模糊分?jǐn)?shù)階PID在線徑控制系統(tǒng)中的應(yīng)用

周克良，胡梁眉，洪智慧

（江西理工大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，贛州 341000）

0 引言

在電線電纜的生產(chǎn)過程中，絕緣擠出是最主要的工序之一，而推擠機(jī)則是完成這一過程的主要設(shè)備，其原理是將絕緣材料PTFE擠出到金屬絲上完成絕緣擠出工序。在絕緣擠出過程中，主要技術(shù)要求有偏心度、光滑度和致密度，其中偏心度是最能體現(xiàn)擠出工藝水平的重要指標(biāo)，它代表了擠出的絕緣厚度的偏差值，決定了線徑（電纜外徑），故以線徑作為衡量控制器的重要指標(biāo)。線徑控制系統(tǒng)具有時(shí)變性、非線性、大滯后等特點(diǎn)。目前，傳統(tǒng)的PID控制策略以其結(jié)構(gòu)簡單、控制效果及穩(wěn)定性好、易于操作等優(yōu)點(diǎn)在線徑控制系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛，但由于PID參數(shù)始終不變，在具有滯后特性的線徑控制系統(tǒng)中很難達(dá)到最理想的效果。針對線徑控制滯后大這一控制問題，最早是在2006年有學(xué)者[1]提出了一種帶有滯后補(bǔ)償?shù)膬?yōu)化模糊PID算法，加快了響應(yīng)速度，減輕了系統(tǒng)振蕩，但抗干擾能力有待提高。之后在2009年[2]提出了動(dòng)態(tài)矩陣控制算法，該算法對未來時(shí)刻過程的響應(yīng)趨勢進(jìn)行預(yù)測，使得系統(tǒng)輸出能盡可能好地跟蹤期望值，但調(diào)節(jié)時(shí)間較長。最新的研究成果是在2017年，學(xué)者Hui Li[3]等人設(shè)計(jì)了基于蟻群優(yōu)化算法（ACO）的ACO-KF-PID算法，并引入卡爾曼濾波算法，以抑制控制擾動(dòng)和測量噪聲對線徑控制系統(tǒng)的影響，實(shí)現(xiàn)了電線絕緣護(hù)套擠出成型的智能化控制。

模糊PID控制是將模糊控制與PID控制相結(jié)合的一種復(fù)合控制方式，雖然該方式彌補(bǔ)了PID控制容易使閉環(huán)遲鈍，易產(chǎn)生振蕩的缺點(diǎn)，但超調(diào)較大。再結(jié)合分?jǐn)?shù)階微積分理論，在模糊PID控制器的基礎(chǔ)上，對其微分階次及積分階次進(jìn)行從整數(shù)階到非整數(shù)階的拓展，構(gòu)成模糊分?jǐn)?shù)階PID控制器（FOFPID），以誤差和誤差變化率作為輸入信號(hào)，利用模糊控制規(guī)則對KP、KI、KD、λ和μ五個(gè)參數(shù)進(jìn)行在線調(diào)節(jié)。與模糊PID控制器相比，該控制器增加了調(diào)節(jié)參數(shù)的個(gè)數(shù)，使得控制器的控制范圍更大、更靈活。并利用Smith預(yù)估器對純滯后對象的有效補(bǔ)償，在實(shí)踐中獲得了滿意的控制效果。

近年來，學(xué)者們對模糊分?jǐn)?shù)階PID控制器的應(yīng)用研究[4～9]驗(yàn)證了模糊分?jǐn)?shù)階PID控制器具有較好的動(dòng)態(tài)性能和抗干擾能力。故在本文中，針對推擠機(jī)系統(tǒng)的線徑控制問題，設(shè)計(jì)出帶滯后補(bǔ)償?shù)腇OFPID控制器，對推擠機(jī)的推擠速度進(jìn)行控制，提高電纜外徑控制精度，滿足實(shí)際生產(chǎn)需求。同時(shí)結(jié)合ITAE指標(biāo)，利用SIMULINK仿真對模糊PID控制器、動(dòng)態(tài)矩陣控制算法及帶滯后補(bǔ)償?shù)腇OFPID控制器的控制效果進(jìn)行比較。

圖1 線纜生產(chǎn)工藝流程圖

1 線徑控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

在電纜生產(chǎn)的絕緣擠出工程中，放線架在牽引電機(jī)的作用下勻速放線，在內(nèi)導(dǎo)線經(jīng)過機(jī)頭時(shí)，采用螺紋裝置為活塞提供推力，將PTFE（聚四氟乙烯）材料擠出，使之在金屬線芯的表面形成一層厚度均勻的絕緣外皮，由機(jī)頭與牽引電機(jī)之間的測徑儀對吸附絕緣外皮后的金屬線芯的直徑進(jìn)行測量[10]。之后的燒結(jié)爐會(huì)將分散的聚四氟乙烯顆粒通過燒結(jié)作用凝聚成一個(gè)沒有縫隙的整體[11]。最后，成形的電纜將受到工頻火花機(jī)的檢驗(yàn)，一旦線纜存在縱向開裂問題，將會(huì)被火花機(jī)擊穿，能夠及時(shí)將不合格的線纜剔除。線纜生產(chǎn)工藝流程如圖1所示。

線纜的線徑主要取決于推擠機(jī)的推擠速度和牽引速度，故若要使線徑保持穩(wěn)定，可從推擠速度和牽引速度這兩方面來分析。在對線徑控制系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，保持推擠機(jī)的牽引速度不變，通過對推擠機(jī)的推擠速度進(jìn)行有效控制，實(shí)現(xiàn)對電線電纜生產(chǎn)工藝的優(yōu)化。推擠速度越大，線徑則越大；推擠速度越小，線徑則越小。

線徑控制系統(tǒng)采用西門子PLC S7-1200作為控制器，電纜外徑通過外徑測徑儀傳遞給PLC，由于機(jī)頭與外徑測徑儀之間有一定的距離，這使得此系統(tǒng)對輸入的響應(yīng)具有滯后性，可用一階慣性加純滯后環(huán)節(jié)等效，螺桿調(diào)速系統(tǒng)為直流閉環(huán)調(diào)速，模型可等效為二階慣性環(huán)節(jié)。其模型[1]可表示為：

其中G0(s)為系統(tǒng)無滯后下的傳遞函數(shù)，K為放大倍數(shù)，T1、T2分別為大、小慣性時(shí)間常數(shù)，τ為滯后時(shí)間常數(shù)。根據(jù)相關(guān)研究成果[1～3]并結(jié)合現(xiàn)場推擠機(jī)設(shè)備WE-LIN040LS-2.0以及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可得到適合線徑控制系統(tǒng)模擬的傳遞函數(shù)為：

PLC將實(shí)時(shí)根據(jù)測得的線徑與目標(biāo)線徑的偏差及偏差的變化率，對推擠直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)器的輸入電壓進(jìn)行控制，實(shí)現(xiàn)對推擠速度的調(diào)節(jié)，使得生產(chǎn)的線纜線徑緊緊能夠跟隨目標(biāo)線徑。線徑控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。圖中rin為目標(biāo)線徑，y(t)為實(shí)際線徑。

圖2 線徑控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

2 基于FOFPID 的線徑控制方案設(shè)計(jì)

2.1 分?jǐn)?shù)階PID控制器的結(jié)構(gòu)

PIλDμ控制器是一種新型的控制器，它與傳統(tǒng)PID控制器相比，分別對積分系數(shù)和微分系數(shù)增加了階次調(diào)節(jié)參數(shù)λ和μ，因而它具有更大的調(diào)節(jié)范圍[12,13]，PIλDμ控制器可表示為：

分?jǐn)?shù)階PID控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖如圖3所示。

圖3 分?jǐn)?shù)階PID控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

2.2 基于FOFPID控制器的線徑控制方案

推擠機(jī)系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的不穩(wěn)定系統(tǒng)，兩根胚料接頭處存在間隙或者胚料存在斷裂等情況都將使得系統(tǒng)不穩(wěn)定，線徑波動(dòng)較大，這些情況可以看成是某個(gè)擾動(dòng)信號(hào)。針對推擠機(jī)系統(tǒng)的這些特點(diǎn)，結(jié)合Smith預(yù)估器的性質(zhì)，設(shè)計(jì)出帶滯后補(bǔ)償?shù)腇OFPID控制器的線徑控制系統(tǒng)框圖，如圖4所示。

圖4 帶滯后補(bǔ)償?shù)腇OFPID控制器的線徑控制系統(tǒng)框圖

帶滯后補(bǔ)償?shù)腇OFPID控制器設(shè)計(jì)大致可分兩步：FOFPID控制器設(shè)計(jì)和Smith預(yù)估器設(shè)計(jì)。其中FOFPID控制器的設(shè)計(jì)又由兩部分組成，以線徑的誤差e和誤差變化率ec作為控制器輸入，經(jīng)模糊推理后的解模糊分別輸出分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)的增量△KP、△KI、△KD、及微分階次λ和微分階次μ。其中，前者的模糊規(guī)則可根據(jù)工程設(shè)計(jì)人員的技術(shù)知識(shí)和實(shí)際操作經(jīng)驗(yàn)建立，后者的模糊規(guī)則通過比較不同的λ和μ在線徑控制系統(tǒng)中對控制效果的影響來建立。

3 帶滯后補(bǔ)償?shù)腇OFPID 控制器的設(shè)計(jì)

3.1 FOFPID控制器的設(shè)計(jì)

在上述FOFPID控制器中，輸入e和ec，輸出△KP、△KI、△KD、λ和μ的模糊集均為{BN，MN，SN，OZ，SP，MP，BP}, 分別表示“負(fù)大值”、“負(fù)中值”、“負(fù)小值”、“零值”、“正小值”、“正中值”、“正大值”。

3.1.1 基于KP'、KI'、KD'的模糊規(guī)則

由于線徑控制系統(tǒng)需要系統(tǒng)在響應(yīng)初期具有較好的快速跟蹤性能，且響應(yīng)過程中不出現(xiàn)過大的超調(diào) ,且應(yīng)避免系統(tǒng)在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)調(diào)節(jié)階段后在設(shè)定值附近出現(xiàn)震蕩。根據(jù)這些要求，先選取KP、KI、KD的初值，并將其送入FOFPID控制器中，對△KP、△KI、△KD進(jìn)行參數(shù)整定，得到實(shí)時(shí)的自適應(yīng)的PID控制參數(shù)KP'、KI'、KD'。

比例系數(shù)KP'的作用是加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，提升系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度。KP'越大，系統(tǒng)的響應(yīng)越迅速，調(diào)節(jié)精度越高，但易產(chǎn)生超調(diào)，影響系統(tǒng)穩(wěn)定性；積分系數(shù)KI'的作用是減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。KI'越大，越易消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，但KI'過大，在響應(yīng)過程的初期會(huì)產(chǎn)生積分飽和現(xiàn)象；微分系數(shù)KD'的作用是改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。但KD'過大，會(huì)延長調(diào)節(jié)時(shí)間，降低系統(tǒng)的抗干擾能力。根據(jù)KP'、KI'、KD'的性質(zhì)，再結(jié)合工程設(shè)計(jì)人員的技術(shù)知識(shí)和實(shí)際操作經(jīng)驗(yàn)，建立合適的模糊規(guī)則，針對△KP、△KI、△KD的模糊規(guī)則分別如表1、表2、表3所示。其中，△KP、△KI、△KD的論域如下：△KP={-0.25，0.25}、△KI={-0.06，0.06}、△KD={-3，3}，e、ec和△KD采用相同的隸屬度函數(shù)相同，各參數(shù)的隸屬函數(shù)[14,15]如圖5所示。

在本文中，選取KP、KI、KD的初值為KP=1、KI=1、KD=1。

表1 △KP模糊控制規(guī)則表

表2 △KI模糊控制規(guī)則表

表3 △KD模糊控制規(guī)則表

圖5 隸屬函數(shù)圖

3.1.2 λ、μ在線徑系統(tǒng)對線徑控制效果的影響

在MATLAB仿真中，分別對λ、μ取不同的值進(jìn)行分析，觀察其對階躍響應(yīng)的影響。

1）線徑系統(tǒng)中不同積分階次對控制效果的影響

在仿真中：固定μ=0.8，分別選取λ=0.8、λ=0.67、λ=0.45、λ=0.37做四組仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖6所示。隨著λ的增大可以看出系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快，但超調(diào)也越來越大。當(dāng)λ=0.37時(shí)，雖然沒有超調(diào)，但始終沒能到達(dá)穩(wěn)態(tài)；當(dāng)λ=0.8時(shí)，超調(diào)過大。可從圖中看出當(dāng)λ=0.45時(shí)，系統(tǒng)綜合表現(xiàn)較好，超調(diào)較小，在10秒時(shí)系統(tǒng)已經(jīng)接近穩(wěn)定。故可以認(rèn)為在線徑控制系統(tǒng)中λ對超調(diào)量的影響較大，且在λ=0.45附近可以很好的控制系統(tǒng)的超調(diào)，穩(wěn)態(tài)誤差較小，過渡時(shí)間短。

圖6 不同微分階次下的階躍響應(yīng)

2）線徑系統(tǒng)中不同微分階次對控制效果的影響

在仿真中：固定λ=0.45，分別選取μ=0.9、μ=0.65、μ=0.45、μ=0.37做四組仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖7所示。隨著μ的增大可以看出系統(tǒng)的震蕩越來越小，但過渡時(shí)間略略有所加長。

當(dāng)μ=0.37時(shí)，系統(tǒng)震蕩特別劇烈，超調(diào)也比較大；當(dāng)μ=0.65時(shí)，超調(diào)減小，曲線也相對平穩(wěn)，但仍然存在些細(xì)小的震蕩；直至μ=0.9，系統(tǒng)不再出現(xiàn)震蕩，超調(diào)較小，在9秒時(shí)系統(tǒng)已經(jīng)接近穩(wěn)定。故可以認(rèn)為在線徑控制系統(tǒng)中μ對穩(wěn)態(tài)誤差的影響較大，且在μ=0.9附近可以很好的控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖7 不同積分階次下的階躍響應(yīng)

通過對λ和μ的研究，發(fā)現(xiàn)λ對超調(diào)量的影響較大，選擇合適的λ可以有效減小系統(tǒng)的超調(diào)；而μ對穩(wěn)態(tài)誤差的影響較大，其主要作用是減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。在分?jǐn)?shù)階的系統(tǒng)中存在一個(gè)范圍使系統(tǒng)的穩(wěn)定性較好，所以找出線徑控制系統(tǒng)中分?jǐn)?shù)階的穩(wěn)定域是十分必要的。同時(shí)發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)λ和μ兩個(gè)參數(shù)匹配時(shí)，能能取得較優(yōu)的控制結(jié)果。

3.1.3 λ、μ模糊規(guī)則的建立

根據(jù)上文中的結(jié)論，再結(jié)合實(shí)際操作經(jīng)驗(yàn)，得到針對λ和μ兩個(gè)參數(shù)調(diào)整的模糊規(guī)則如表4所示。λ和μ的論域如下：λ={0，1.7}和μ={0，1.3}，采用的隸屬度函數(shù)如圖8所示。

圖8 隸屬函數(shù)圖

3.2 Smith預(yù)估器的設(shè)計(jì)

Smith[16～18]預(yù)估器通過對控制對象動(dòng)態(tài)特性的估計(jì)，在傳統(tǒng)負(fù)反饋結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上引入補(bǔ)償環(huán)節(jié)，使延遲了的被調(diào)量提前反映到調(diào)節(jié)器使之動(dòng)作，從而消除滯后環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的影響，降低了滯后環(huán)節(jié)對整個(gè)控制系統(tǒng)造成的影響，提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度和穩(wěn)定性。其控制結(jié)構(gòu)如圖9所示。

圖9 Smith預(yù)估器原理圖

4 系統(tǒng)仿真及結(jié)果分析

根據(jù)帶滯后補(bǔ)償?shù)腇OFPID控制器的控制原理在MATLAB的SIMULINK中建立仿真模型，如圖10所示。微分時(shí)間和積分時(shí)間的分?jǐn)?shù)階運(yùn)算均采用MATLAB Function來建立。在SIMULINK中進(jìn)行仿真時(shí)，線徑設(shè)定值為某通訊線纜生產(chǎn)設(shè)定值3.58mm，與相同參數(shù)的模糊PID控制器及文獻(xiàn)[2]中的動(dòng)態(tài)矩陣控制器進(jìn)行對比。

4.1 階躍響應(yīng)和抗干擾分析

在仿真時(shí)，為比較不同控制方法的抗干擾能力，30s處加入了一個(gè)階躍值為-1.5的階躍擾動(dòng)信號(hào)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖11所示。

由圖11的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可見，在對具有時(shí)變性、非線性、大滯后性質(zhì)的線徑控制系統(tǒng)進(jìn)行控制時(shí)，前30秒系統(tǒng)未受到外界擾動(dòng)，采用模糊PID控制器，系統(tǒng)超調(diào)量%約為25.7%，調(diào)節(jié)時(shí)間ts約為17s，線徑波動(dòng)較大，調(diào)節(jié)時(shí)間較長；采用動(dòng)態(tài)矩陣控制器，系統(tǒng)超調(diào)量σ%約為6.1%，調(diào)節(jié)時(shí)間ts約為12s，與模糊PID控制相比線徑波動(dòng)更??；采用帶滯后補(bǔ)償?shù)腇OFPID控制器，雖然響應(yīng)速度較慢，但系統(tǒng)幾乎無超調(diào)，調(diào)節(jié)時(shí)間約為8s，線徑波動(dòng)較小，調(diào)節(jié)時(shí)間較短。當(dāng)系統(tǒng)受到外界擾動(dòng)時(shí)，帶滯后補(bǔ)償?shù)腇OFPID控制器的曲線響應(yīng)速度較快，波動(dòng)較小，而模糊PID控制和動(dòng)態(tài)矩陣的曲線響應(yīng)速度較慢，波動(dòng)較大。

表4 γ、μ模糊控制規(guī)則表

圖10 SIMULINK仿真圖

圖11 加擾動(dòng)信號(hào)的仿真曲線

4.2 系統(tǒng)魯棒性分析

將系統(tǒng)純滯后時(shí)間常數(shù)增大50%、將線徑設(shè)定值改變?yōu)?mm，觀察系統(tǒng)的階躍和擾動(dòng)響應(yīng)曲線變化情況，對滯后時(shí)間變化的魯棒性進(jìn)行分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖12所示。

圖12 增大滯后時(shí)間的仿真曲線

由圖12曲線可知，當(dāng)系統(tǒng)滯后時(shí)間增大后，模糊PID控制的超調(diào)量沒寫增加，且產(chǎn)生了震蕩。動(dòng)態(tài)矩陣控制的超調(diào)量雖然有所增加，但調(diào)節(jié)時(shí)間變化不大，整個(gè)過渡過程相對比較緩和，且系統(tǒng)仍然是穩(wěn)定的，說明動(dòng)態(tài)矩陣具有比較強(qiáng)的魯棒性。而帶滯后補(bǔ)償?shù)腇OFPID控制器受滯后時(shí)間變化影響最小，仍能保證良好的控制效果。

4.3 ITAE判據(jù)分析

在本文中采用ITAE判據(jù)[19]對模糊PID控制器、動(dòng)態(tài)矩陣控制器及帶滯后補(bǔ)償?shù)腇OFPID控制器進(jìn)行分析與評價(jià)。ITAE是時(shí)間乘以誤差絕對值積分的性能指標(biāo)，它是以控制系統(tǒng)瞬時(shí)誤差函數(shù)e(t)為泛函的積分評價(jià)，ITAE指標(biāo)的值越小，代表著該控制系統(tǒng)越穩(wěn)定，其定義如式(5)所示。

式中：T為仿真時(shí)間，|e(t)|為響應(yīng)過程中的誤差絕對值。

三種控制算法的ITAE指標(biāo)值如表5所示。從表中可得出在增加擾動(dòng)和加大滯后時(shí)間的情況下，帶滯后補(bǔ)償?shù)腇OFPID控制器較優(yōu)于模糊PID控制器及動(dòng)態(tài)矩陣控制器。

表5 三種方案下ITAE性能指標(biāo)對比

5 結(jié)束語

針對PTFE推擠機(jī)線徑控制系統(tǒng)的時(shí)變性，非線性，大滯后等特點(diǎn)，本文提出了帶滯后補(bǔ)償?shù)倪m用于推擠機(jī)線徑控制系統(tǒng)的FOFPID控制算法，并在MATLAB的SIMULINK中對三種控制算法的階躍響應(yīng)進(jìn)行分析比較。結(jié)果表明，帶滯后補(bǔ)償?shù)腇OFPID控制器的控制效果優(yōu)于其他兩種算法。系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)線纜線徑在目標(biāo)線徑附近小范圍波動(dòng)，有較好的快速響應(yīng)能力及抗干擾能力，滿足線纜實(shí)際生產(chǎn)需求，有一定的推廣價(jià)值。