導(dǎo)數(shù)在不等式問題中的應(yīng)用

宣筱瀟 李琪

【摘要】導(dǎo)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，是學(xué)生必須掌握的知識(shí)點(diǎn)。利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，構(gòu)造新的函數(shù)，搭建起不等式和函數(shù)的橋梁，將不等式問題化難為易，為解決不等式問題提供新的解題思路。熟練掌握導(dǎo)數(shù)在不等式問題中的作用，有利于中學(xué)數(shù)學(xué)階段的學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù) 不等式 函數(shù) 應(yīng)用

【基金項(xiàng)目】2015年度國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“若干離散可積方程族的多維反散射變換研究及精確解”。（編號(hào)：11561002），主持人：李琪。

【中圖分類號(hào)】G42 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）25-0152-02

一、引言

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，等式問題是一個(gè)非常普遍的現(xiàn)象，而不等式一樣也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)。近年來，不等式問題在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域已經(jīng)得到了非常廣泛的應(yīng)用和研究。對(duì)于一般性的不等式證明問題，采用的方法有比較法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法、分析法、重要不等式法等。對(duì)于比較難或者抽象的一些不等式問題，傳統(tǒng)方法的局限性問題就比較突出了。

導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)著主導(dǎo)地位，是每位學(xué)生必須掌握的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)在大學(xué)課程中，是微積分的基礎(chǔ)內(nèi)容，具有承上啟下的作用。導(dǎo)數(shù)作為一種重要的解題工具，在許多類型的題目中都有涉及，是一個(gè)值得研究的課題。許多學(xué)者研究過導(dǎo)數(shù)在解決不同類型題目中的作用，熊詩(shī)茂研究導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立求參數(shù)范圍問題上的作用；[1]鐘宇寧將導(dǎo)數(shù)作為研究工具，研究導(dǎo)函數(shù)不等式解集的若干求解方法；[2]曲文瑞、李學(xué)軍認(rèn)為導(dǎo)數(shù)具有豐富的內(nèi)涵和幾何背景，為函數(shù)問題的解決提供了便利的條件；[3]吳統(tǒng)勝認(rèn)為學(xué)生對(duì)于函數(shù)壓軸題具有恐懼心理，他舉例研究了導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)問題的解題策略。[4]

不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，證明的方法多種多樣，如何通過具體例子采用何種解決辦法則是十分關(guān)鍵的。將導(dǎo)數(shù)作為一種數(shù)學(xué)研究工具，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，構(gòu)造出新的函數(shù)，利用相關(guān)的理論研究探討，將靈活多變，技巧性強(qiáng)的不等式證明問題變得更加簡(jiǎn)單。

本文利用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具多角度證明不等式，分別通過導(dǎo)數(shù)定義證明定義型不等式，利用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具將一些不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性求解，以及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題中常見的恒成立問題。

二、利用導(dǎo)數(shù)定義證明不等式

函數(shù)y=f（x）在x0處的瞬時(shí)變化率■■=■■成為函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′（x0）或y′|x=x0。利用導(dǎo)數(shù)的定義可以證明一些定義型的不等式問題，仔細(xì)觀察題目條件和結(jié)論，尋找x0鄰近區(qū)域，利用導(dǎo)數(shù)定義完成解題。

例如： f（x）=m1sinx+m2sin2x+…+mnsinnx其中m1，m2，…，mn都為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)，已知對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，有|f（x）|≤|sinx|，證明|m1+2m2+…+nmn|≤1。

分析：該題是不等式的證明，首先需要求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，觀察導(dǎo)數(shù)值與問題之間的關(guān)系，最后再根據(jù)題目已知條件設(shè)定x的值證明不等式。

證明：∵f′（x）=m1cosx+2m2cos2x+…+nmncosnx，觀察式子可得當(dāng)x=0時(shí)，f′（0）=m1+2m2+…+nmn，將問題轉(zhuǎn)化為|f′（0）|≤1。根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義可得|f′（0）|≤■■=■■，由已知條件知|f（x）|≤|sinx|，|f′（0）|≤■■=1，∴|m1+2m2+…+nmn|≤1成立。即得證。

三、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

證明可導(dǎo)函數(shù)不等式，可利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系來證明。[5]設(shè)函數(shù)y=g（x）在[m，n]上連續(xù)，在（m，n）上可導(dǎo)：

（1）如果在[m，n]上g′（x）≥0，那么y=g（x）在[m，n]上單調(diào)遞增；

（2）如果在[m，n]上g′（x）≤0，那么y=g（x）在[m，n]上單調(diào)遞減。

在某些不等式問題上，可通過判斷導(dǎo)數(shù)大小來判斷函數(shù)的增減性從而解答不等式問題。

例如：已知m>0，如何證明m>ln（1+m）。

分析：第一步構(gòu)造函數(shù)，通過作差作商的方式構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)。設(shè)α（m）=m-ln（1+m），當(dāng)m=0時(shí)，α（m）=0。若證明當(dāng)m>0時(shí)，α（m）為增函數(shù)就可證明m>ln（1+m）。

證明：設(shè)α（m）=m-ln（1+m），∵α（m）在（0，∞）上可導(dǎo)，通過求導(dǎo)，得到α′（m）=■。當(dāng)m>0，α′（m）>0，即α（m）在（0，∞）上是一個(gè)增函數(shù)，∴α（m）>α（0）?！擀粒?）=0，∴α（m）>0，∴m>ln（1+m），即得證。

導(dǎo)數(shù)作為搭建函數(shù)和不等式的橋梁，使某些不等式證明化難為易，便于學(xué)生解題。利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式的過程可分為三個(gè)步驟：

（1）構(gòu)造新的輔助函數(shù)（構(gòu)造函數(shù)的方法有很多，有作差法、作商法、不等式兩邊取對(duì)數(shù)法等）。（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷求導(dǎo)之后的正負(fù)性。若求導(dǎo)后大于零，則在定義域內(nèi)該函數(shù)是單調(diào)遞增，若小于零，則是單調(diào)遞減。（3）根據(jù)題目條件證明不等式。

四、利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題

不等式的恒成立問題是高中數(shù)學(xué)中常有的題目類型，難易程度可大可小。在近幾年的高考中，不等式的恒成立問題也是一個(gè)熱點(diǎn)題型，常以最后一道壓軸題出現(xiàn)。導(dǎo)數(shù)作為一種有效的解題工具，在解決不等式恒成立問題中起到了十分重要的作用。

例如：已知y=■在R上是恒成立，求a的取值范圍。

分析：因?yàn)樵赗上是恒成立，也就是對(duì)于任意的x，ax2+6ax+a+8≥0。設(shè)f（x）=ax2+6ax+a+8，將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值。若函數(shù)的最小值恒大于等于0，則不等式恒成立。

求解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=8，此時(shí)滿足條件。

（2）當(dāng)a>0時(shí)，f′（x）=2ax+6a，所以x=-3是函數(shù)的極小值。繼而求出函數(shù)的最小值為f（-3）=9a-18a+a+8=8-8a，則8-8a ≥0，所以a∈（0，1]。

（3）當(dāng)a<0時(shí)，此時(shí)函數(shù)開口向下，不能在R上恒成立，所以不成立。

綜上所述，a的取值范圍為[0，1]。該題是一個(gè)帶根號(hào)的恒成立問題，由于根號(hào)的特殊性，學(xué)生解題思路相對(duì)清晰，后續(xù)利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值便迎刃而解。不等式的恒成立問題題型較多，具體問題需具體對(duì)待。

五、建議與思考

在不等式的證明過程中，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用十分廣泛。定義型的不等式問題可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的定義求解；涉及函數(shù)類型的不等式問題中，可通過導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具求解函數(shù)的單調(diào)性從而證明不等式；不等式恒成立問題是歷年來的高考熱點(diǎn)，通過導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具可將題目化難為易。不等式題目千變?nèi)f化，學(xué)生在實(shí)際做題中如何找準(zhǔn)切入點(diǎn)是教師也是學(xué)生該引起重視的。本研究的不足之處在于只列舉了一部分類型的不等式，且題目數(shù)量有限，典型性不夠。

參考文獻(xiàn)：

[1]熊詩(shī)茂.基于不等式恒成立求參數(shù)范圍問題的導(dǎo)數(shù)運(yùn)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（17）

[2]鐘宇寧.導(dǎo)函數(shù)不等式解集求解方法[J].科教導(dǎo)刊，2018（1）：39-41

[3]曲文瑞，李學(xué)軍.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)專題[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2018（2）

[4]吳統(tǒng)勝.例談函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題的解題突破策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2017（12）

[5]李文光.利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式[J].云南建設(shè)學(xué)校，2010，5.

作者簡(jiǎn)介：

宣筱瀟（1994-），女，漢族，浙江諸暨人，東華理工大學(xué)2017級(jí)教育碩士在讀研究生。

李琪（1973-）， 女，漢族，江西撫州人，東華理工大學(xué)教授，博士，研究方向?yàn)榉蔷€性可積方程、數(shù)學(xué)教育教學(xué)方法。