變中抓不變 助推初中數(shù)學(xué)課堂深入本質(zhì)

陳立順

我們知道，雖然初中生的抽象思維已占主導(dǎo)地位，但其仍然是屬于經(jīng)驗(yàn)型的，因此初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)堅(jiān)持具體與抽象相結(jié)合的原則，教師要善于創(chuàng)設(shè)合理的情境，以激發(fā)學(xué)生的興趣，并幫助學(xué)生合理生成和理解知識(shí)。然而，我們也看到，由于過度地依賴情境和活動(dòng)，數(shù)學(xué)課堂中“去數(shù)學(xué)化”的現(xiàn)象卻很嚴(yán)重.那么如何根據(jù)情境，促使學(xué)生更合理地進(jìn)行歸納猜想、推理論證，從而不斷將數(shù)學(xué)課堂推向深入，以更順利地解決問題呢？其中“變中抓不變”就是一種很有效的策略和方法。下面筆者就結(jié)合平時(shí)的教學(xué)談一些想法和做法。

一、變中抓不變?讓概念抽象因凸顯本質(zhì)而易于生成

抽象是人類從現(xiàn)實(shí)進(jìn)入到數(shù)學(xué)的內(nèi)心活動(dòng)，它是從許多事物中舍棄個(gè)別的、非本質(zhì)屬性，得到共同的、本質(zhì)屬性的思維過程。這個(gè)過程既要關(guān)注研究對(duì)象的共性，又要關(guān)注研究對(duì)象與其它事物之間的差異，這個(gè)過程也可以理解為是一個(gè)變中抓不變的過程。變化的是研究對(duì)象及其之間的差異，不變的是研究對(duì)象之間的共性。在這個(gè)過程中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)地觀察，合理地歸納和猜想。

愛因斯坦曾說(shuō)：“理論決定著你能觀察到什么”。在概念教學(xué)時(shí)，如果學(xué)生心中擁有“變中抓不變”的思想，那么當(dāng)教師將一些典型素材呈現(xiàn)給學(xué)生時(shí)，學(xué)生就能有意識(shí)地去觀察分析這些對(duì)象的共性和差異，從而觸摸到概念的本質(zhì)，為概念的生成和理解奠定基礎(chǔ)。例如，函數(shù)概念是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，若能用變中抓不變的思想來(lái)生成，可較容易地突破。教師先向?qū)W生呈現(xiàn)一個(gè)我國(guó)人口從1949至2011年變化的統(tǒng)計(jì)表，同時(shí)呈現(xiàn)一個(gè)人口理論計(jì)算公式和變化折線圖，讓學(xué)生分析我國(guó)人口變化趨勢(shì)，并讓學(xué)生預(yù)測(cè)10年、20年后我國(guó)將有的人口情況，以供國(guó)家領(lǐng)導(dǎo)決策，接著教師提出一個(gè)觸及函數(shù)本質(zhì)屬性的問題：當(dāng)兩個(gè)變量具有什么樣的關(guān)系時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)由一個(gè)變量來(lái)唯一確定另一個(gè)變量的目的。在說(shuō)明上面三個(gè)例子中兩個(gè)變量均能夠?qū)崿F(xiàn)上述目的后，再列舉一些生活中分別用圖象、表格及等式表示兩個(gè)變量對(duì)應(yīng)關(guān)系的例子（正反例都有），讓學(xué)生分析其共性和差異，從而合理抽象出函數(shù)的概念。這樣教學(xué)，就能使函數(shù)概念的本質(zhì)得到用變中抓不變思想來(lái)揭示概念，變化的是對(duì)象和它們的差異，不變的是不同對(duì)象的共性，也即概念的本質(zhì)特征，教師要善于創(chuàng)設(shè)便于學(xué)生進(jìn)行概念本質(zhì)抽象的情境。

二、變中抓不變?讓命題教學(xué)因緊扣本質(zhì)而深入開展

命題是數(shù)學(xué)最基本的表達(dá)方式之一。中學(xué)數(shù)學(xué)命題教學(xué)的基本要求是：使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)命題的意義，明確其推導(dǎo)過程和適用范圍，具備靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)命題解決問題能力。命題的教學(xué)過程主要靠推理完成。在這個(gè)過程中，若能運(yùn)用變中抓不變的思想，就能使命題教學(xué)緊扣本質(zhì)而深入開展。我們知道，教材上展現(xiàn)在學(xué)生面前的定理、公式等都是經(jīng)過千錘百煉完美無(wú)缺的，它略去了曲折復(fù)雜的發(fā)現(xiàn)過程。教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)根據(jù)這些定理、公式的本質(zhì)特征，去構(gòu)建“再發(fā)現(xiàn)”、“再創(chuàng)造”的情景，以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新、歸納、猜想和推理的能力?？扇绾螛?gòu)建“再發(fā)現(xiàn)”、“再創(chuàng)造”的情景，對(duì)教師是一個(gè)挑戰(zhàn)。此時(shí)，教師若能利用變中抓不變的思想來(lái)設(shè)計(jì)，就可以收到意想不到的效果。例如三角形內(nèi)角和定理的再發(fā)現(xiàn)，教師可創(chuàng)設(shè)這樣的情境，用幾何畫板在屏幕上畫出△ABC，然后固定頂點(diǎn)B和C，拖動(dòng)點(diǎn)A，讓學(xué)生觀察△ABC各內(nèi)角的變化，體驗(yàn)有些角變大就必然有些角要變小的現(xiàn)象，體驗(yàn)三角形的角之間是存在某種神秘關(guān)系的。由于學(xué)生小學(xué)已知道三角形內(nèi)角和等于180度的事實(shí)，所以當(dāng)教師問及三角形三個(gè)內(nèi)角有什么關(guān)系時(shí)，學(xué)生基本會(huì)回答出答案。但教師要去追問，當(dāng)初世界上第一個(gè)發(fā)現(xiàn)此事實(shí)的人如何發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的？當(dāng)學(xué)生困惑時(shí)，教師接著啟發(fā)：我們知道，世界上第一個(gè)發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理的人（泰勒斯）是通過拼圖發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，今天我們要通過另一條途徑來(lái)發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律：現(xiàn)在我們讓點(diǎn)A沿著一條與BC平行的直線上運(yùn)動(dòng)，看看三角形的角有什么不變的關(guān)系？這一“變中有不變”的情境創(chuàng)設(shè)，不僅能使學(xué)生

“再發(fā)現(xiàn)”三角形內(nèi)角和定理的事實(shí)。而且還能從中獲得該定理的證法。在教學(xué)中，運(yùn)用變中抓不變思想，不僅有利于發(fā)現(xiàn)一些正確的結(jié)論，還經(jīng)常能辨析出一些錯(cuò)誤的結(jié)論，如數(shù)學(xué)中有些靜態(tài)的圖形中。兩條看似相等的線段其實(shí)是無(wú)法證明相等的，這時(shí)可讓圖形動(dòng)起來(lái)，動(dòng)到一個(gè)比較特殊的位置，再觀察兩條線段的長(zhǎng)短變化，這時(shí)往往結(jié)論就躍然紙上了。

命題的證明是命題教學(xué)的重要方面。教師要讓學(xué)生分清命題的條件和結(jié)論及其之間的因果關(guān)系，這是本質(zhì)。在證明命題時(shí)，教師要善于用變中抓不變的思想理解和應(yīng)用條件，因?yàn)轭}目呈現(xiàn)在學(xué)生面前的除了已知條件外，往往還伴隨有其它必然或偶然的隱含條件，教師要關(guān)于引導(dǎo)學(xué)生去排除一些或然條件的干擾，讓學(xué)生集中精力朝正確方向找到一些必然的隱含條件，從而較快地形成證明思路。如圓周角定理的證明是初中教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)教材中證明過程為什么要分三種情況討論學(xué)生更是不理解。當(dāng)教師創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半”的事實(shí)后，教師可這樣啟發(fā)學(xué)生探索其證明方法，在圓中，一條弧對(duì)著一個(gè)圓心角和無(wú)數(shù)個(gè)圓周角，也就是說(shuō)圓周角的頂點(diǎn)是可以變化的，但不管位置如何變，這個(gè)結(jié)論始終是成立的，那么作為圓上的任意一點(diǎn)，它所隱含的必然結(jié)論有哪些？從這里能不能找到證明的突破口呢？這樣啟發(fā)，學(xué)生自然就想到要連接半徑了，因?yàn)榘霃教幪幭嗟?，于是問題就轉(zhuǎn)化為證明學(xué)生熟悉的等腰三角形中與其頂角相鄰的外角與其底角之間兩倍的關(guān)系的問題了。當(dāng)學(xué)生證出一種情況后，教師要順勢(shì)啟發(fā)，這樣證明有漏洞嗎？接著教師可借助多媒體演示，讓圓周角的頂點(diǎn)繼續(xù)在弧上運(yùn)動(dòng)，讓學(xué)生自主分析第一種情況的證法能否代表其它情況的證明，最后通過學(xué)生自主合作探究完成證明。

定理、法則的應(yīng)用也是命題教學(xué)的必要環(huán)節(jié)。只有通過應(yīng)用，學(xué)生才能深刻理解并掌握定理或法則。心理學(xué)研究證明，若知識(shí)在單一的背景下重復(fù)和應(yīng)用，那么只會(huì)形成僵化的知識(shí)，情境一變，學(xué)生就不會(huì)了。因此，教師在定理、法則教學(xué)后一定要讓其在不同情境中得到應(yīng)用，讓學(xué)生去體驗(yàn)?zāi)亲冎胁蛔兊囊?guī)律。如學(xué)過相似三角形的判定定理后，教師可實(shí)行“一題多變”，將相似三角形的判定與雙曲線、拋物線、特殊四邊形及圓等知識(shí)進(jìn)行組合，通過知識(shí)的不同組合來(lái)加深對(duì)知識(shí)的理解。

三、變中抓不變?讓問題解決因回歸本質(zhì)而精準(zhǔn)突破

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，在數(shù)學(xué)建模的過程中，一些非本質(zhì)的，對(duì)反映客觀事實(shí)影響不大的東西已被去掉，只留下本質(zhì)的東西及其聯(lián)系。因此模型能夠適應(yīng)變化。教師在引導(dǎo)學(xué)生解決問題時(shí)，要讓學(xué)生樹立變中抓不變的思想，要善于引導(dǎo)學(xué)生去弄通情景，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，要善于抓住不變的本質(zhì)特征，去尋找或構(gòu)造模型。當(dāng)找不到數(shù)學(xué)模型解決時(shí)，也要善于用變的觀點(diǎn)換個(gè)角度看問題，如運(yùn)用數(shù)形結(jié)合將代數(shù)領(lǐng)域問題映射到幾何領(lǐng)域中去解決等等。如下例，若能用變中抓不變的思想來(lái)思考，就很容易找到模型加以突破。

已知，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的坐標(biāo)分別為A（-1，0）、B（0，2）、C（3，2）、D（2，0），點(diǎn)P是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A關(guān)于BP的對(duì)稱點(diǎn)為A'，試求A'C的最小值。

分析 這個(gè)問題一些學(xué)生可能會(huì)想到用三角形兩邊之差小于第三邊的模型來(lái)思考。但若能用變中抓不變的思想來(lái)分析，則更易理解和突破。由BA′=BA=5

可知，當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，點(diǎn)A′也在運(yùn)動(dòng)，但不變的是點(diǎn)A′是在以B為圓心，以5為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)的，這樣就很容易想到當(dāng)A′點(diǎn)落在邊BC與⊙B的交點(diǎn)時(shí)A′C最小，往從而可求得A′C最小值為3-5。

總之，變中抓不變是一個(gè)帶有哲學(xué)意義的思想方法，它應(yīng)該貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，因?yàn)槔盟梢允雇高^現(xiàn)象看到本質(zhì)，讓錯(cuò)綜復(fù)雜的問題得以破解，從而也讓我們的課堂教學(xué)更加“數(shù)學(xué)化”，更加地深入本質(zhì)，最終讓我們學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)得到根本的提升。

【參考文獻(xiàn)】

[1]史寧中.數(shù)學(xué)基本思想18講[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.10：13-14，116-117.

[2]孫維剛.談全班55%學(xué)生怎樣考上清華北大[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1999.09：143-145.

（作者單位：江山市城南中學(xué)）