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    氣動(dòng)位置控制系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階控制器的設(shè)計(jì)與仿真

    2019-07-18 11:11:54
    液壓與氣動(dòng) 2019年7期
    關(guān)鍵詞:裕度伺服系統(tǒng)傳遞函數(shù)

    (合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

    引言

    隨著工業(yè)自動(dòng)化的發(fā)展,氣動(dòng)伺服技術(shù)以其價(jià)格低廉、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、無(wú)污染、操作方便易維護(hù)等優(yōu)點(diǎn)得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。但受到如氣體的可壓縮性、控制閥氣體流量的非線性、氣缸摩擦力等多種因素的影響,使得氣動(dòng)伺服系統(tǒng)具有非線性和低剛度的弱品質(zhì)[1],這使得氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的連續(xù)軌跡控制和系統(tǒng)的控制精度具有很大難度。基于氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的以上特點(diǎn),學(xué)者們針對(duì)氣缸摩擦力[2]、比例閥死區(qū)補(bǔ)償[3]等做了大量研究,采用多種新型控制策略以實(shí)現(xiàn)對(duì)氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的精確控制[4-7],并在氣動(dòng)人工肌肉、氣動(dòng)機(jī)械手和碼垛機(jī)等領(lǐng)域得到應(yīng)用[8-10]。

    本研究以氣動(dòng)伺服系統(tǒng)為對(duì)象,建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,設(shè)計(jì)了一種分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器,運(yùn)用穩(wěn)定裕度法整定分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的5個(gè)參數(shù),實(shí)現(xiàn)對(duì)氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的位置跟蹤控制。

    1 系統(tǒng)組成及原理

    氣動(dòng)伺服控制系統(tǒng)主要由標(biāo)準(zhǔn)氣缸、比例流量閥、位移傳感器、壓力傳感器、數(shù)據(jù)采集卡和計(jì)算機(jī)組成,結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。本研究中氣缸選用單桿標(biāo)準(zhǔn)氣缸DNCI-32-150-P-A,氣缸標(biāo)準(zhǔn)行程為150 mm,缸徑為90 mm,活塞桿直徑為32 mm;比例閥選用MPYE-5-1/8HF-010-B比例方向控制閥。

    1.氣源 2.過(guò)濾調(diào)壓組件 3.比例伺服閥 4.壓力傳感器 5.單桿氣缸 6.位移傳感器 7.數(shù)據(jù)采集卡圖1 氣動(dòng)位置伺服系統(tǒng)原理圖

    系統(tǒng)的工作原理:由計(jì)算機(jī)發(fā)出待跟蹤的控制信號(hào),經(jīng)D/A轉(zhuǎn)換將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為模擬信號(hào)后驅(qū)動(dòng)比例閥,比例閥調(diào)整開(kāi)度以控制氣缸兩腔壓力,從而控制氣缸活塞位移,將位移傳感器檢測(cè)到的活塞位移模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)后反饋到計(jì)算機(jī)中,與給定的輸入控制信號(hào)進(jìn)行比較得出偏差控制量,再根據(jù)偏差控制量調(diào)節(jié)比例閥開(kāi)度,如此循環(huán),逐步減小偏差直至為零,最終實(shí)現(xiàn)氣缸活塞運(yùn)動(dòng)對(duì)給定輸入信號(hào)的跟蹤[11]。

    2 氣動(dòng)位置伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

    為了便于對(duì)氣動(dòng)伺服系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,做出以下假設(shè):

    (1) 氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的工作介質(zhì)為理想氣體,滿足理想氣體狀態(tài)方程;

    (2) 比例閥、氣缸及氣缸兩腔之間無(wú)氣體泄漏;

    (3) 比例閥和氣缸中的氣體是均勻的,同一容腔內(nèi)氣體壓力和溫度處處相等;

    (4) 氣體在比例閥和氣缸中的流動(dòng)為等熵絕熱過(guò)程。

    2.1 氣缸活塞的力平衡方程

    根據(jù)牛頓第二定律可得:

    (1)

    式中,y——?dú)飧谆钊灰?/p>

    m——慣性負(fù)載和活塞的質(zhì)量

    Ff——?dú)飧啄Σ亮?/p>

    FL——外負(fù)載力

    p1,p2——?dú)飧變汕坏慕^對(duì)壓力值

    A1,A2——?dú)飧谉o(wú)桿腔和有桿腔的截面面積

    2.2 氣缸兩腔的流量連續(xù)方程

    根據(jù)質(zhì)量守恒定律,單位時(shí)間內(nèi),氣缸容腔流入或流出的質(zhì)量流量等于其質(zhì)量變化率:

    (2)

    (3)

    式中,qm1,qm2——?dú)怏w流入氣缸兩腔的質(zhì)量流量

    m1,m2——?dú)飧變汕坏臍怏w質(zhì)量

    ρ1,ρ2——?dú)飧變汕坏臍怏w密度

    V1,V2——?dú)飧變汕坏臍怏w體積

    2.3 氣缸兩腔的壓力微分方程

    根據(jù)熱力學(xué)第一定律,對(duì)氣缸兩腔有如下的熱量方程:

    (4)

    式中,E——容腔內(nèi)氣體總能量,E=mCpT=

    CvpT/R

    h——單位質(zhì)量氣體的內(nèi)能,h=CpT

    Cp——?dú)怏w的定壓比熱

    Cv——定容比熱

    T——容腔內(nèi)氣體的絕對(duì)溫度

    Q——容腔內(nèi)氣體的熱量

    (5)

    (6)

    2.4 比例閥口流量方程

    一般采用Sanville流量公式[12]描述氣體流動(dòng)狀態(tài),但Sanville流量公式主要針對(duì)理想氣體通過(guò)收縮噴管的一維等熵流動(dòng),與實(shí)際的氣體在閥口流動(dòng)過(guò)程不符。本研究采用BOBROW[13]和陶國(guó)良[14]提出的修正公式:

    (7)

    式中,ps為比例閥上游壓力;pd為比例閥下游壓力;Cf為臨界壓力比,上下游壓力比大于Cf時(shí),氣體達(dá)到臨界狀態(tài)以亞聲速流動(dòng),上下游壓力比小于Cf時(shí)氣體以聲速流動(dòng),取Cf=0.68;λ為修正指數(shù),λ=0.25;k為絕熱指數(shù),工作介質(zhì)為空氣,k=1.4;Ts為絕對(duì)溫度;A(u)為比例閥開(kāi)口面積,由控制信號(hào)u來(lái)控制,一般看成u的二次函數(shù)[5],即A(u)=k1u+k2u2。

    氣缸在一腔充氣另一腔排氣時(shí),一般充氣腔內(nèi)氣體為亞聲速流動(dòng),排氣腔內(nèi)氣體為聲速流動(dòng)。本研究選用的比例閥左、右兩腔開(kāi)口量相同,結(jié)合比例閥口面積公式可得比例閥口到氣缸的壓力流量方程:

    (8)

    2.5 氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

    結(jié)合以上方程,可知?dú)鈩?dòng)伺服系統(tǒng)屬于非線性系統(tǒng),對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行局部線性化處理以便對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行定性分析。

    對(duì)比例閥流量方程做線性化處理:

    qm1=kq1u+kq2p1

    (9)

    qm2=kq3u+kq4p2

    (10)

    對(duì)上述各式進(jìn)行拉氏變換,可得系統(tǒng)的線性化數(shù)學(xué)模型:

    (11)

    則系統(tǒng)的輸入u與輸出y的傳遞函數(shù)表達(dá)式為:

    (12)

    根據(jù)第一節(jié)氣缸和比例閥的選型,假設(shè)初始狀態(tài)下活塞在中間位置保持平衡,設(shè)定氣源壓力ps=0.6 MPa,溫度Ts=300 K。閥口前后壓差Δp=0.02 MPa,黏性阻尼系數(shù)Kv=50 N/(m·s-1)[16],負(fù)載質(zhì)量估算為2 kg,氣體常數(shù)R=287.1 J/(kg·K),帶入式(12)可得系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為:

    (13)

    3 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的設(shè)計(jì)

    3.1 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的定義

    分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器與整數(shù)階PID控制器相比多了積分系數(shù)和微分系數(shù),兩者形式相似:

    u(t)=KPe(t)+KID-λe(t)+KDDμe(t)

    (14)

    式中,u(t)為控制器的輸出;e(t)為輸入;KP,KI,KD分別為控制器的比例增益系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù);λ,μ分別為控制器的積分階次和微分階次。

    分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的傳遞函數(shù)為:

    (15)

    在分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的參數(shù)整定中,相比于整數(shù)階PID還需要整定積分階次λ和微分階次μ。圖2是加入了分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

    圖2 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

    3.2 穩(wěn)定裕度法設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器

    通常滿足相角裕度和幅值裕度都大于0的系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng),而相角裕度和幅值裕度往往同時(shí)大于0或不大于0,因此要實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定裕度的描述只需用相角裕度判別。給出符合控制器設(shè)計(jì)要求的相角裕度、幅值裕度以及剪切頻率,得到滿足相角裕度條件和魯棒性條件的方程。采用該方法需要在剪切頻率ωc和穿越頻率ωp處滿足如下條件[17]:

    (1) 在剪切頻率處,系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的模等于1。

    |G(jωc)|=1

    (16)

    (2) 在剪切頻率處,系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的相位等于-π+Φm,其中Φm為相位裕度。即:

    Arg[G(jωc)]=-π+Φm

    (17)

    (3) 在剪切頻率附近相角的變化率為0。即:

    (18)

    (4) 在穿越頻率出應(yīng)滿足:

    Arg[G(jωp)]=-π

    (19)

    (20)

    其中,Am為幅值裕度。

    根據(jù)以上方程,由穩(wěn)定裕度法設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器能實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的有效控制,滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性要求。

    由上一節(jié)推導(dǎo)可知,氣動(dòng)位置控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)的形式為:

    (21)

    將其轉(zhuǎn)化為頻域表達(dá)式:

    (22)

    根據(jù)圖2,由分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器傳遞函數(shù)表達(dá)式和被控對(duì)象傳遞函數(shù)表達(dá)式,可得系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式:

    G(s)=Gc(s)·GK(s)

    (23)

    將上式轉(zhuǎn)換成頻域形式可得:

    G(jω)=Gc(jω)·GK(jω)

    (24)

    將式(24)分別帶入式(16)~式(18)可得參數(shù)整定的約束方程:

    |G(jω)|=|Gc(jω)·GK(jω)|

    =|Gc(jω)|·|GK(jω)|

    (25)

    Arg[G(jω)]=Arg[GC(jω)]+Arg[GK(jω)]

    =-π+Φm

    (26)

    (27)

    式中,

    根據(jù)之前所列方程,使用數(shù)值計(jì)算、圖解計(jì)算等方法可以求出分?jǐn)?shù)PIλDμ控制器需要求解的5個(gè)參數(shù),但這些方法過(guò)程繁瑣且誤差較大。本研究利用MATLAB優(yōu)化工具箱的Fmincon函數(shù)求解上述非線性方程的最優(yōu)解。

    本研究使用的Fmincon函數(shù)語(yǔ)法格式是:

    x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

    其中,fun是目標(biāo)函數(shù);x0為待求參數(shù)的初始值;A,b,Aeq,beq分別為線性約束條件不等式系數(shù)矩陣,線性約束條件不等式的右值,線性等式約束條件的系數(shù)矩陣和線性約束條件等式的右值;lb,ub為x的取值上下限;nonlcon是非線性約束條件函數(shù),它提供非線性不等式和等式約束條件。以上參數(shù)若有些不存在則可用空向量或空矩陣代替。

    使用Fmincon函數(shù)計(jì)算分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器參數(shù)時(shí),變量x的矩陣形式為:

    x=[KP,KI,KD,λ,μ]

    取剪切頻率ωc=2.4 rad/s,相角裕度Φm=60°。以式(25)為目標(biāo)函數(shù),式(26)、式(27)為非線性約束條件,編寫求解5個(gè)參數(shù)的M文件,利用Fmincon函數(shù)解得5個(gè)參數(shù)分別為:KP=9.56,KI=20.076,KD=0.002,λ=0.014,μ=1.971。

    4 仿真結(jié)果與分析

    在Simulink庫(kù)中自行搭建分?jǐn)?shù)階PIλDμ模塊,其封裝子系統(tǒng)如圖3所示。建立分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)仿真框圖如圖4所示。

    圖3 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器封裝子模型

    圖4 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器系統(tǒng)階躍響應(yīng)框圖

    運(yùn)行仿真程序,仿真時(shí)間4 s,得到閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖5所示。分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制性能指標(biāo)如表1所示。

    圖5 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

    表1 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制系統(tǒng)性能指標(biāo)

    由圖5的響應(yīng)曲線可以看出,氣動(dòng)伺服系統(tǒng)在分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的控制下,調(diào)節(jié)時(shí)間大幅降低、響應(yīng)速度加快,超調(diào)量很小,系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)特性。

    在2 s時(shí)加入一個(gè)數(shù)值為0.2的擾動(dòng)信號(hào),系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖6所示。分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制系統(tǒng)在受到擾動(dòng)后能快速恢復(fù)到穩(wěn)定值,系統(tǒng)具有強(qiáng)抗干擾能力。

    圖6 加入擾動(dòng)信號(hào)時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)曲線

    當(dāng)系統(tǒng)特性發(fā)生變化,即分別使系統(tǒng)增益增大30%、固有頻率和阻尼系數(shù)減小30%時(shí),系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖7~圖9所示。

    圖7 增益增大30%系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

    圖8 固有頻率減小30%系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

    圖9 阻尼系數(shù)減小30%系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

    表2 參數(shù)改變時(shí)系統(tǒng)性能指標(biāo)

    對(duì)比表2和表1的性能指標(biāo)可以看出,當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生較大變化時(shí),系統(tǒng)性能指標(biāo)變化較小,分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制方法仍然表現(xiàn)出良好的目標(biāo)信號(hào)追蹤特性和魯棒性,有效地克服了系統(tǒng)不確定性帶來(lái)的影響。進(jìn)一步說(shuō)明對(duì)于本研究的氣動(dòng)伺服系統(tǒng),采用分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制策略可以達(dá)到理想的控制性能指標(biāo)。

    5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

    根據(jù)原理圖搭建氣動(dòng)伺服系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)裝置如圖10所示。

    圖10 實(shí)驗(yàn)裝置圖

    在控制界面設(shè)置控制器的5個(gè)參數(shù)如圖11所示。其中K0,K1,K2分別表示比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù),Ki,Kd為積分階次和微分階次。

    圖11 參數(shù)設(shè)置圖

    分別測(cè)量分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的絕對(duì)定位精度和重復(fù)定位精度。

    絕對(duì)定位精度實(shí)驗(yàn):從0位置每次進(jìn)給20 mm,記錄每次到達(dá)的位置數(shù)據(jù),與設(shè)定值比較得出誤差值;到達(dá)140 mm后每次回退20 mm,記錄每次到達(dá)的位置數(shù)據(jù),與設(shè)定值比較得出誤差值。結(jié)果如表3、表4所示。

    表3 進(jìn)給過(guò)程絕對(duì)定位精度實(shí)驗(yàn)結(jié)果 mm

    表4 回退過(guò)程絕對(duì)定位精度實(shí)驗(yàn)結(jié)果 mm

    重復(fù)定位精度實(shí)驗(yàn):實(shí)驗(yàn)分為進(jìn)給過(guò)程重復(fù)定位實(shí)驗(yàn)和回退過(guò)程重復(fù)定位實(shí)驗(yàn)兩部分。

    進(jìn)給過(guò)程實(shí)驗(yàn)初始位置分別為10,50,100 mm處,到達(dá)位置設(shè)定為130 mm處。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表5~表7所示。

    表5 起始位置10 mm mm

    表6 起始位置50 mm mm

    表7 起始位置100 mm mm

    回退過(guò)程實(shí)驗(yàn)初始位置分別為140,100,50 mm處,到達(dá)位置設(shè)定為20 mm處。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表8~表10所示。

    表8 起始位置140 mm mm

    表9 起始位置100 mm mm

    表10 起始位置50 mm mm

    從以上實(shí)驗(yàn)可以得出,分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制系統(tǒng)的絕對(duì)定位精度為0.5 mm,重復(fù)定位精度為0.5 mm。穩(wěn)態(tài)精度較高,本研究設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制策略對(duì)于氣動(dòng)伺服系統(tǒng)具有良好的控制效果。

    6 結(jié)論

    對(duì)于氣動(dòng)伺服系統(tǒng),本研究先建立了其數(shù)學(xué)模型,在此數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器,并利用穩(wěn)定裕度法整定了分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的5個(gè)參數(shù)。在Simulink中的仿真結(jié)果表明穩(wěn)定裕度法整定參數(shù)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器能實(shí)現(xiàn)有效的位置控制,響應(yīng)速度快、超調(diào)量小,動(dòng)態(tài)性能良好。受到擾動(dòng)時(shí)能在很短時(shí)間內(nèi)恢復(fù)到穩(wěn)定值,使系統(tǒng)具有很強(qiáng)的抗干擾能力。在系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生較大改變時(shí),分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制方法仍能達(dá)到良好的控制性能指標(biāo)。結(jié)果表明,分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器對(duì)于氣動(dòng)伺服位置控制系統(tǒng)有良好的控制效果,使系統(tǒng)具有良好的信號(hào)跟蹤特性、強(qiáng)抗干擾能力和魯棒性。實(shí)驗(yàn)測(cè)試采用分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的氣動(dòng)伺服系統(tǒng)定位精度達(dá)到0.5 mm,系統(tǒng)具有較高的穩(wěn)態(tài)精度。

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