模糊分數(shù)階PID在線徑控制系統(tǒng)中的應用

周克良，胡梁眉，洪智慧

（江西理工大學 電氣工程與自動化學院，贛州 341000）

0 引言

在電線電纜的生產過程中，絕緣擠出是最主要的工序之一，而推擠機則是完成這一過程的主要設備，其原理是將絕緣材料PTFE擠出到金屬絲上完成絕緣擠出工序。在絕緣擠出過程中，主要技術要求有偏心度、光滑度和致密度，其中偏心度是最能體現(xiàn)擠出工藝水平的重要指標，它代表了擠出的絕緣厚度的偏差值，決定了線徑（電纜外徑），故以線徑作為衡量控制器的重要指標。線徑控制系統(tǒng)具有時變性、非線性、大滯后等特點。目前，傳統(tǒng)的PID控制策略以其結構簡單、控制效果及穩(wěn)定性好、易于操作等優(yōu)點在線徑控制系統(tǒng)中應用廣泛，但由于PID參數(shù)始終不變，在具有滯后特性的線徑控制系統(tǒng)中很難達到最理想的效果。針對線徑控制滯后大這一控制問題，最早是在2006年有學者[1]提出了一種帶有滯后補償?shù)膬?yōu)化模糊PID算法，加快了響應速度，減輕了系統(tǒng)振蕩，但抗干擾能力有待提高。之后在2009年[2]提出了動態(tài)矩陣控制算法，該算法對未來時刻過程的響應趨勢進行預測，使得系統(tǒng)輸出能盡可能好地跟蹤期望值，但調節(jié)時間較長。最新的研究成果是在2017年，學者Hui Li[3]等人設計了基于蟻群優(yōu)化算法（ACO）的ACO-KF-PID算法，并引入卡爾曼濾波算法，以抑制控制擾動和測量噪聲對線徑控制系統(tǒng)的影響，實現(xiàn)了電線絕緣護套擠出成型的智能化控制。

模糊PID控制是將模糊控制與PID控制相結合的一種復合控制方式，雖然該方式彌補了PID控制容易使閉環(huán)遲鈍，易產生振蕩的缺點，但超調較大。再結合分數(shù)階微積分理論，在模糊PID控制器的基礎上，對其微分階次及積分階次進行從整數(shù)階到非整數(shù)階的拓展，構成模糊分數(shù)階PID控制器（FOFPID），以誤差和誤差變化率作為輸入信號，利用模糊控制規(guī)則對KP、KI、KD、λ和μ五個參數(shù)進行在線調節(jié)。與模糊PID控制器相比，該控制器增加了調節(jié)參數(shù)的個數(shù)，使得控制器的控制范圍更大、更靈活。并利用Smith預估器對純滯后對象的有效補償，在實踐中獲得了滿意的控制效果。

近年來，學者們對模糊分數(shù)階PID控制器的應用研究[4～9]驗證了模糊分數(shù)階PID控制器具有較好的動態(tài)性能和抗干擾能力。故在本文中，針對推擠機系統(tǒng)的線徑控制問題，設計出帶滯后補償?shù)腇OFPID控制器，對推擠機的推擠速度進行控制，提高電纜外徑控制精度，滿足實際生產需求。同時結合ITAE指標，利用SIMULINK仿真對模糊PID控制器、動態(tài)矩陣控制算法及帶滯后補償?shù)腇OFPID控制器的控制效果進行比較。

圖1 線纜生產工藝流程圖

1 線徑控制系統(tǒng)的結構

在電纜生產的絕緣擠出工程中，放線架在牽引電機的作用下勻速放線，在內導線經(jīng)過機頭時，采用螺紋裝置為活塞提供推力，將PTFE（聚四氟乙烯）材料擠出，使之在金屬線芯的表面形成一層厚度均勻的絕緣外皮，由機頭與牽引電機之間的測徑儀對吸附絕緣外皮后的金屬線芯的直徑進行測量[10]。之后的燒結爐會將分散的聚四氟乙烯顆粒通過燒結作用凝聚成一個沒有縫隙的整體[11]。最后，成形的電纜將受到工頻火花機的檢驗，一旦線纜存在縱向開裂問題，將會被火花機擊穿，能夠及時將不合格的線纜剔除。線纜生產工藝流程如圖1所示。

線纜的線徑主要取決于推擠機的推擠速度和牽引速度，故若要使線徑保持穩(wěn)定，可從推擠速度和牽引速度這兩方面來分析。在對線徑控制系統(tǒng)進行設計時，保持推擠機的牽引速度不變，通過對推擠機的推擠速度進行有效控制，實現(xiàn)對電線電纜生產工藝的優(yōu)化。推擠速度越大，線徑則越大；推擠速度越小，線徑則越小。

線徑控制系統(tǒng)采用西門子PLC S7-1200作為控制器，電纜外徑通過外徑測徑儀傳遞給PLC，由于機頭與外徑測徑儀之間有一定的距離，這使得此系統(tǒng)對輸入的響應具有滯后性，可用一階慣性加純滯后環(huán)節(jié)等效，螺桿調速系統(tǒng)為直流閉環(huán)調速，模型可等效為二階慣性環(huán)節(jié)。其模型[1]可表示為：

其中G0(s)為系統(tǒng)無滯后下的傳遞函數(shù)，K為放大倍數(shù)，T1、T2分別為大、小慣性時間常數(shù)，τ為滯后時間常數(shù)。根據(jù)相關研究成果[1～3]并結合現(xiàn)場推擠機設備WE-LIN040LS-2.0以及實驗數(shù)據(jù)，可得到適合線徑控制系統(tǒng)模擬的傳遞函數(shù)為：

PLC將實時根據(jù)測得的線徑與目標線徑的偏差及偏差的變化率，對推擠直流電機驅動器的輸入電壓進行控制，實現(xiàn)對推擠速度的調節(jié)，使得生產的線纜線徑緊緊能夠跟隨目標線徑。線徑控制系統(tǒng)結構圖如圖2所示。圖中rin為目標線徑，y(t)為實際線徑。

圖2 線徑控制系統(tǒng)結構圖

2 基于FOFPID 的線徑控制方案設計

2.1 分數(shù)階PID控制器的結構

PIλDμ控制器是一種新型的控制器，它與傳統(tǒng)PID控制器相比，分別對積分系數(shù)和微分系數(shù)增加了階次調節(jié)參數(shù)λ和μ，因而它具有更大的調節(jié)范圍[12,13]，PIλDμ控制器可表示為：

分數(shù)階PID控制系統(tǒng)結構示意圖如圖3所示。

圖3 分數(shù)階PID控制系統(tǒng)結構示意圖

2.2 基于FOFPID控制器的線徑控制方案

推擠機系統(tǒng)是一個復雜的不穩(wěn)定系統(tǒng)，兩根胚料接頭處存在間隙或者胚料存在斷裂等情況都將使得系統(tǒng)不穩(wěn)定，線徑波動較大，這些情況可以看成是某個擾動信號。針對推擠機系統(tǒng)的這些特點，結合Smith預估器的性質，設計出帶滯后補償?shù)腇OFPID控制器的線徑控制系統(tǒng)框圖，如圖4所示。

圖4 帶滯后補償?shù)腇OFPID控制器的線徑控制系統(tǒng)框圖

帶滯后補償?shù)腇OFPID控制器設計大致可分兩步：FOFPID控制器設計和Smith預估器設計。其中FOFPID控制器的設計又由兩部分組成，以線徑的誤差e和誤差變化率ec作為控制器輸入，經(jīng)模糊推理后的解模糊分別輸出分數(shù)階PID控制器參數(shù)的增量△KP、△KI、△KD、及微分階次λ和微分階次μ。其中，前者的模糊規(guī)則可根據(jù)工程設計人員的技術知識和實際操作經(jīng)驗建立，后者的模糊規(guī)則通過比較不同的λ和μ在線徑控制系統(tǒng)中對控制效果的影響來建立。

3 帶滯后補償?shù)腇OFPID 控制器的設計

3.1 FOFPID控制器的設計

在上述FOFPID控制器中，輸入e和ec，輸出△KP、△KI、△KD、λ和μ的模糊集均為{BN，MN，SN，OZ，SP，MP，BP}, 分別表示“負大值”、“負中值”、“負小值”、“零值”、“正小值”、“正中值”、“正大值”。

3.1.1 基于KP'、KI'、KD'的模糊規(guī)則

由于線徑控制系統(tǒng)需要系統(tǒng)在響應初期具有較好的快速跟蹤性能，且響應過程中不出現(xiàn)過大的超調 ,且應避免系統(tǒng)在進入穩(wěn)態(tài)調節(jié)階段后在設定值附近出現(xiàn)震蕩。根據(jù)這些要求，先選取KP、KI、KD的初值，并將其送入FOFPID控制器中，對△KP、△KI、△KD進行參數(shù)整定，得到實時的自適應的PID控制參數(shù)KP'、KI'、KD'。

比例系數(shù)KP'的作用是加快系統(tǒng)的響應速度，提升系統(tǒng)的調節(jié)精度。KP'越大，系統(tǒng)的響應越迅速，調節(jié)精度越高，但易產生超調，影響系統(tǒng)穩(wěn)定性；積分系數(shù)KI'的作用是減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。KI'越大，越易消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，但KI'過大，在響應過程的初期會產生積分飽和現(xiàn)象；微分系數(shù)KD'的作用是改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。但KD'過大，會延長調節(jié)時間，降低系統(tǒng)的抗干擾能力。根據(jù)KP'、KI'、KD'的性質，再結合工程設計人員的技術知識和實際操作經(jīng)驗，建立合適的模糊規(guī)則，針對△KP、△KI、△KD的模糊規(guī)則分別如表1、表2、表3所示。其中，△KP、△KI、△KD的論域如下：△KP={-0.25，0.25}、△KI={-0.06，0.06}、△KD={-3，3}，e、ec和△KD采用相同的隸屬度函數(shù)相同，各參數(shù)的隸屬函數(shù)[14,15]如圖5所示。

在本文中，選取KP、KI、KD的初值為KP=1、KI=1、KD=1。

表1 △KP模糊控制規(guī)則表

表2 △KI模糊控制規(guī)則表

表3 △KD模糊控制規(guī)則表

圖5 隸屬函數(shù)圖

3.1.2 λ、μ在線徑系統(tǒng)對線徑控制效果的影響

在MATLAB仿真中，分別對λ、μ取不同的值進行分析，觀察其對階躍響應的影響。

1）線徑系統(tǒng)中不同積分階次對控制效果的影響

在仿真中：固定μ=0.8，分別選取λ=0.8、λ=0.67、λ=0.45、λ=0.37做四組仿真實驗，結果如圖6所示。隨著λ的增大可以看出系統(tǒng)的響應速度加快，但超調也越來越大。當λ=0.37時，雖然沒有超調，但始終沒能到達穩(wěn)態(tài)；當λ=0.8時，超調過大?？蓮膱D中看出當λ=0.45時，系統(tǒng)綜合表現(xiàn)較好，超調較小，在10秒時系統(tǒng)已經(jīng)接近穩(wěn)定。故可以認為在線徑控制系統(tǒng)中λ對超調量的影響較大，且在λ=0.45附近可以很好的控制系統(tǒng)的超調，穩(wěn)態(tài)誤差較小，過渡時間短。

圖6 不同微分階次下的階躍響應

2）線徑系統(tǒng)中不同微分階次對控制效果的影響

在仿真中：固定λ=0.45，分別選取μ=0.9、μ=0.65、μ=0.45、μ=0.37做四組仿真實驗，結果如圖7所示。隨著μ的增大可以看出系統(tǒng)的震蕩越來越小，但過渡時間略略有所加長。

當μ=0.37時，系統(tǒng)震蕩特別劇烈，超調也比較大；當μ=0.65時，超調減小，曲線也相對平穩(wěn)，但仍然存在些細小的震蕩；直至μ=0.9，系統(tǒng)不再出現(xiàn)震蕩，超調較小，在9秒時系統(tǒng)已經(jīng)接近穩(wěn)定。故可以認為在線徑控制系統(tǒng)中μ對穩(wěn)態(tài)誤差的影響較大，且在μ=0.9附近可以很好的控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖7 不同積分階次下的階躍響應

通過對λ和μ的研究，發(fā)現(xiàn)λ對超調量的影響較大，選擇合適的λ可以有效減小系統(tǒng)的超調；而μ對穩(wěn)態(tài)誤差的影響較大，其主要作用是減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。在分數(shù)階的系統(tǒng)中存在一個范圍使系統(tǒng)的穩(wěn)定性較好，所以找出線徑控制系統(tǒng)中分數(shù)階的穩(wěn)定域是十分必要的。同時發(fā)現(xiàn)只有當λ和μ兩個參數(shù)匹配時，能能取得較優(yōu)的控制結果。

3.1.3 λ、μ模糊規(guī)則的建立

根據(jù)上文中的結論，再結合實際操作經(jīng)驗，得到針對λ和μ兩個參數(shù)調整的模糊規(guī)則如表4所示。λ和μ的論域如下：λ={0，1.7}和μ={0，1.3}，采用的隸屬度函數(shù)如圖8所示。

圖8 隸屬函數(shù)圖

3.2 Smith預估器的設計

Smith[16～18]預估器通過對控制對象動態(tài)特性的估計，在傳統(tǒng)負反饋結構的基礎上引入補償環(huán)節(jié)，使延遲了的被調量提前反映到調節(jié)器使之動作，從而消除滯后環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的影響，降低了滯后環(huán)節(jié)對整個控制系統(tǒng)造成的影響，提高了系統(tǒng)的響應速度和穩(wěn)定性。其控制結構如圖9所示。

圖9 Smith預估器原理圖

4 系統(tǒng)仿真及結果分析

根據(jù)帶滯后補償?shù)腇OFPID控制器的控制原理在MATLAB的SIMULINK中建立仿真模型，如圖10所示。微分時間和積分時間的分數(shù)階運算均采用MATLAB Function來建立。在SIMULINK中進行仿真時，線徑設定值為某通訊線纜生產設定值3.58mm，與相同參數(shù)的模糊PID控制器及文獻[2]中的動態(tài)矩陣控制器進行對比。

4.1 階躍響應和抗干擾分析

在仿真時，為比較不同控制方法的抗干擾能力，30s處加入了一個階躍值為-1.5的階躍擾動信號，實驗結果如圖11所示。

由圖11的實驗結果可見，在對具有時變性、非線性、大滯后性質的線徑控制系統(tǒng)進行控制時，前30秒系統(tǒng)未受到外界擾動，采用模糊PID控制器，系統(tǒng)超調量%約為25.7%，調節(jié)時間ts約為17s，線徑波動較大，調節(jié)時間較長；采用動態(tài)矩陣控制器，系統(tǒng)超調量σ%約為6.1%，調節(jié)時間ts約為12s，與模糊PID控制相比線徑波動更?。徊捎脦笱a償?shù)腇OFPID控制器，雖然響應速度較慢，但系統(tǒng)幾乎無超調，調節(jié)時間約為8s，線徑波動較小，調節(jié)時間較短。當系統(tǒng)受到外界擾動時，帶滯后補償?shù)腇OFPID控制器的曲線響應速度較快，波動較小，而模糊PID控制和動態(tài)矩陣的曲線響應速度較慢，波動較大。

表4 γ、μ模糊控制規(guī)則表

圖10 SIMULINK仿真圖

圖11 加擾動信號的仿真曲線

4.2 系統(tǒng)魯棒性分析

將系統(tǒng)純滯后時間常數(shù)增大50%、將線徑設定值改變?yōu)?mm，觀察系統(tǒng)的階躍和擾動響應曲線變化情況，對滯后時間變化的魯棒性進行分析，實驗結果如圖12所示。

圖12 增大滯后時間的仿真曲線

由圖12曲線可知，當系統(tǒng)滯后時間增大后，模糊PID控制的超調量沒寫增加，且產生了震蕩。動態(tài)矩陣控制的超調量雖然有所增加，但調節(jié)時間變化不大，整個過渡過程相對比較緩和，且系統(tǒng)仍然是穩(wěn)定的，說明動態(tài)矩陣具有比較強的魯棒性。而帶滯后補償?shù)腇OFPID控制器受滯后時間變化影響最小，仍能保證良好的控制效果。

4.3 ITAE判據(jù)分析

在本文中采用ITAE判據(jù)[19]對模糊PID控制器、動態(tài)矩陣控制器及帶滯后補償?shù)腇OFPID控制器進行分析與評價。ITAE是時間乘以誤差絕對值積分的性能指標，它是以控制系統(tǒng)瞬時誤差函數(shù)e(t)為泛函的積分評價，ITAE指標的值越小，代表著該控制系統(tǒng)越穩(wěn)定，其定義如式(5)所示。

式中：T為仿真時間，|e(t)|為響應過程中的誤差絕對值。

三種控制算法的ITAE指標值如表5所示。從表中可得出在增加擾動和加大滯后時間的情況下，帶滯后補償?shù)腇OFPID控制器較優(yōu)于模糊PID控制器及動態(tài)矩陣控制器。

表5 三種方案下ITAE性能指標對比

5 結束語

針對PTFE推擠機線徑控制系統(tǒng)的時變性，非線性，大滯后等特點，本文提出了帶滯后補償?shù)倪m用于推擠機線徑控制系統(tǒng)的FOFPID控制算法，并在MATLAB的SIMULINK中對三種控制算法的階躍響應進行分析比較。結果表明，帶滯后補償?shù)腇OFPID控制器的控制效果優(yōu)于其他兩種算法。系統(tǒng)能夠實現(xiàn)線纜線徑在目標線徑附近小范圍波動，有較好的快速響應能力及抗干擾能力，滿足線纜實際生產需求，有一定的推廣價值。