閘孔自由出流流量系數(shù)公式的改進(jìn)與應(yīng)用
----以槐店閘為例

秦晨光，毛豪林，王繼華，竇 明

(1.鄭州大學(xué)水利與環(huán)境學(xué)院，鄭州 450001；2.河南省鄭州水文水資源勘測局，鄭州 450000；3．河南省地質(zhì)環(huán)境監(jiān)測院，鄭州 450000)

0 引 言

近年來，隨著經(jīng)濟(jì)社會的發(fā)展需要，閘壩工程在防洪、發(fā)電、灌溉、水運等方面發(fā)揮了越來越重要的作用。然而，閘壩建設(shè)人為改變了河流天然徑流過程，其實際流量、水位均發(fā)生了顯著變化。對于大多數(shù)中低水頭閘壩，泄流的特點是水頭不大，水力因素變化范圍大，閘門開啟調(diào)度過程中，能形成由急流到緩流的多變流態(tài)，對下游河床的沖刷防護(hù)不利，如若閘門運行時由于操作或人為因素形成多孔大開度時，將會對下游河床造成更劇烈的沖刷[1]。如果閘門泄流調(diào)度合理，就能減少消能防沖問題。因此，選擇一個合適的過閘流量計算公式、加強對閘壩工程的科學(xué)調(diào)度，不僅能有效減少洪災(zāi)和旱災(zāi)造成的損失，還能改善水環(huán)境、修復(fù)生態(tài)系統(tǒng)，對于調(diào)度工作的開展具有重要指導(dǎo)意義。許多學(xué)者針對閘孔出流做了很多相關(guān)的研究， 比如通過分析自由出流和淹沒出流兩種情況下的過閘水流流動特征，使用不同的方法預(yù)測流量系數(shù)，通過兩種模型的建立，提出相應(yīng)的流量系數(shù)方程或者改進(jìn)方程(I P Martynov[2])。在這一領(lǐng)域中，Henry[3]作為開創(chuàng)者，在對正常水閘出流特性進(jìn)行研究后，在自由和淹沒流動條件下給出了相應(yīng)的流量系數(shù)圖和系數(shù)公式，他的這項研究被后來的Rajaratnam 和 Subramanya[4]所證實，并在Henry研究的基礎(chǔ)上，提出了新的流量系數(shù)公式。隨著對流量系數(shù)研究的增多，越來越多的學(xué)者開始考慮其他因素對出流計算的影響，Prabhata K. Swamee[5]認(rèn)為閘門流量系數(shù)是一個涉及幾何和水力參數(shù)的函數(shù)。通過數(shù)學(xué)計算獲得了高精度的淹沒和自由出流的流量系數(shù)方程，并給出了適用條件。A. Hussain[6]在對灌溉渠道圓孔出流進(jìn)行研究時，將圓孔直徑和流體重力和慣性力考慮在內(nèi)，提出了含有弗魯?shù)聰?shù)和圓孔尺寸的流量系數(shù)方程。Masoud Ghodsian[7]在對側(cè)閘門進(jìn)行研究時，也得出了相似的結(jié)論，認(rèn)為在亞臨界水流時弗魯?shù)聰?shù)會對流量系數(shù)產(chǎn)生一定影響。除了重力，流體的黏性力和表面張力也會對出流造成影響，A. Roth[8]通過實驗證實了這一點，并將雷諾數(shù)考慮到公式中，應(yīng)用最廣泛的方法是回歸分析(邱靜[9]，葉云濤[10]，向華琦[11])，獲得較高精度公式的同時，又能解決一些實際問題。

1 研究方法

1.1 傳統(tǒng)流量系數(shù)經(jīng)驗公式介紹

近年來，國外學(xué)者多側(cè)重于對收縮系數(shù)和淹沒系數(shù)的研究，但也不乏一些關(guān)于流量系數(shù)的研究。比如I. P. Martynov[2]在對溢洪道平板閘門出流進(jìn)行研究時，將相對閘門開度作為自變量，得到流量系數(shù)關(guān)系式。對于閘孔出流流量系數(shù)的研究，國內(nèi)外學(xué)者總結(jié)出了很多經(jīng)驗公式，如表1所示。

表1 過閘流量系數(shù)公式總結(jié)

表示形式上，中國學(xué)者習(xí)慣把流量系數(shù)、閘門開度、閘前水頭分別用μ，e,和H0表示，歐美學(xué)者則用Cd，w和y0表示。在自變量的選取上，最為普遍的是尋找閘門相對開度和流量系數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。其中，閘門實際開度和閘前水頭是影響流量系數(shù)模擬精度的重要因素。

當(dāng)為平板閘門時，一般認(rèn)為e/H≤0.65時為閘孔出流，e/H≥0.65時為堰流。閘孔出流計算公式為：

式中：μ為流量系數(shù)；b為閘孔寬度；e為閘門開度；H0為閘前水深。

在表1提到的過閘流量系數(shù)公式中，有復(fù)合函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、三次多項式5種形式，考慮到所研究對象為平原水閘，過流情況較為簡單，擬采用對數(shù)函數(shù)替換復(fù)合函數(shù)進(jìn)行研究，五種公式的通用表達(dá)式如表2。

表2 5種公式通用表達(dá)式

1.2 過閘流量公式改進(jìn)思路

針對以上提出的五種過閘流量計算公式，采用最小二乘法來率定各個公式的參數(shù)，并采用最大絕對誤差、相對誤差、變差系數(shù)3個指標(biāo)分析各個公式的精度。再對5種公式計算結(jié)果進(jìn)行驗證時，采用相關(guān)系數(shù)(r)、相對誤差(re)、納西效率指數(shù)(NSEC)三個指標(biāo)來分析各公式計算值的精度。

評判標(biāo)準(zhǔn)[17]如下：①當(dāng)r≤1和NSEC≤1，re>0.15或<-0.15，模型預(yù)測結(jié)果較差。②當(dāng)r=1和NSEC=1，re=0時，模擬效果最佳。③當(dāng)r>0.6，NSEC>0.5， -0.15

通過對驗證期的精度分析，篩選出最適合槐店閘的流量系數(shù)公式，繼而采用最小二乘法對驗證期數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，通過使誤差的平方和最小來尋求最佳匹配函數(shù)。模型函數(shù)確定為y=a+bt，令t=lnx，對數(shù)函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)的擬合，y=a+bt，令：

求使F(a,b)有最小值的a和b的值。

得到正規(guī)方程組：

解得a和b的值，得到改進(jìn)的流量系數(shù)公式。

針對改進(jìn)前后的對數(shù)函數(shù)公式的擬合效果，我們進(jìn)行了對比分析，并結(jié)合率定期和驗證期的流量系數(shù)散點圖，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)的對數(shù)函數(shù)只在相對開度區(qū)間處于0.08～0.42時精度得以提高，同時當(dāng)相對開度在0.42～0.60時，流量系數(shù)與相對開度更趨于線性關(guān)系。綜上，決定采用分段函數(shù)形式表示流量系數(shù)與相對開度的關(guān)系。

2 應(yīng)用研究

本文研究對象槐店閘位于河南省周口市沈丘縣槐店鎮(zhèn)，主要由淺孔閘、深孔閘、船閘三部分組成，淺孔閘長期保持小流量下泄，深孔閘只在洪水期供泄洪使用，船閘為正常通航使用。淺孔閘的設(shè)計流量為3 200 m3/s，水位40.88 m。淺孔閘共18孔，單孔凈寬6m，閘身總寬140.7 m，堰頂高程36 m，堰高1 m，安裝預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土平板門，分上、下扉，配備2×22.5 t啟閉機(jī)9臺，每臺起閉2孔。深孔閘5孔，單孔凈寬10 m，閘身總寬60 m。正常蓄水量為3 000～3 700 億m3，最大蓄水量為4 500 億m3。正常灌溉水位38.50～39.50 m，最高灌溉水位40.00 m。

2.1 傳統(tǒng)過閘流量計算方法的驗證

通過對槐店閘2005-2012年的實測數(shù)據(jù)和泄流情況進(jìn)行分析，此水閘屬于曲線型底坎，曲線型坎上的閘孔出流也分自由出流和淹沒出流兩種情況。在實際應(yīng)用中，由于下游水位過高而使閘孔形成淹沒出流的情況十分少見，在觀測數(shù)據(jù)中也并未發(fā)現(xiàn)。因此本文只討論自由出流情況，選擇穩(wěn)定的淺孔閘出流數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗，所選數(shù)據(jù)過閘流量與閘門開度隨時間變化的關(guān)系圖見圖1。

圖1 過閘流量與閘門開度隨時間變化關(guān)系圖

本文從水閘管理所收集了近7年(2005-2012年)的調(diào)度資料，包含上下游水位、閘前水頭、閘孔水深、閘孔流量和水位、閘門開啟度和個數(shù)等監(jiān)測數(shù)據(jù)，從中選擇數(shù)據(jù)完整連續(xù)且前后沒有發(fā)生較大突變的數(shù)據(jù)用于實驗分析。其中，選擇2005-2010年的366組數(shù)據(jù)用于參數(shù)率定，2010-2012年的104組數(shù)據(jù)用于驗證模型。率定期5種擬合結(jié)果見圖2。

圖2 率定期5種方程擬合效果

由圖2可知，當(dāng)閘門相對開度在0.02～0.30之間時，數(shù)據(jù)較為集中，這和采集數(shù)據(jù)時水閘常年保持小流量下泄較為吻合，當(dāng)開度較大時，流量系數(shù)和相對開度的線性關(guān)系良好。在擬合得到的5種不同形式的關(guān)系式中，指數(shù)形式的相關(guān)性最好，一次函數(shù)雖然相關(guān)性最低，但在大開度時擬合效果較好。考慮到小開度時流體的黏性力，閘墩的側(cè)向收縮作用，在這一區(qū)間數(shù)據(jù)較多且較集中等因素，誤差多集中在這一部分。整體來看，一次函數(shù)的最大誤差較大，且對小開度擬合效果較差。

選用另外的104組數(shù)據(jù)對這5種公式進(jìn)行驗證。驗證結(jié)果如圖3所示。

圖3 5種公式驗證結(jié)果

如圖4所示，當(dāng)相對開度在0～0.10之間時，對數(shù)函數(shù)擬合效果相對較好，冪函數(shù)和一次函數(shù)誤差較大。當(dāng)相對開度在0.10～0.35之間時，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三階多項式與實測值較為接近，一次函數(shù)和冪函數(shù)誤差較大。當(dāng)相對開度大于0.40時，對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的擬合效果較好?？偟膩砜?，誤差較大的點多集中在大開度和小開度，大多數(shù)點的相對誤差則在較小范圍內(nèi)變化。

結(jié)合表2給出的5種函數(shù)通用表達(dá)式，對率定期的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三階多項式、一次函數(shù)五種形式的流量系數(shù)公式，計算各個公式最大絕對誤差、相對誤差、變差系數(shù)進(jìn)行對比，如表3所示。

由表3可知，冪函數(shù)最大絕對誤差為0.92，遠(yuǎn)高于其余4種公式，其次為對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)，三階多項式最大誤差最小，為0.26。冪函數(shù)最大誤差較大主要是因為當(dāng)閘門開度較大時，擬合效果不理想導(dǎo)致。相對誤差最大的為冪函數(shù)，為0.15，一次函數(shù)相對誤差為0.15，雖然二者值相等，但擬合效果相差較大，一次函數(shù)在相對閘門開度大于0.4時，擬合效果較為理想，當(dāng)相對開度處于0.01～0.20時，冪函數(shù)擬合效果較好。指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)相對誤差比較接近，三階多項式相對誤差最小。從變差系數(shù)上來看，冪函數(shù)變差系數(shù)最高，為0.325。擬合效果變化較大，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三階多項式、一次函數(shù)的離散程度較為接近。

表3 率定期5種公式模擬流量系數(shù)對比

為了更好的比較5種公式在槐店閘的適用性，對于驗證期的數(shù)據(jù)采用相關(guān)系數(shù)(r)、相對誤差(re)、納西效率指數(shù)(NSEC)分析各公式計算值的精度。

計算結(jié)果如表4所示。

表4 5種公式驗證結(jié)果對比

由表4可知，對數(shù)函數(shù)的相關(guān)系數(shù)最大，為0.89，冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)其次，一次函數(shù)的相關(guān)性最差。就相對誤差來說，三階多項式最大，為0.06，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)較為接近，分別為0.05、0.04。由圖2可知，當(dāng)相對開度在0.02～0.27之間時，一次函數(shù)計算值要高于實測值，其余四種函數(shù)均低于實測值，其中，冪函數(shù)計算值遠(yuǎn)低于實測值，當(dāng)開度逐漸變大，一次函數(shù)計算值變化趨勢同實測值變化趨勢接近，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)在整個變化區(qū)間都較為穩(wěn)定，從納西效率系數(shù)上來看，對數(shù)函數(shù)最大，為0.76，指數(shù)函數(shù)其次，冪函數(shù)、一次函數(shù)、三階多項式都未超過0.60。

綜上所述，對數(shù)函數(shù)公式計算過閘流量時誤差較小，擬合效果較好，故選取對數(shù)函數(shù)公式進(jìn)行改進(jìn)，以便提高精度。

2.2 改進(jìn)過閘流量計算公式的擬合效果對比

采用最小二乘法原理，對驗證期的數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，得到改進(jìn)的對數(shù)函數(shù)公式 。

改進(jìn)公式擬合效果如圖4所示。

圖4 改進(jìn)公式擬合效果

由圖4可知，當(dāng)閘門相對開度處于0.01～0.60之間時，改進(jìn)的對數(shù)函數(shù)公式在整體上相對誤差減小，當(dāng)e/H在0.42～0.60之間時，閘門相對開度和流量系數(shù)呈現(xiàn)良好的線性關(guān)系。對所有實測數(shù)據(jù)中閘門相對開度大于0.42的34組數(shù)據(jù)進(jìn)行單獨觀察，同樣發(fā)現(xiàn)線性良好。并對其進(jìn)行擬合，效果圖見圖5。

圖5 大開度數(shù)據(jù)擬合

由圖5可知，除了個別數(shù)據(jù)點偏差較大外，大多數(shù)點的擬合效果都較為理想，當(dāng)閘門相對開度在0.5左右時有兩個點的偏差較大，可能與監(jiān)測時過閘流量變化較大有關(guān)。綜上所述，決定采用分段函數(shù)形式來表達(dá)過閘流量系數(shù)公式，公式如下：

此公式考慮了閘門相對開度在0.01～0.60的自由出流區(qū)間內(nèi)的所有出流情況，槐店閘常年保持小流量下泄，當(dāng)0.01≤e/H≤0.08，由于數(shù)據(jù)較為集中，率定期的大量數(shù)據(jù)擬合所得對數(shù)函數(shù)模擬精度高于改進(jìn)的對數(shù)函數(shù)；當(dāng)0.08≤e/H≤0.42，驗證期數(shù)據(jù)減少，改進(jìn)的對數(shù)函數(shù)較少受到小流量數(shù)據(jù)影響，因而擬合精度較高，在此區(qū)間采用改進(jìn)對數(shù)函數(shù)；當(dāng)0.42≤e/H≤0.60，泄流量較大，不容易受到其他因素干擾，此時閘門開度與流量系數(shù)的線性關(guān)系更加顯著，因而采用線性函數(shù)表達(dá)此區(qū)間流量系數(shù)關(guān)系式。

為了驗證上述流量系數(shù)公式的模擬精度，從2005-2012年的實際觀測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取15組數(shù)據(jù)，且相鄰兩組相對開度差值不大，使數(shù)據(jù)均勻分布。并結(jié)合過閘流量計算公式進(jìn)行計算，結(jié)果如表5所示。

表5 分段函數(shù)計算值與實測值對比

由表5可知，在所限定的公式適用范圍內(nèi)， 計算值與實測值均較為接近，絕對誤差大大減小。當(dāng)0.01≤e/H≤0.08范圍內(nèi)時，絕對誤差平均保持在10 m3/s左右，由于閘門開度較小，實測流量值較小，平均相對誤差在17%左右，當(dāng)0.08≤e/H≤0.60時，絕對誤差最大時為35.11 m3/s，相對實測值369 m3/s誤差不大，在此范圍內(nèi)，平均相對誤差低于10%，證明公式模擬效果良好。

3 結(jié) 語

結(jié)合淮河流域上槐店閘的實測數(shù)據(jù)，擬合得到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、一次函數(shù)、三階多項式5種不同形式的過閘流量計算公式，并探討了每種公式的精確性，發(fā)現(xiàn)對數(shù)函數(shù)適用性較好。為進(jìn)一步提高模擬精度，在原有對數(shù)函數(shù)公式基礎(chǔ)上對其改進(jìn)。對實測數(shù)據(jù)進(jìn)行仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)當(dāng)相對開度大于0.42時，相對閘門開度與流量系數(shù)線性良好，于是對此區(qū)間數(shù)據(jù)進(jìn)行單獨擬合得到一次函數(shù)公式，綜上采用分段函數(shù)形式表達(dá)流量系數(shù)并代入實測數(shù)據(jù)對比，平均相對誤差降至10%以下，誤差減小明顯。

上述分段函數(shù)在槐店閘上表現(xiàn)出了更好的適應(yīng)性，提高了模擬結(jié)果的精度，對于指導(dǎo)今后的調(diào)度工作有一定借鑒作用。但是由于研究對象僅僅基于槐店閘，本文研究所得分段函數(shù)公式并不適用于閘底坎為寬頂堰以及遠(yuǎn)大于槐店閘泄流量的曲頂堰自由出流計算，對于閘門技術(shù)參數(shù)和水力條件類似于槐店閘的水利工程，此公式具有一定的借鑒和參考價值。