一種輸入有界的四輪全向機器人軌跡跟蹤控制方法

王建彬，陳建平

（肇慶學院計算機科學與軟件學院，肇慶526061）

0 引言

全向移動機器人運動靈活，憑借著不改變位姿就可以向任意方向移動的獨特運動優(yōu)勢，已經(jīng)被廣泛應用于人類的生產(chǎn)、生活實踐中，與之相關的控制問題越來越受到人們的重視，軌跡跟蹤就是其中的一個重要研究內(nèi)容[1-2]。

目前關于全向機器人軌跡跟蹤控制方法研究主要集中在基于運動學模型和動力學模型兩方面[3]。文獻[4]中針對一種四輪正交的全向機器人的軌跡跟蹤問題，基于動力學模型采用狀況反饋方法設計了機器人的非線性控制器。全向機器人輪系復雜，在運動過程中極易受到各輪間摩擦不一致、被動輪不可控、堵轉(zhuǎn)等各種問題的干擾，為此考慮到四輪全向機器人系統(tǒng)的模型不確定性及干擾問題，文獻[5]設計了一種滑模軌跡跟蹤控制器，盡管滑?？刂品椒梢暂^好的處理模型不確定性及外部干擾，但是卻存在抖振問題。文獻[6]針對三輪全向移動機器人的模型不確定性，提出一種模糊PI 軌跡跟蹤控制器，利用模糊方法識別跟蹤位置和角度。相對于具有兩個輪子或者三個輪子的非完整移動機器人，四輪全向移動機器人擁有更加復雜的動力學模型，在實際應用中很難獲得精確的動力學模型參數(shù)，而且模型結構自身也具有很大的不確定性，同時由于外界干擾等因素的影響，均大大增加了動力學控制器的設計難度。為此在滿足一定控制精度或功能的前提下，一部分軌跡跟蹤問題的研究是基于運動學模型的。文獻[7]針對一種全向移動機器人基于牛頓機械學建立了它的動力學模型，并依據(jù)該學模型設計了全局穩(wěn)定的軌跡跟蹤控制器。文獻[8]基于反步方法設計了三輪全向移動機器人的非線性控制器，同時采用平方和（Sum of squares）技術對控制參數(shù)進行優(yōu)化，提高了控制性能。文獻[9]在研究全方位輪式康復訓練機器人的軌跡跟蹤問題時，將跟蹤控制與干擾抑制歸結為L2 設計問題，構造了滿足干擾抑制的跟蹤控制器。盡管運動學模型相對簡單，但當跟蹤過程中存在初始偏差或者期望軌跡不連續(xù)時，傳統(tǒng)的控制法會產(chǎn)生速度突變問題，即要求機器人在瞬間具有較大甚至是趨于無窮的加速度或驅(qū)動力矩，這在實際系統(tǒng)中是不可能實現(xiàn)的。

因此，針對四輪全向移動機器人軌跡跟蹤控制中的速度突變問題，提出一種基于有界函數(shù)的軌跡跟蹤控制方法。首先建立機器人系統(tǒng)的運動學位姿誤差模型，接著設計一個合理的有界函數(shù)，最后將該函數(shù)引入到軌跡跟蹤控制器中以平滑控制信號，從而保證整個控制過程中控制量不超限。

1 問題描述

如圖1 所示的四輪全向移動機器人示意圖中，機器人的四個全向輪不是正交排布，而是前兩輪夾角120°，后兩輪為90°。其中XOY 為機器人的世界坐標系，xoy 為機器人的本體坐標系,θ為機器人的運動方向，Wi表示機器人的四個輪子，Vi為各輪轉(zhuǎn)速，逆時針方向為正，l 為車體中心到輪子中心的距離，δi為各輪與X 軸的夾角。

圖1 機器人的運動示意圖

設任一時刻,機器人質(zhì)心在世界坐標系和本體坐標中的位姿分別為[X,Y,Ψ]T和[x,y,φ]T，取機器人在本體坐標系速度向量為[u,v,ω]T=[x˙,y˙,φ˙]T，則可得機器人的運動學方程為：

進一步設[Xd,Yd,Ψd]T和[xd,yd,φd]T為兩個坐標系中機器人的期望位姿，則有兩個坐標系中的機器人位姿誤差為：

由圖1 以及式（1），考慮到位姿誤差有如下關系式成立：

由式（4）,當機器人本體跟蹤誤差趨于零時，世界坐標系中機器人的跟蹤誤差也趨于零。因此機器人的軌跡跟蹤問題轉(zhuǎn)化為：

設計合理的控制律，使系統(tǒng)在該控制律作用下對任意初始誤差均可使跟蹤誤差有界且

2 輸入有界的軌跡跟蹤控制器設計

2.1 傳統(tǒng)軌跡跟蹤控制器設計

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，考慮控制系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為，則對其兩端求導，并結合式（1）、式（4）得：

從而得到圖1 所示的四輪全向機器人的軌跡跟蹤控制律為：

其中k1、k2、k3為正常數(shù)。

2.2 有界函數(shù)設計

考慮如下函數(shù)：

其中A、B 為非負常數(shù)，e(t)為本體坐標系下機器人的跟蹤誤差，sign(*)為符號函數(shù)，當e(t)>0 時，sign(*)為正。

同理可得當e(t)<0，E(t )的取值為-B。

由以上分析可得如下兩點結論：

結論1：無論跟蹤誤差e(t )取值如何，該模型的輸出E(t )被限制在[-B,B]范圍內(nèi)；

結論2：在初始時刻t=0，即使e(t )≠0，依然有函數(shù)式（7）的取值為E(0)=0，具有平滑的輸出。

2.3 輸入有界的軌跡跟蹤控制器設計

由以上分析可知，式（7）表示的有界函數(shù)可以保證輸出不超過參數(shù)限制，并且具有良好的平滑特性，因此可有效抑制因存在初始誤差導致的速度突變問題。用式（7）的輸出E(t )代替系統(tǒng)的跟蹤誤差e(t)，并代入式（6）可得四輪全向移動機器人新的軌跡跟蹤控制律：

3 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

對于依據(jù)控制律（9）所確定的四輪全向移動機器人的軌跡跟蹤控制系統(tǒng)，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，取跟蹤系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為：

當e(t)>0 時，對式（10）兩端求導并由式（7）、（9）整理得：

當e(t)>0 時，由A 以及ki的定義可知，ki>0，Ax+ex>0，Ay+ey>0，Aφ+eφ>0，則有。系統(tǒng)的跟蹤誤差e(t )而言，總有成立，根據(jù)李雅

4 控制系統(tǒng)仿真及分析

為驗證本文所設計控制方法的性能，對如圖1 所示的四輪驅(qū)動全向移動機器人，在MATLAB 2013Ra 平臺上進行軌跡跟蹤的數(shù)值仿真，采樣時間為0.01s，機器 人 速 度 約 束 滿 足 |u |≤3m/s ， |v |≤3m/s ，|ω |≤3 rad/s，從而控制器的參數(shù)取為k1=1，k2=1，k3=3，有界函數(shù)（7）的參數(shù)取為Ax=5，Ay=5，Aφ=6，Bx=3，By=3，Bφ=3。

4.1 直線軌跡的跟蹤結果及分析

首先，令機器人跟蹤連續(xù)的直線軌跡，該直線的軌跡方程為Yd=Xd，期望角度為φd=π/4，假設機器人實際的起始位姿為[1m,-1m,π/2 rad]T，則機器人的初始跟蹤誤差為[-1m,1m,-π/2 rad]T，具體的跟蹤結果如圖2所示。

圖2 直線軌跡的跟蹤結果

由圖2 可以看出，對于相對簡單的直線路徑，即使存在較大的初始誤差，機器人也能快速地跟蹤期望軌跡，跟蹤誤差快速收斂到零，在初始時刻，速度控制器的輸出也是零，跟蹤過程中機器人的線速度和角速度均沒有超過各自的約束。

4.2 圓軌跡的跟蹤結果及分析

為了驗證控制方法對復雜軌跡跟蹤的性能，令機器人對一圓形軌跡進行軌跡跟蹤仿真，跟蹤軌跡的參數(shù)方程為Yd=cos φd，Xd=sin φd，φd=t，并且假設在初始時刻t=0 時，機器人的期望位姿為[1m,0m,0 rad]T，實際位姿為[2m,2.5m,π/2 rad]T，則初始跟蹤誤差為[-1m,-2.5m,-π/2 rad]T，其實際的軌跡跟蹤效果如圖3所示。

圖3 圓形軌跡的跟蹤結果

由圖3 可知，即使機器人所跟蹤的期望軌跡由直線變?yōu)闀r刻在發(fā)生著變化的圓形軌跡，本文所設計的全向機器人軌跡控制律仍能保證機器人快速地實現(xiàn)對期望軌跡的跟蹤，并且控制器的實際輸出線速度u 的最大值為u=2.98m/s，也在其最大速度限制umax=3m/s的范圍內(nèi)，而機器人的另一個輸出線速度v 和機器人的角速度ω 也沒有超過各自的限制。

綜合機器人對以上兩種不同軌跡的跟蹤結果可以得出，當軌跡跟蹤過程中存在較大的跟蹤誤差時，控制器會產(chǎn)生一個較大的速度輸出以使機器人能夠快速地跟蹤期望軌跡，當誤差隨時間減小之后，控制器的輸出速度逐漸穩(wěn)定；在初始時刻，即使存在初始誤差，控制器也能保證其輸出速度為零；對于不同的期望軌跡，該控制方法均能保證機器人能夠?qū)崿F(xiàn)對期望軌跡的跟蹤，具體的誤差收斂速度與軌跡跟蹤的初始誤差以及機器人的跟蹤速度等因素有關。

5 結語

本文研究了四輪驅(qū)動全向移動機器人的軌跡跟蹤控制問題，設計了一種可抑制速度突變的軌跡跟蹤控制律來進行軌跡跟蹤控制。通過設計一個具有平滑輸出的有界函數(shù)來平滑控制信號，同時結合參數(shù)的具體取值以保證控制量不超限。最后使用MATLAB 平臺對不同的軌跡跟蹤任務進行了仿真實驗，一方面通過仿真跟蹤結果對比分析，驗證了該方法的有效性，另一方面有助于讀者更好地理解該方法的基本思想和實現(xiàn)過程。