數(shù)，反映了材料過渡到完全失效的轉(zhuǎn)變快慢程度。

由求導(dǎo)的鏈式法則，可得

(5)

經(jīng)過求導(dǎo)運算后，可得

(6)

這里W(C)采用Exp-Ln應(yīng)變能函數(shù)，W可為[25]

(7)

其中，A=G/2，G為橡膠材料的剪切模量，A、a和b決定了橡膠類材料在小、中和大應(yīng)變階段的力學(xué)響應(yīng)。

這里定義ψ1為

(8)

則式(3)為

(9)

對于單軸加載的情形，假設(shè)加載方向上的伸長比為λ11=λ，則其余兩個主方向的伸長比為λ22=λ33=λ-1/2，則變形梯度張量F可表示為

(10)

相應(yīng)的左柯西-格林應(yīng)變張量B=FFT可表示為

(11)

將式(11)代入式(9)，可得三個方向的主應(yīng)力分別為

(12)

(13)

單軸加載的邊界條件為σ11=σ，σ22=σ33=0，聯(lián)立式(12)、(13)可得加載方向的柯西應(yīng)力σ11：

(14)

其中，m(t-τ)為松弛函數(shù)，可寫為Prony級數(shù)形式(取N=2)：

(15)

(16)

2.2 含率相關(guān)的能量限制器的黏超彈本構(gòu)模型

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

3 模型驗證及敏感性分析

3.1 模型驗證

式(21)中一共包含有13個參數(shù)，這13個參數(shù)的獲取過程分為兩步：首先，選擇1 mm/min的單軸等速拉伸曲線采用MATLAB自帶的遺傳算法工具箱結(jié)合最小二乘法進行擬合，求出參數(shù)β∞、β1、θ1、β2、θ2、A、a、b；然后，根據(jù)斷裂伸長率采用同樣的擬合方法求出m、φ0、A、B和η，擬合結(jié)果如表 1所示。表2為失效的相關(guān)參數(shù)，擬合結(jié)果與試驗結(jié)果的對比如圖 4所示。

圖4 1 mm/min試驗結(jié)果與擬合結(jié)果對比

β∞β1θ1β21.475 40.471 5106.511 62.660 2θ2Aab0.328 60.347 80.011 90.114 3

表2 失效相關(guān)參數(shù)

為了驗證所建立的模型的預(yù)測能力，選取10、100、500 mm/min的單軸等速拉伸曲線來進行驗證，預(yù)測結(jié)果與試驗結(jié)果的對比如圖 5所示。

圖5 預(yù)測結(jié)果與試驗結(jié)果對比

從圖5可看出，將能量限制器作為加載速率的函數(shù)之后，除了能預(yù)測到斷裂強度隨加載速率的增加而增加外，模型還能夠預(yù)測到EPDM軟隔層的斷裂伸長率隨著加載速率的增加而增加的現(xiàn)象，預(yù)測結(jié)果與試驗結(jié)果良好的一致性說明了本文建立的本構(gòu)模型的合理性。

3.2 敏感性分析

本文只討論模型參數(shù)變化對斷裂伸長率影響，由于影響斷裂伸長率的只有指數(shù)項，所以只討論參數(shù)m、φ0、A、B和η，模型參數(shù)的擬合結(jié)果作為參數(shù)基準值，每個參數(shù)變化分別為±0.1、±0.2、±0.3、±0.4、±0.5，每個參數(shù)變化引起的斷裂伸長率的相對變化率定義為

(22)

每個參數(shù)變化時的斷裂伸長率的相對變化率如表3所示。

表3 m、φ0、A、B和η變化時斷裂伸長率的相對變化率

從表3可看出，由于參數(shù)m的值很常大，且位于指數(shù)項中，導(dǎo)致m值減小為原來的一半時，m對λb幾乎沒有影響。剩余4個參數(shù)中，λb對φ0最敏感，δλb最大達到0.24，其次為A，最低的是B和η，δλb最大值均小于0.1。

4 結(jié)論

(1)對雙脈沖發(fā)動機EPDM軟隔層低應(yīng)變率條件下的力學(xué)行為進行了研究，獲取了EPDM軟隔層在低應(yīng)變率加載下的試驗曲線。從試驗結(jié)果來看，EPDM軟隔層具有超彈和黏彈性材料的特點，相同應(yīng)變下，加載速率越大，對應(yīng)的載荷值越大。

(2)針對含能量限制器的本構(gòu)模型無法描述EPDM軟隔層的斷裂伸長率隨著加載速率的增加而增加的現(xiàn)象，本文將能量限制器作為加載速率的函數(shù)，建立了含率相關(guān)的能量限制器的黏超彈本構(gòu)模型，利用單軸拉伸試驗的數(shù)據(jù)結(jié)合最小二乘法獲取了模型參數(shù)。

(3)對建立的本構(gòu)模型進行了參數(shù)敏感性分析。分析結(jié)果表明，斷裂伸長率 對λb對φ0、A、B、m和η的敏感性依次降低。

(4)為驗證本文所建立的模型的合理性，利用所建立的本構(gòu)模型參數(shù)去預(yù)測了EPDM軟隔層單軸拉伸試驗結(jié)果。預(yù)測結(jié)果表明，本文所建立的本構(gòu)模型能夠預(yù)測EPDM軟隔層在大變形的失效行為以及斷裂伸長率隨著加載速率的增加而增加的現(xiàn)象，從而可為雙脈沖發(fā)動機隔層打開工作過程數(shù)值仿真提供理論基礎(chǔ)。