Rayleigh波場(chǎng)的數(shù)值模擬及其應(yīng)用1

白建方 馬立龍

Rayleigh波場(chǎng)的數(shù)值模擬及其應(yīng)用1

白建方 馬立龍

（石家莊鐵道大學(xué)，土木工程學(xué)院，石家莊 050043）

本文總結(jié)了Rayleigh波場(chǎng)數(shù)值模擬的4種思路和各自特點(diǎn)，根據(jù)Lamb問題的理論分析成果提出了基于地表激振的Rayleigh波場(chǎng)數(shù)值模擬技術(shù)，論述了地表集中震源作用下引起地表波動(dòng)場(chǎng)的特點(diǎn)及主要影響因素。在此基礎(chǔ)上，利用Plaxis 2D有限元軟件實(shí)現(xiàn)了Rayleigh波場(chǎng)的數(shù)值模擬，并結(jié)合算例驗(yàn)證了所提方法的可行性和結(jié)果的合理性。最后，針對(duì)多層建筑結(jié)構(gòu)，研究了不同地震動(dòng)輸入模式下結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)的特點(diǎn)。結(jié)果表明，Rayleigh波作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)特性明顯區(qū)別于在底部輸入剪切波時(shí)的結(jié)果，不同地震動(dòng)輸入模式對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)形態(tài)和破壞模式有著明顯的影響。

Rayleigh波 Lamb問題 Plaxis 2D軟件 數(shù)值模擬 地震動(dòng)輸入 多層結(jié)構(gòu)

引言

地震發(fā)生時(shí)，震源釋放的巨大能量以體波的形式向外傳播。隨著傳播距離的增加，由于受輻射阻尼和材料阻尼的影響，體波在距震中較遠(yuǎn)處已衰減得較弱，此時(shí)地表附近的建筑物或構(gòu)筑物主要受地震面波的影響，其中又以瑞利（Rayleigh）面波為主要成分。Rayleigh波并非1種新的波型，它是由2類不同的體波（縱波和橫波）傳播到地表后，在一定條件下發(fā)生反射而產(chǎn)生的非均勻縱波和非均勻橫波相互干涉和疊加而成。其能量分布一般僅限于距離半空間自由表面1.5—2倍Rayleigh波波長(zhǎng)范圍的薄層內(nèi)（薩瓦林斯基，1981；楊桂通等，1988）。在傳播時(shí)，其質(zhì)點(diǎn)在波的傳播方向與表面層法向組成的平面內(nèi)作逆進(jìn)的橢圓運(yùn)動(dòng)，波速與介質(zhì)的物理特性有關(guān)，一般接近但稍小于橫波波速（約為橫波波速的0.92倍），且振幅大，傳播距離遠(yuǎn)（吳世明，1997）。已有的震害調(diào)查表明，對(duì)于淺源地震，在距震中約0.6—5倍震源深度，或20—50km以外的區(qū)域，將能觀察到明顯的面波震害特征（崔杰等，2008）。因此，對(duì)于絕大多數(shù)的工程結(jié)構(gòu)，尤其位于遠(yuǎn)場(chǎng)的建筑結(jié)構(gòu)，實(shí)際上多處在Rayleigh波起主要作用的地帶，故其動(dòng)力響應(yīng)分析應(yīng)該考慮Rayleigh波的影響。

Rayleigh波自1887年被發(fā)現(xiàn)以來，已經(jīng)在地質(zhì)勘查、隧道施工超前預(yù)報(bào)等眾多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用（佘德平，2004；王朝令等，2014；Yu等，2015）。但對(duì)Rayleigh波作用下建筑結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)特性方面的研究還相對(duì)較少，且一般多限于對(duì)特殊形狀的地下結(jié)構(gòu)或特殊地形所做的理論分析，如梁建文等（2009）和巴振寧等（2014）采用直接剛度法等理論工具分析了Rayleigh波入射情況的各類特殊場(chǎng)地地形、地貌情況下的動(dòng)力特征。對(duì)于實(shí)際地震作用下土體進(jìn)入塑性之后，或者對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)以及土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用的問題，理論方法很難得到解析解。因此，研究如何利用現(xiàn)有成熟的有限元技術(shù)實(shí)現(xiàn)Rayleigh波場(chǎng)的數(shù)值模擬，對(duì)于推動(dòng)Rayleigh波作用下工程結(jié)構(gòu)的抗震性能研究具有現(xiàn)實(shí)意義。

本文首先總結(jié)了目前進(jìn)行Rayleigh波場(chǎng)數(shù)值模擬的4種思路，其次根據(jù)Lamb問題的理論研究成果提出了基于地表激振的Rayleigh波場(chǎng)數(shù)值模擬技術(shù)，結(jié)合Plaxis 2D軟件，通過算例驗(yàn)證了所提方法的可行性以及結(jié)果的合理性。最后，針對(duì)某多層建筑結(jié)構(gòu)，采用所提方法分析了Rayleigh波作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)特點(diǎn)，并與傳統(tǒng)的剪切波輸入以及剪切波和Rayleigh波聯(lián)合輸入下的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，論述了不同地震動(dòng)輸入模式對(duì)建筑結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)特性的影響。

1 Rayleigh波場(chǎng)數(shù)值模擬的4種思路

已有的關(guān)于Rayleigh波場(chǎng)數(shù)值模擬技術(shù)的研究，可以歸結(jié)為4種思路：

（1）直接模擬方法。即利用有限元技術(shù)直接建立包含震源在內(nèi)的大尺度場(chǎng)地模型，結(jié)合現(xiàn)有震源模型模擬地震的產(chǎn)生、能量的釋放以及波在大范圍場(chǎng)地條件下的傳播特性。只要震源參數(shù)合理、模型尺寸足夠大，傳播介質(zhì)的物理和幾何參數(shù)足夠準(zhǔn)確，則理論上該方法可以完整地再現(xiàn)體波由震源到場(chǎng)地的傳播過程以及在地表經(jīng)折射疊加進(jìn)而形成Rayleigh波后的傳播情況。羅超（2017）曾利用該思路實(shí)現(xiàn)了某河谷地形的地震波場(chǎng)模擬。在實(shí)際應(yīng)用中，該方法面臨的主要問題是如何平衡計(jì)算效率和計(jì)算精度的問題。為了提高計(jì)算精度，需要盡可能準(zhǔn)確地建立反應(yīng)實(shí)際傳播介質(zhì)幾何、物理特征的場(chǎng)地模型，盡管已經(jīng)提出了旨在提高計(jì)算效率的算法，但對(duì)于實(shí)際工程，如此大的計(jì)算規(guī)模其耗時(shí)也是巨大的。因此，在實(shí)際應(yīng)用中多采用“兩步法”，對(duì)于結(jié)構(gòu)所在局部場(chǎng)地采用精細(xì)化有限元分析，而對(duì)于遠(yuǎn)域則假設(shè)為均勻場(chǎng)地或分層場(chǎng)地近似計(jì)算，近域和遠(yuǎn)域通過人工邊界進(jìn)行耦合（Kontoe等，2009；劉晶波等，2018）。

（2）等效人工邊界波動(dòng)輸入法。劉晶波等（2006）在分析地下結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)時(shí)，首先建立了包含地下結(jié)構(gòu)和周圍場(chǎng)地的小范圍有限元模型，模型底部和側(cè)向邊界采用粘彈性人工邊界。為得到自由Rayleigh波場(chǎng)，首先假定某一基準(zhǔn)點(diǎn)的水平位移時(shí)程，再利用Rayleigh波在地表附近任一質(zhì)點(diǎn)所滿足的運(yùn)動(dòng)方程，即水平運(yùn)動(dòng)和豎向運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，結(jié)合傅立葉變換技術(shù)得到相應(yīng)的豎向位移時(shí)程。以此Rayleigh波任意角度入射到粘彈性人工邊界上，求得人工邊界節(jié)點(diǎn)上的波動(dòng)輸入等效節(jié)點(diǎn)荷載，進(jìn)一步以此荷載為輸入，完成地下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)計(jì)算。

（3）近似Rayleigh波場(chǎng)模擬方法。岳慶霞等（2008）在研究地下綜合管廊抗震特性時(shí)利用已有的地震記錄，將其視為水平方向的波動(dòng)，仍然參照Rayleigh波在地表附近任一質(zhì)點(diǎn)所需滿足的運(yùn)動(dòng)方程，即水平運(yùn)動(dòng)和豎向運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，利用傅立葉變換得到豎直方向的波動(dòng)，并根據(jù)Rayleigh波在土層內(nèi)部沿豎向的衰減規(guī)律，生成不同深度處的位移場(chǎng)，從而得到整個(gè)區(qū)域Rayleigh波位移場(chǎng)，在此基礎(chǔ)上利用有限元方法分析位于其中的地下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)。

（4）地表激振法。在地質(zhì)勘探以及隧道施工超前地質(zhì)預(yù)報(bào)領(lǐng)域，王朝令等（2012）、蘇傳行（2017）曾以Lamb問題為原型，研究得到自由表面豎向集中脈沖激振時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)在遠(yuǎn)離振源處將以Rayleigh波為主要成分，從中詳細(xì)探討了用有限元軟件模擬Lamb問題時(shí)的網(wǎng)格劃分、單元選取、人工邊界的設(shè)置等問題。證實(shí)了當(dāng)遠(yuǎn)離激振位置一定距離后地面運(yùn)動(dòng)將主要受Rayleigh波的影響，從而提供了1種生成Rayleigh波場(chǎng)的數(shù)值模擬思路。施有志等（2017a，2017b）利用該思路，采用三角脈沖激振方式，通過合理設(shè)置激振力的振幅和激振時(shí)間獲得了遠(yuǎn)場(chǎng)地表的Rayleigh波場(chǎng)，進(jìn)而分析了地下綜合管廊在此波場(chǎng)下的動(dòng)力反應(yīng)。

綜上所述，在實(shí)際應(yīng)用中4種思路均能在一定程度上定性地模擬Rayleigh波的波場(chǎng)特性，其精度無明顯差別。第1種思路理論上最完備，但計(jì)算效率和精度難以兼顧，且尚無商業(yè)程序；第2、3種思路的物理本質(zhì)一樣，均以Rayleigh方程為基礎(chǔ)，結(jié)合Rayleigh波沿水平和豎向的衰減特征近似實(shí)現(xiàn)整個(gè)波場(chǎng)的模擬，區(qū)別在于第2種思路將外域波動(dòng)場(chǎng)的影響等效為近場(chǎng)有限元模型的邊界條件，第3種思路則是直接由Rayleigh波的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征生成整個(gè)波動(dòng)場(chǎng)。這2種思路均需在現(xiàn)有商業(yè)程序中進(jìn)行二次開發(fā)，以計(jì)算Rayleigh波場(chǎng)或人工邊界等效節(jié)點(diǎn)力。相對(duì)而言，第4種思路最為簡(jiǎn)單易用，一方面，該方法可歸結(jié)為L(zhǎng)amb問題的數(shù)值模擬，可利用Lamb問題的理論研究成果；另一方面，可充分利用現(xiàn)有商業(yè)軟件簡(jiǎn)單高效的前后處理技術(shù)和豐富的單元庫，無需編程或二次開發(fā)。因此，本文選擇以第4種思路為基礎(chǔ)展開進(jìn)一步的研究。

2 Lamb問題及其研究成果

Lamb（1904）研究了作用在彈性半無限體表面的1條線或1點(diǎn)處以及內(nèi)部的1條線或1點(diǎn)處等4種沖擊載荷條件下彈性波傳播問題的解析解，這些問題被統(tǒng)稱為L(zhǎng)amb問題。由于該問題的解答在動(dòng)力機(jī)器基礎(chǔ)設(shè)計(jì)方面有一定應(yīng)用價(jià)值，因此學(xué)者們對(duì)不同激振形式下Lamb問題的解答進(jìn)行了廣泛的研究。王貽蓀（1979，1980，1982）系統(tǒng)總結(jié)了該領(lǐng)域的研究成果，并采用圓心位移影響函數(shù)法推導(dǎo)出了半空間豎向集中諧和力和水平集中諧和力作用下產(chǎn)生的表面位移的解析表達(dá)式；劉凱欣等（2004）和劉廣裕等（2007）進(jìn)一步給出了脈沖載荷作用于彈性半空間的垂直點(diǎn)源問題的1個(gè)代數(shù)形式精確解，并采用積分變換方法，求得了區(qū)域脈沖載荷下1個(gè)二維Lamb問題的代數(shù)形式的精確解。本文僅給出與Rayleigh波場(chǎng)數(shù)值模擬相關(guān)的主要研究結(jié)論。

2.1 面源激振作用下地表振幅衰減規(guī)律

對(duì)于面源激振，Woods（1968）對(duì)均質(zhì)各向同性彈性體半空間表面在豎向諧和振動(dòng)的圓形基礎(chǔ)作用下的波動(dòng)場(chǎng)特征進(jìn)行了研究，結(jié)果表明在地表處，體波以1/2衰減，而Rayleigh波以1/衰減（為地表不同位置到震源的距離），與點(diǎn)源激振情況下的衰減規(guī)律一致，所以在遠(yuǎn)場(chǎng)處可獲得由Rayleigh波起控制作用的波動(dòng)場(chǎng)。

2.2 遠(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)的劃分

研究表明縱波和橫波在近場(chǎng)的效應(yīng)不可忽略，隨著距離的增加，在遠(yuǎn)場(chǎng)體波的影響很小，Rayleigh波起控制作用。對(duì)于遠(yuǎn)、近場(chǎng)的劃分，基于現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)和基于理論解分析所給出的公式不完全相同。

令特征因數(shù)a=s，其中代表激振頻率，代表震源距，s代表場(chǎng)地剪切波速，王貽蓀等（1979）根據(jù)集中諧和力作用下地表豎向位移的解析公式，認(rèn)為a＜2.0時(shí)可視為近場(chǎng)，至少在a＞3.5后可視為遠(yuǎn)場(chǎng)。

根據(jù)Rayleigh波長(zhǎng)和震源距的關(guān)系，高廣運(yùn)（1998）認(rèn)為對(duì)于一般土場(chǎng)地（泊松比≥0.35）、＞2.5時(shí)（為Rayleigh波波長(zhǎng)）以及對(duì)于較硬巖石場(chǎng)地（泊松比≤0.3）、＞5.0時(shí)，可視為遠(yuǎn)場(chǎng)，小于該距離時(shí)為近場(chǎng)。

于文福（2017）利用Rayleigh波運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)出了Rayleigh波引起的質(zhì)點(diǎn)橢圓軌跡的橢圓極化率（橢圓長(zhǎng)軸與短軸之比）理論公式，以此作為參照標(biāo)準(zhǔn)，通過對(duì)比點(diǎn)源激振方式下地表不同距離質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的橢圓極化率的數(shù)值結(jié)果與理論值之間的差異，得出了對(duì)于不同激振頻率的信號(hào)，在震源距小于5倍Rayleigh波波長(zhǎng)區(qū)間屬于近場(chǎng)區(qū)，此時(shí)體波干擾比較明顯；而當(dāng)震源距大于5倍Rayleigh波波長(zhǎng)后，則是Rayleigh波占優(yōu)的遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)，體波干擾較小。這一結(jié)論與高廣運(yùn)（1998）在較硬巖石場(chǎng)地下的研究結(jié)論一致。

楊先健等（2013）對(duì)于動(dòng)力機(jī)器基礎(chǔ)的研究結(jié)果認(rèn)為，當(dāng)滿足＜[15，20]0時(shí)為近場(chǎng)波動(dòng)（0為機(jī)器基礎(chǔ)當(dāng)量半徑），＞[15，20]0時(shí)為遠(yuǎn)場(chǎng)波動(dòng)。

2.3 振源半徑和介質(zhì)剪切波速的影響

在一定激振頻率下，振源半徑越大，面波所占比重越高，因而幾何衰減也趨緩慢。反之振源半徑越小，面波所占比重相應(yīng)減小，體波所占比重增加，幾何衰減趨于加快。

當(dāng)介質(zhì)的剪切模量增大時(shí)，相應(yīng)的剪切波速增大。在振源半徑不變時(shí)，近源面波所占比重減小，近源幾何衰減加快（楊先健等，2013）。

2.4 激振頻率的影響

按照理想彈性半空間的理論分析結(jié)果，激振頻率越大，地面豎向振幅的衰減越慢；并且隨著激振頻率（撓頻）的增大，地面豎向振幅的衰減曲線隨距離的起伏波動(dòng)越明顯（即豎向位移的衰減并非單調(diào)遞減）（王貽蓀，1982），因此在波動(dòng)場(chǎng)的數(shù)值模擬時(shí)應(yīng)合理設(shè)置激振頻率。但需要指出的是，上述結(jié)論是根據(jù)理想彈性半空間的假設(shè)得到的，對(duì)于實(shí)際半空間場(chǎng)地，大量實(shí)測(cè)資料顯示的則是隨著撓頻增大，衰減越快，這可能是由于實(shí)際場(chǎng)地的非彈性性質(zhì)所致（楊桂通等，1988）。

2.5 場(chǎng)地剪切波速的影響

對(duì)于均勻的彈性半空間，Rayleigh波波速與激振頻率無關(guān)，只與介質(zhì)物理特性（泊松比和剪切波速等）有關(guān)，即在數(shù)值模擬Rayleigh波場(chǎng)時(shí)若采用均質(zhì)彈性半空間假設(shè)，無論激振頻率多大，選定場(chǎng)地材料特性后其Rayleigh波速為確定值。此外，根據(jù)Rayleigh波的運(yùn)動(dòng)方程可知，在地表處其水平位移與豎向位移相差90°相位，因此在Rayleigh波作用下將會(huì)先感受到豎向振動(dòng)，之后再感受到水平運(yùn)動(dòng)，這與實(shí)際地震相一致。

3 Rayleigh波場(chǎng)的數(shù)值模擬

采用Plaxis 2D程序（劉志祥等，2017），模擬Lamb遠(yuǎn)場(chǎng)問題，并分析自由場(chǎng)表面質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以校驗(yàn)利用現(xiàn)有有限元軟件模擬Rayleigh波場(chǎng)的可行性和結(jié)果的合理性。

3.1 模型參數(shù)的確定原則

根據(jù)Lamb問題的理論研究成果，選取具備一定激振面積的面源激振方式，荷載形式為簡(jiǎn)諧力荷載。根據(jù)在場(chǎng)地某處擬獲得的地面運(yùn)動(dòng)，諧振力的振幅可由理論衰減公式初步確定，也可通過簡(jiǎn)單試算來確定；激振頻率由擬獲取的主要頻率范圍來確定；建模時(shí)由于問題的空間軸對(duì)稱性質(zhì)，采用二維軸對(duì)稱模型。設(shè)置有限元的邊界距離時(shí)，為避免波在人工邊界處反射的干擾研究區(qū)域的波動(dòng)場(chǎng)，盡可能使波達(dá)不到邊界處，或即使達(dá)到邊界處、其反射波尚未傳播到擬研究區(qū)域，其可通過調(diào)整場(chǎng)地剪切波速、激振時(shí)間以及場(chǎng)地尺寸來實(shí)現(xiàn)，同時(shí)在側(cè)向邊界處施加Plaxis中的粘性邊界作為吸收邊界，以減少波的反射效應(yīng)（Brinkgreve等，2016）。

根據(jù)上述原則，初步設(shè)計(jì)出模擬Rayleigh波場(chǎng)的有限元模型，如圖1所示。該模型采用15節(jié)點(diǎn)三角形單元建立軸對(duì)稱模型，場(chǎng)地土層水平尺寸50m、深30m，不考慮地下水的影響，共包含3539個(gè)節(jié)點(diǎn)。振源假設(shè)為安置在厚0.2m、直徑1.0m的混凝土基礎(chǔ)上的振動(dòng)裝置。動(dòng)力荷載通過簡(jiǎn)諧荷載模擬，頻率10Hz、周期0.1s，振幅經(jīng)試算后確定為5×104kN/m2，方向向下，此時(shí)位于遠(yuǎn)場(chǎng)地表的豎向位移約0.01m。除了基礎(chǔ)的重量，振動(dòng)裝置本身的重量簡(jiǎn)化為8kN/m2的均布荷載。地基土為砂質(zhì)黏土，假設(shè)為線彈性，參數(shù)如表1所示，其中地基土的彈性模量較高，原因?yàn)閯?dòng)荷載較快使得地基土的動(dòng)力剛度一般大于靜力剛度。振動(dòng)基礎(chǔ)由Plaxis 2D中的板單元模擬，其物理參數(shù)如表2所示。

根據(jù)上述參數(shù)算出該場(chǎng)地剪切波速為97.07m/s，Rayleigh波波速約為90m/s，波長(zhǎng)約為9m。在遠(yuǎn)、近場(chǎng)的劃分上，按照王貽蓀等（1979）的判斷標(biāo)準(zhǔn)，約為6m，可視為遠(yuǎn)場(chǎng)；按照高廣運(yùn)（1998）或于文福（2017）的標(biāo)準(zhǔn)，約45m，可視為遠(yuǎn)場(chǎng)；按照楊先健等（2013）的經(jīng)驗(yàn)公式，約為7.5—10m，視為遠(yuǎn)場(chǎng)?？梢姼吖膺h(yuǎn)、于文福的標(biāo)準(zhǔn)最為嚴(yán)格，王貽蓀的標(biāo)準(zhǔn)最寬松，而楊先健的經(jīng)驗(yàn)公式介于兩者之間。

圖1 Rayleigh波場(chǎng)數(shù)值模擬的有限元網(wǎng)格劃分

表1 Plaxis 2D中土層材料參數(shù)

表2 Plaxis 2D中振動(dòng)基礎(chǔ)材料參數(shù)

3.2 數(shù)值模擬結(jié)果

動(dòng)力分析設(shè)為2個(gè)階段，首先簡(jiǎn)諧荷載強(qiáng)迫振動(dòng)0.5s（根據(jù)Rayleigh波速可知此時(shí)傳播距離約為45m，尚未達(dá)到側(cè)向人工邊界），其次自由振動(dòng)0.5s。為了與上述理論研究成果對(duì)比，算例中未考慮土體阻尼的影響。為研究地表距振源不同距離質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況，分別在地表距振源2m、4m、6m、10m、15m、20m、25m、30m和40m處設(shè)置檢測(cè)點(diǎn)A—I（圖1）。

在設(shè)計(jì)的激振荷載下，自由振動(dòng)期間不同時(shí)段的有限元網(wǎng)格變形情況（放大50倍后）如圖2所示。

圖2 不同時(shí)段有限元網(wǎng)格變形示意圖

由圖2可以看出，在面源簡(jiǎn)諧荷載激振作用下，地表運(yùn)動(dòng)呈明顯的滾動(dòng)特征，在波動(dòng)傳播到某一位置時(shí)，該處網(wǎng)格將產(chǎn)生橢圓形扭曲，與Rayleigh波運(yùn)動(dòng)特性一致。

為對(duì)比遠(yuǎn)、近場(chǎng)的不同劃分標(biāo)準(zhǔn)，分別給出圖1中地表不同位置處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖3所示。

圖3 地表不同位置處質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡

圖3中的曲線代表地表不同位置處質(zhì)點(diǎn)的水平位移與豎向位移關(guān)系，即質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。由圖可以看出，由于每個(gè)點(diǎn)距離震源的距離不同，橢圓的形態(tài)也體現(xiàn)出較大差別，靠近震源處的橢圓均存在較明顯的傾斜，且距離不同，橢圓的傾斜角度也不盡相同，隨著震源距的增大（大于15m），橢圓形態(tài)逐漸趨于穩(wěn)定，并且最終形成1個(gè)長(zhǎng)軸垂直于自由表面的直立橢圓。造成這種現(xiàn)象的原因是靠近震源處，體波干擾較強(qiáng)，且面波的轉(zhuǎn)換還沒有完全成型，橢圓形態(tài)不穩(wěn)定，而在遠(yuǎn)離震源的位置，由于傳播速度的不同以及衰減速度的差異，體波的影響在面波主能量到達(dá)之前已經(jīng)很微弱甚至消失，所以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)開始趨于理想的Rayleigh面波橢圓運(yùn)動(dòng)。地表I處（距離震源40m）質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)未完成1個(gè)橢圓周期，說明此時(shí)Rayleigh波剛傳到此處，也證明了該模型邊界距離的選取符合上述設(shè)置原則。

對(duì)比上述遠(yuǎn)、近場(chǎng)的判斷標(biāo)準(zhǔn)可以看出，按照王貽蓀（1979）的標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)＞6m視為遠(yuǎn)場(chǎng)，但從數(shù)值結(jié)果看，盡管此時(shí)形成了橢圓運(yùn)動(dòng)，但橢圓形狀距理想Rayleigh波引起的橢圓形狀尚有明顯差異，說明此時(shí)Rayleigh波已開始占主導(dǎo)成分，可作為遠(yuǎn)、近場(chǎng)判斷標(biāo)準(zhǔn)的下限值；按照高廣運(yùn)（1998）和于文福（2017）的標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)＞45m可視為遠(yuǎn)場(chǎng)，此標(biāo)準(zhǔn)稍顯嚴(yán)格，可作為判斷條件上限值；按楊先健等（2013）的經(jīng)驗(yàn)公式，當(dāng)＞10m可視為遠(yuǎn)場(chǎng)，該經(jīng)驗(yàn)公式由實(shí)際勘測(cè)資料確定，計(jì)入了實(shí)際場(chǎng)地的材料阻尼，考慮到本算例尚無計(jì)入土體阻尼影響的因素，但此標(biāo)準(zhǔn)與數(shù)值結(jié)果符合較好，可作為Rayleigh波場(chǎng)數(shù)值模擬中初步判斷遠(yuǎn)、近場(chǎng)的標(biāo)準(zhǔn)。在實(shí)際應(yīng)用中，還應(yīng)考慮計(jì)算的目的、對(duì)精度的要求以及場(chǎng)地模型的大小和計(jì)算效率等因素，在上、下限之間合理選擇。

為細(xì)致觀察該激振條件下地表動(dòng)力反應(yīng)的特點(diǎn)，以地表C處為例，給出其質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖4所示。

圖4 地表C處質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡

由圖4可以看出，在加載之初，運(yùn)動(dòng)雜亂無章且振幅非常小，這是由于縱波的傳播速度最快，質(zhì)點(diǎn)先接收到縱波信息，隨后接收到橫波信息，除此之外還有縱波、橫波在地表干涉而成的首波效應(yīng)，在諸多因素作用下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)無明顯規(guī)律。隨著加載繼續(xù)，后期質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)呈明顯的橢圓軌跡，并且振幅在整個(gè)振動(dòng)過程中最大，表明質(zhì)點(diǎn)在這一時(shí)期內(nèi)主要受Rayleigh面波影響而發(fā)生橢圓形的運(yùn)動(dòng)，但由于此時(shí)距離震源位置尚不遠(yuǎn)，體波的干擾比較明顯，使得橢圓的長(zhǎng)軸有明顯的傾角；當(dāng)Rayleigh面波到達(dá)后，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)又逐步回到平衡位置。

圖5給出了地表C處水平運(yùn)動(dòng)和豎向運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)程，從中可以看出最早接收到體波信息，隨后大部分時(shí)間受Rayleigh波控制，在Rayleigh波作用下會(huì)同時(shí)產(chǎn)生水平運(yùn)動(dòng)和豎向運(yùn)動(dòng)，且一般豎向位移分量大于水平位移分量，兩者之間有一定的相位差。在自由振動(dòng)階段，即使沒有材料阻尼，但由于幾何阻尼的存在，波動(dòng)也會(huì)逐漸衰減。

圖5 地表C處質(zhì)點(diǎn)不同方向位移時(shí)程

4 不同地震動(dòng)輸入模式對(duì)多層建筑結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)的影響

土體參數(shù)、激振裝置和震源參數(shù)的設(shè)置均與上述算例相同。在距離震源14—24m處有一多層建筑結(jié)構(gòu)（此時(shí)建筑結(jié)構(gòu)基本位于遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域，地面運(yùn)動(dòng)以Rayleigh波為主），共兩跨，總寬度10m，地上5層，每層3m，地下1層，為2m高的地下室，地下室墻體與周圍土體間設(shè)置界面單元以模擬土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用。建筑物的墻體、樓板和地下室底板用Plaxis 2D中的板單元模擬，參數(shù)如表3所示。中間立柱用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)錨桿單元模擬，參數(shù)如表4所示。由于建筑物的存在，軸對(duì)稱假設(shè)不再適用，需要建立完整的場(chǎng)地模型，含有建筑物的有限元模型如圖6所示。

圖6 含建筑結(jié)構(gòu)的場(chǎng)地有限元模型

表3 建筑物材料屬性（板單元）

表4 點(diǎn)對(duì)點(diǎn)錨桿材料屬性

4.1 Rayleigh波作用下多層建筑結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)結(jié)果

采用地表激振法實(shí)現(xiàn)Rayleigh波場(chǎng)的數(shù)值模擬，激振參數(shù)與上述算例保持一致，為了便于觀察多層結(jié)構(gòu)的后期地震反應(yīng)特點(diǎn)，將自由振動(dòng)時(shí)間增加到4.5s，強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)間仍為0.5s。在此激振條件下，不同時(shí)刻建筑結(jié)構(gòu)的振動(dòng)形態(tài)（放大50倍）如圖7所示，頂層兩側(cè)角點(diǎn)處的水平和豎向位移時(shí)程如圖8所示。

圖7 Rayleigh波作用下不同時(shí)刻建筑物的振動(dòng)形態(tài)

圖8 Rayleigh波作用下建筑物頂層兩側(cè)角點(diǎn)的水平和豎向位移時(shí)程

4.2 底部剪切波作用下多層建筑結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)結(jié)果

傳統(tǒng)的抗震反應(yīng)分析通常在有限元模型的底部輸入垂直向上傳播的剪切波，本文用簡(jiǎn)諧荷載進(jìn)行描述，基底水平運(yùn)動(dòng)振幅設(shè)為0.01m（近似等于Rayleigh波作用下自由場(chǎng)分析時(shí)建筑結(jié)構(gòu)所在位置的豎向位移大?。l率10Hz，激振時(shí)間與Rayleigh波作用情況一致，即0.5s的強(qiáng)迫振動(dòng)和4.5s的自由振動(dòng)，其它參數(shù)與上述算例相同。不同時(shí)刻建筑物的振動(dòng)形態(tài)（放大200倍）如圖9所示，頂層兩側(cè)角點(diǎn)處的水平和豎向位移時(shí)程如圖10所示。

圖9 剪切波作用下不同時(shí)刻建筑物的振動(dòng)形態(tài)

圖10 剪切波作用下建筑物頂層兩側(cè)角點(diǎn)的水平和豎向位移時(shí)程

4.3 剪切波和Rayleigh波共同作用下建筑結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)結(jié)果

實(shí)際地震作用時(shí)，由于不同地震波傳播速度的差異，在遠(yuǎn)場(chǎng)的建筑結(jié)構(gòu)首先接收到體波，考慮到縱波的衰減較快，此時(shí)主要以剪切波為主，隨后將接收到以Rayleigh波為主的面波。為模擬實(shí)際地震作用的特點(diǎn)，針對(duì)上述場(chǎng)地模型，首先考慮在底部輸入水平運(yùn)動(dòng)時(shí)程以模擬剪切波作用，激振時(shí)間0.5s，隨后留出0.5s自由振動(dòng)時(shí)間，然后由地表激振方式產(chǎn)生Rayleigh波，荷載大小、強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)間與上述算例相同，自由振動(dòng)時(shí)間設(shè)為3.5s。在該剪切波和Rayleigh波的聯(lián)合作用下，建筑物的前半段振動(dòng)形態(tài)與圖9類似，后半段則與圖7類似，頂層兩側(cè)角點(diǎn)處的水平和豎向位移時(shí)程如圖11所示。

4.4 數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果分析

對(duì)比圖7和圖9可以看出，Rayleigh波作用下建筑結(jié)構(gòu)的振動(dòng)形態(tài)與剪切波作用下存在明顯差異，在剪切波作用下，建筑結(jié)構(gòu)主要表現(xiàn)為左右搖晃，以剪切變形為主；而Rayleigh波由于會(huì)同時(shí)引起地面的豎向運(yùn)動(dòng)和水平運(yùn)動(dòng)，所以導(dǎo)致建筑結(jié)構(gòu)整體運(yùn)動(dòng)形態(tài)由左右擺動(dòng)和上下晃動(dòng)耦合而成。振動(dòng)形態(tài)的不同進(jìn)而將導(dǎo)致不同的破壞位置和破壞模式。

圖11 剪切波與Rayleigh波聯(lián)合作用下建筑物頂層兩側(cè)角點(diǎn)的水平和豎向位移時(shí)程

對(duì)比圖8、圖10和圖11可以發(fā)現(xiàn)，剪切波作用下結(jié)構(gòu)頂層的反應(yīng)以水平運(yùn)動(dòng)為主，豎向位移很?。欢赗ayleigh波作用下，整個(gè)動(dòng)力分析時(shí)段內(nèi)的豎向位移基本大于水平位移；在剪切波和Rayleigh波聯(lián)合作用下，頂層位置前半段以水平運(yùn)動(dòng)為主，在Rayleigh波到達(dá)后豎向運(yùn)動(dòng)與水平運(yùn)動(dòng)大致在同一量級(jí)，此時(shí)建筑結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)最大。此外，對(duì)于抗側(cè)剛度不大的多層框架結(jié)構(gòu)類型，無論哪種地震動(dòng)輸入模式，其水平方向的動(dòng)力反應(yīng)持續(xù)時(shí)間均遠(yuǎn)大于豎向反應(yīng)，如在Rayleigh波作用下，激振時(shí)間設(shè)為0.5s時(shí)，頂層水平位移約在8s后才趨于0，而該層的豎向震動(dòng)約在3s后就已經(jīng)結(jié)束。由此可見，不同地震動(dòng)輸入模式的影響主要反映在地震波的持時(shí)內(nèi)，對(duì)結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)期間的影響不大，原因是無論哪種激振方式，結(jié)構(gòu)后期的振動(dòng)都將以水平反應(yīng)為主。最后，無論哪種地震動(dòng)輸入模式，頂層左、右角點(diǎn)的水平運(yùn)動(dòng)均一致，而其豎向運(yùn)動(dòng)則有明顯差異，主要是由于樓板單元平面內(nèi)的剛度遠(yuǎn)大于其平面外的剛度。

數(shù)值試驗(yàn)表明，本文所提出的地表激振Rayleigh波數(shù)值模擬技術(shù)，可用于各類復(fù)雜結(jié)構(gòu)在不同地震動(dòng)輸入模式下的動(dòng)力特性研究。

5 結(jié)論

本文總結(jié)了Rayleigh波場(chǎng)數(shù)值模擬的4種思路，結(jié)合Lamb問題的研究成果，采用地表激振的方法實(shí)現(xiàn)了Rayleigh波場(chǎng)的數(shù)值模擬，結(jié)合算例驗(yàn)證了該方法的可行性和結(jié)果的合理性。在此基礎(chǔ)上，針對(duì)某多層建筑結(jié)構(gòu)對(duì)比了Rayleigh波輸入、剪切波輸入以及剪切波和Rayleigh波聯(lián)合輸入等不同地震動(dòng)輸入模式對(duì)多層建筑結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)的影響。

結(jié)果表明，在不同的地震動(dòng)輸入方式下，多層建筑結(jié)構(gòu)的振動(dòng)形態(tài)和破壞模式會(huì)產(chǎn)生明顯的差異，因此在結(jié)構(gòu)抗震分析時(shí)，有必要根據(jù)建筑場(chǎng)地所處位置選擇更符合實(shí)際的地震動(dòng)輸入方式?；诘乇砑ふ竦腞ayleigh波數(shù)值模擬技術(shù)實(shí)現(xiàn)方便、計(jì)算效率高，同時(shí)還可充分利用現(xiàn)有商業(yè)軟件豐富的本構(gòu)模型和強(qiáng)大的處理功能，為今后研究土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用問題、不同地震動(dòng)輸入模式、材料非線性或復(fù)雜地形條件對(duì)Rayleigh波場(chǎng)的影響等問題奠定了基礎(chǔ)。

巴振寧，梁建文，2014．瑞雷波斜入射下層狀半空間中沉積谷地周圍的三維散射研究．地震學(xué)報(bào)，36（4）：571—583.

崔杰，張為，張建國(guó)，2008．Rayleigh波對(duì)淺地表地基震害的影響．華南地震，28（2）：10—18．

高廣運(yùn)，1998．非連續(xù)屏障地面隔振理論與應(yīng)用．杭州：浙江大學(xué)．

梁建文，魏新磊，Lee V．W.，2009．圓弧形沉積谷地對(duì)Rayleigh波三維散射解析解．天津大學(xué)學(xué)報(bào)，42（1）：24—34．

劉廣裕，劉凱欣，2007．區(qū)域脈沖載荷下二維Lamb問題的精確求解．固體力學(xué)學(xué)報(bào)，28（4）：341—346．

劉晶波，李彬，2006．Rayleigh波作用下地下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)分析．工程力學(xué)，23（10）：132—135，131．

劉晶波，譚輝，寶鑫等，2018．土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用分析中基于人工邊界子結(jié)構(gòu)的地震波動(dòng)輸入方法．力學(xué)學(xué)報(bào)，50（1）：32—43．

劉凱欣，劉廣裕，2004．垂直點(diǎn)源問題的一個(gè)精確解．科學(xué)通報(bào)，49（5）：419—423．

劉志祥，張海清，2017．PLAXIS 2D基礎(chǔ)教程．北京：機(jī)械工業(yè)出版社．

羅超，2017．河谷地形及土-結(jié)構(gòu)相互作用對(duì)大跨度橋梁地震反應(yīng)的影響．上海：同濟(jì)大學(xué)，78—94.

薩瓦林斯基，1981．地震波．段星北，譯．北京：科學(xué)出版社．

佘德平，2004．波場(chǎng)數(shù)值模擬技術(shù)．勘探地球物理進(jìn)展，27（1）：16—21．

施有志，林樹枝，趙花麗，2017a．瑞利阻尼參數(shù)對(duì)瑞利波作用下場(chǎng)地動(dòng)力響應(yīng)的影響．人民長(zhǎng)江，48（3）：76—80．

施有志，孫愛琴，林樹枝等，2017b．Rayleigh波作用下地下綜合管廊動(dòng)力響應(yīng)三維數(shù)值分析．世界地震工程，33（4）：196—210．

蘇傳行，2017．二維起伏地形瑞利面波數(shù)值模擬研究，成都：西南交通大學(xué)，18—22．

王朝令，劉爭(zhēng)平，2012．黏彈性邊界條件在ANSYS有限元波場(chǎng)模擬中的實(shí)現(xiàn)．大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，32（2）：28—31．

王朝令，劉爭(zhēng)平，黃云艷等，2014．隧道地震預(yù)報(bào)波場(chǎng)的有限元數(shù)值模擬．吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（地球科學(xué)版），44（4）：1369—1381．

王貽蓀，1979．關(guān)于拉姆問題的精確解．湖南大學(xué)學(xué)報(bào)，6（1）：61—76．

王貽蓀，1980．半無限體表面在豎向集中諧和力作用下表面豎向位移的精確解．力學(xué)學(xué)報(bào)，12（4）：386—391．

王貽蓀，1982．地面波動(dòng)分析若干問題．建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報(bào)，3（2）：56—67．

吳世明，1997．土介質(zhì)中的波．北京：科學(xué)出版社．

楊桂通，張善元，1988．彈性動(dòng)力學(xué)．北京：中國(guó)鐵道出版社．

楊先健，徐建，張翠紅，2013．土-基礎(chǔ)的振動(dòng)與隔振．北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社．

于文福，2017．點(diǎn)源橫向非均勻介質(zhì)瑞利面波波場(chǎng)數(shù)值模擬研究．成都：西南交通大學(xué)，66—72．

岳慶霞，李杰，2008．近似Rayleigh地震波作用下地下綜合管廊響應(yīng)分析．防災(zāi)減災(zāi)工程學(xué)報(bào)，28（4）：409—416．

Brinkgreve R. B. J., Kumarswamy S., Swolfs, W. M., 2016. PLAXIS 2D reference manual. Delft, The Netherlands: PLAXIS BV, 286—290.

Kontoe S., Zdravkovic L., Potts D. M., 2009. An assessment of the domain reduction method as an advanced boundary condition and some pitfalls in the use of conventional absorbing boundaries. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 33(3): 309—330.

Lamb H., 1904. On the propagation of tremors over the surface of an elastic solid. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character, 203: 1—42.

Woods R. D., 1968. Screening of surface waves in soils. Journal of Soil Mechanics and Foundations Division ASCE, 94(SM4): 951—979.

Yu W. F., Liu Z. P., 2015. A numerical study of the Rayleigh wave particle motions excited by a point source and Poisson’s ratio for lateral inhomogeneous half-spaces. Journal of Applied Geophysics, 123: 242—255.

Numerical Modeling Techniques of Rayleigh Wave Field and Its Application

Bai Jianfang and Ma Lilong

(School of Civil Engineering, Shijiazhuang Railway University, Shijiazhuang 050043, China)

Four different approaches about numerical modeling techniques of Rayleigh wave field were summarized. The techniques base on vertical harmonic point load on the free surface has been proposed in this paper. The main research achievements of Lamb issues, such as the characteristics of Rayleigh wave field under point load and its main influencing factors were discussed. On this basis the numerical modeling of Rayleigh wave field with Plaxis 2D was conducted and the effectiveness of the approach was verified with an example. The dynamic response of a multi-story building structure during propagation of Rayleigh wave was analyzed using the proposed method, and the results were compared to that from the traditional methods. Numerical analysis results show that different wave motion input methods have great effect on the dynamic response of building structures. The vibration shape and failure modes of the structure were greatly influenced by seismic input modes.

Rayleigh wave; Lamb issues; Plaxis 2D software; Numerical modeling; Wave motion input; Multi-story building

10.11899/zzfy20190207

河北省大型基礎(chǔ)設(shè)施防災(zāi)減災(zāi)協(xié)同創(chuàng)新中心項(xiàng)目，河北省重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目（橋梁與隧道工程）

2018-07-23

白建方，男，生于1976年。講師。主要從事工程系統(tǒng)抗震方面的研究。E-mail：bjf2004@126.com

白建方，馬立龍，2019．Rayleigh波場(chǎng)的數(shù)值模擬及其應(yīng)用．震災(zāi)防御技術(shù)，14（2）：328—340．