考慮鐵芯磁飽和的開關(guān)磁阻電機電感及轉(zhuǎn)矩解析建模

左曙光,劉明田,胡勝龍

(同濟大學新能源汽車工程中心,201804,上海)

開關(guān)磁阻電機與其他電機相比,具有結(jié)構(gòu)簡單、無永磁體、調(diào)速范圍寬、成本低等優(yōu)點,可作為電動汽車驅(qū)動電機的備選方案[1]。然而,轉(zhuǎn)矩波動是影響其應(yīng)用的主要問題之一。目前,一般從兩個方面來解決轉(zhuǎn)矩波動問題:一是對電機的本體結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化,包括從定子和轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)等方面進行優(yōu)化[2-4];二是使用現(xiàn)代控制理論進行控制,如轉(zhuǎn)矩分配函數(shù)控制[5]、轉(zhuǎn)矩預測控制[6]、滑?？刂芠7]等。然而,由于開關(guān)磁阻電機運行時大都處于鐵芯磁飽和狀態(tài),具有很強的非線性,很難通過建模的方法來對開關(guān)磁阻電機的性能進行分析,因此對電機結(jié)構(gòu)方面的優(yōu)化需要通過大量的有限元仿真來實現(xiàn),但這將花費大量的時間。所以,建立用于快速評價電機特性的開關(guān)磁阻電機數(shù)學模型尤為重要。

目前,關(guān)于開關(guān)磁阻電機電感與轉(zhuǎn)矩建模方面的研究較多,具體包括:司利云等分別利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和最小二乘支持向量機等機器學習算法對磁鏈曲線族數(shù)據(jù)進行學習,建立了電機模型[8-9];Mikail等預先建立了磁鏈-電流-轉(zhuǎn)子位置表,然后使用查表法建立了開關(guān)磁阻電機模型[10];Nirgude等利用函數(shù)解析法即通過對電感族數(shù)據(jù)進行參數(shù)擬合建立了電機模型[11];Djelloul-Khedda等從磁場的角度對開關(guān)磁阻電機進行解析計算,并建立了電機模型[12]。由此可見,目前對開關(guān)磁阻電機建模時大都需要磁鏈曲線族作為建?；A(chǔ),而以上研究中這些數(shù)據(jù)都是通過進行大量的有限元仿真或者實驗來獲得的。

在關(guān)于電感/磁鏈的解析計算方面,主要存在半解析和全解析兩種方法。在半解析的方法中,丁文等對5個特殊位置的磁鏈數(shù)據(jù)值利用傅里葉級數(shù)分解和反正切函數(shù)擬合建立了電感模型[13],Chen等對傳統(tǒng)的磁鏈擬合模型進行了修正,建立了快速磁鏈模型[14],但以上被擬合的磁鏈數(shù)據(jù)仍需要有限元仿真或?qū)嶒灚@得。在全解析的方法中,Radun僅對開關(guān)磁阻電機定子和轉(zhuǎn)子非對齊位置處的電感進行了解析計算[15],Mao等通過對定子和轉(zhuǎn)子的對齊和非對齊這兩個特殊位置的電感進行解析計算,而對中間位置處的電感用直線或者直線進行修正來近似表征電感的變化趨勢[16-17],但以上方法僅對開關(guān)磁阻電機特殊位置處的電感進行解析計算,且精度較差,而且僅適用于施加恒定電流的工況,不能滿足實際情況中的分析需求。目前,能同時對特殊位置和非特殊位置下電感進行準確解析的研究較少,且對鐵芯磁飽和的處理大都需要借助有限元仿真的結(jié)果,具體包括:鄧智全等在對無軸承開關(guān)磁阻電機氣隙磁導推導的基礎(chǔ)上,同時對特殊位置和非特殊位置下的電感進行了解析計算,但磁路中忽略了鐵芯磁飽和的影響,精度較差[18];Yu等引入鐵芯磁飽和導致的磁導率降落量,對考慮鐵芯磁飽和影響下的磁鏈進行了解析計算,但磁導率降落量需要借助有限元仿真來獲得[19];Yavuz等使用磁通管法得到了電感的解析結(jié)果,但由于是將磁路集中等效,不僅需要對8個氣隙位置處的磁導計算分別進行復雜的定義,而且需要額外通過計算或迭代確定鐵芯中各部分磁路的面積[20-21]。

從上述文獻可知,作為開關(guān)磁阻電機建?；A(chǔ)的磁鏈曲線族目前主要通過有限元仿真或?qū)嶒灧椒ǐ@得,這將花費大量的時間,不利于對電機的性能進行研究和優(yōu)化。在電感的解析方面:半解析的方法仍需要借助有限元仿真的結(jié)果;全解析的方法分為兩類,第一類是僅對特殊位置處的電感進行解析,這顯然無法滿足實際分析的需求,第二類是對全位置進行電感解析計算,但卻基本都需要借助有限元仿真來考慮鐵芯磁飽和帶來的影響,且大都對磁路進行等效集中劃分,對鐵芯磁飽和局部性的處理效果不佳。由此可見,對開關(guān)磁阻電機電感的解析計算相較于傳統(tǒng)的永磁電機更為困難,非線性更嚴重,這主要是由于開關(guān)磁阻電機特有的雙凸極結(jié)構(gòu)和運行時存在的更嚴重的局部鐵芯磁飽和導致的。

針對上述問題,本文針對一款6/4極開關(guān)磁阻電機,采用分布式等效磁路的方法,并考慮鐵芯磁飽和的影響,建立了較為準確的非線性動態(tài)電感解析模型,通過該模型能快速獲得磁鏈曲線族,并在此基礎(chǔ)上利用能量法建立了轉(zhuǎn)矩的解析模型,與有限元仿真的結(jié)果進行了對比驗證。

1 電機主要參數(shù)

開關(guān)磁阻電機的定子和轉(zhuǎn)子均為雙凸極結(jié)構(gòu),定子和轉(zhuǎn)子上均沒有永磁體,結(jié)構(gòu)簡單。定子僅有集中繞組,轉(zhuǎn)子沒有繞組,也沒有換向器和滑環(huán)等。根據(jù)定子和轉(zhuǎn)子的相對位置,采用角度位置與電流斬波相結(jié)合的控制方式來開通和關(guān)斷定子的相電流,從而產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩。本文采用的開關(guān)磁阻電機的主要參數(shù)如表1所示。

2 非線性電感解析計算及有限元驗證

2.1 非線性電感解析模型

對開關(guān)磁阻電機而言,互感可以忽略[22],因此開關(guān)磁阻電機的電感可以用自感表示,解析模型為

表1 開關(guān)磁阻電機的主要參數(shù)

(1)

式中:L為電感;Ψ為磁鏈;R為磁路的磁阻;Λ為磁導。

由式(1)可知,磁導Λ是計算開關(guān)磁阻電機電感的關(guān)鍵。為準確計算磁導Λ,運用分布式等效磁路原理,將電機的磁路沿周向均勻劃分成N0份,如圖1所示。

圖1 磁場磁路劃分

與電路電阻的并聯(lián)原理類似,可求得該相的等效磁導為

(2)

式中:m、k分別為電感計算的上界和下界所對應(yīng)磁路的編號;Λn為第n條磁路的磁導,公式為

(3)

其中,Riron,n為第n條磁路鐵芯的磁阻,Rair,n為第n條磁路氣隙的磁阻,gn為第n條磁路的氣隙長度,μ0為真空磁導率,Sn為第n條磁路的截面積,ln為第n條磁路的等效鐵芯長度,μiron,n為第n條磁路的鐵芯磁導率。

由于電機的磁路沿周向均勻劃分為N0份,故Sn可用公式表示為

Sn=2πRslz/N0

(4)

從式(1)～(4)可知,只要確定了電感的計算范圍(式(2)中的k、m)以及每條磁路中的未知參量(式(3)中的gn、μiron,n、ln),即可得到開關(guān)磁阻電機的電感。

2.1.1 電感的計算原則 電感計算范圍的確定本質(zhì)上是要確定式(2)中k和m的值,根據(jù)開關(guān)磁阻電機的結(jié)構(gòu)以及運行過程中磁力線分布的特點,按照以下原則來計算電感。

(1)在定子和轉(zhuǎn)子的齒極重疊之前,磁力線的分布比較分散,所以電感L由定子極兩邊距離分別在θs/2范圍內(nèi)的磁場決定,此時電感取決于該范圍內(nèi)每條磁路的計算結(jié)果,即電感計算的上下界m、k的取值為定值,如圖2所示。

圖2 定子和轉(zhuǎn)子的齒極重疊之前的電感計算區(qū)域

(2)在定子和轉(zhuǎn)子的齒極重疊之后,磁力線集中分布在定子和轉(zhuǎn)子的齒極所對應(yīng)的區(qū)域,故電感L由定子和轉(zhuǎn)子的齒極對應(yīng)區(qū)域的磁場決定,此時電感值取決于該范圍內(nèi)每條磁路的計算結(jié)果,即電感計算的上界m的取值為定值,而下界k的取值隨著轉(zhuǎn)子位置發(fā)生變化,如圖3所示。

圖3 定子和轉(zhuǎn)子的齒極重疊之后的電感計算區(qū)域

2.1.2 等效氣隙長度 為確定每條磁路中的等效氣隙長度gn,運用磁通管法對開關(guān)磁阻電機磁場的等效氣隙長度進行計算。若將電機的氣隙磁場劃分成定子區(qū)域、轉(zhuǎn)子區(qū)域以及中間區(qū)域,則電機磁場在圓周上的等效氣隙長度g(θ,t)可表示為

g(θ,t)=g0+g1(θ)+g2(θ,t)

(5)

式中:g0為電機中間部分的氣隙長度;g1(θ)為定子的等效氣隙長度;g2(θ,t)為轉(zhuǎn)子的等效氣隙長度;θ為電機圓周的空間角度;t為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的時間。第n條磁路的氣隙長度gn為

gn=g(θn,t)

(6)

其中θn為第n條磁路對應(yīng)的空間角度。

由于電機中間部分的氣隙長度g0為定值,取為4×10-4m,所以下面針對定子與轉(zhuǎn)子的等效氣隙長度分別進行討論。

(1)定子的等效氣隙長度g1(θ)。圖4是定子和轉(zhuǎn)子的等效氣隙,可以發(fā)現(xiàn),在定子齒頂處的等效氣隙長度為零,而齒側(cè)部分的等效氣隙長度是與圓周空間角度有關(guān)的同心圓弧長,圖4中的L1和L2分別表示定子和轉(zhuǎn)子部分同心圓的半徑。孫劍波等指出,在磁通管法中使用直線及圓弧代替實際的磁力線會引入誤差,可以通過引入定子磁極兩側(cè)的傾角β1和轉(zhuǎn)子磁極兩側(cè)的傾角β2進行修正[23]。所以,定子部分的等效氣隙長度可以表示為

(7)

(8)

式中αsr為定子和轉(zhuǎn)子極軸線之間的夾角。

將定子的等效氣隙長度進行傅里葉分解,得到

(9)

(10)

圖4 定子和轉(zhuǎn)子的等效氣隙

(2)轉(zhuǎn)子的等效氣隙長度g2(θ,t)。在不同時刻,轉(zhuǎn)子的等效氣隙長度的空間分布不一致,可以表示為

(11)

(12)

對式(11)進行傅里葉級數(shù)分解可得

(13)

(14)

式中ω為電機的角速度。

2.1.3 等效鐵芯長度 當開關(guān)磁阻電機的鐵芯局部磁飽和程度較小時,鐵芯的磁導率遠大于氣隙的磁導率。圖5是由鐵芯材料的磁化曲線獲得的鐵芯磁導率μiron與氣隙磁通密度B的關(guān)系曲線,可以看出:鐵芯磁導率在鐵芯磁飽和程度較小(即氣隙磁通密度B<1.2 T)時取值為0.004～0.009 H/m,約為真空磁導率(1.26×10-6H/m)的3 200～7 100倍,相較于氣隙的磁阻該部分鐵芯磁阻可以忽略;當鐵芯局部磁飽和程度較高時,氣隙磁通密度可達2.5 T,此時鐵芯的磁導率為1×10-5H/m,僅為氣隙磁導率的8倍,故該部分鐵芯磁阻不能忽略。所以,鐵芯的磁阻可簡化為僅考慮鐵芯局部磁飽和部分影響的等效鐵芯磁阻。

圖5 鐵芯磁導率μiron與氣隙磁通密度B的關(guān)系

為確定每條磁路中的等效鐵芯長度ln,繪制了開關(guān)磁阻電機的氣隙磁通密度云圖,如圖6所示,γ為定子和轉(zhuǎn)子的齒極重合角,可以發(fā)現(xiàn):當0≤γ<2βs/3時,定子和轉(zhuǎn)子的齒極中鐵芯磁飽和區(qū)域的徑向長度基本保持不變,如圖6a所示;當2βs/3≤γ<βr時,鐵芯磁飽和區(qū)域顯著變大,如圖6b所示;當βr≤γ<βs時,定子和轉(zhuǎn)子的齒極中鐵芯磁飽和區(qū)域的徑向長度又基本保持不變,如圖6c所示。根據(jù)上述開關(guān)磁阻電機運行過程中鐵芯磁飽和區(qū)域的變化規(guī)律,可以將等效鐵芯長度ln做如下定義:當0≤γ<2βs/3時,等效鐵芯長度為定子和轉(zhuǎn)子齒高之和的1/2;當2βs/3≤γ<βr時,等效鐵芯長度隨定子和轉(zhuǎn)子的齒極重合角線性變化;當βr≤γ<βs時,等效鐵芯長度為定子和轉(zhuǎn)子的齒高之和。等效鐵芯長度ln的數(shù)學公式為

(15)

(a)0<γ<2βs/3 (b)2βs/3<γ<βr (c)βr<γ<βs 圖6 鐵芯磁飽和區(qū)域的氣隙磁通密度變化云圖

2.1.4 鐵芯磁導率 為確定每條磁路中的鐵芯磁導率μiron,n,從氣隙磁通密度B的角度來分析鐵芯磁導率。定子和轉(zhuǎn)子的鐵芯磁導率可以表示為

(16)

式中:Fn為第n條磁路中勵磁繞組產(chǎn)生的磁動勢;Bn為第n條磁路中的氣隙磁通密度。

勵磁繞組的磁動勢F在空間圓周上的分布可以表示為

(17)

所以,第n條磁路中勵磁繞組產(chǎn)生的磁動勢Fn為

Fn=F(θn)

(18)

對空間分布的磁動勢F(θ)進行傅里葉分解得到

(19)

(20)

(21)

圖7 求解μiron的迭代計算模型

在式(16)中,第n條磁路中的氣隙磁通密度Bn和鐵芯磁導率μiron,n均為未知量,因此直接運用式(16)無法獲得準確的μiron,n。但是,鐵芯磁導率μiron與氣隙磁通密度B密切相關(guān),其關(guān)系曲線由圖5可知。所以,為得到滿足鐵芯磁導率變化曲線的μiron,n,構(gòu)建了迭代計算模型,如圖7所示,圖中:Fn為由式(17)和式(18)計算得到的第n條磁路中勵磁繞組產(chǎn)生的磁動勢,是從電流的角度分析得到的磁動勢;Fc,n為磁通量和考慮鐵芯磁導率的磁阻相乘得到的第n條磁路中的磁動勢,是從磁場的角度得到的磁動勢。

根據(jù)上述方法可求得計算電感所需的各未知參量gn、μiron,n、ln,將式(2)～(6)與式(15)(16)代入式(1),即可得到電感的解析模型為

(22)

2.2 非線性電感有限元仿真驗證

為了驗證非線性電感解析模型的準確性,根據(jù)表1所示的結(jié)構(gòu)參數(shù)建立了一個6/4極開關(guān)磁阻電機的電磁計算仿真模型,如圖8所示。鐵芯和繞組材料參數(shù)的設(shè)置與實際材料一致,轉(zhuǎn)速設(shè)置為額定轉(zhuǎn)速4 000 r/min,氣隙網(wǎng)格設(shè)置為滑移網(wǎng)格,仿真步長設(shè)置為5×10-6s,采用與實際情況一致的280 V直流電壓源供電。

圖8 6/4極開關(guān)磁阻電機有限元仿真模型

圖9為實際運行過程中開關(guān)磁阻電機在機械角度位置控制下的電感解析計算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果,解析計算過程中N0取值為512,可以看出,解析計算結(jié)果和有限元仿真結(jié)果一致,誤差保持在9%以內(nèi)。與僅對特殊位置處電感進行解析的方法相比,本文方法不僅適用于施加恒定電流的工況,而且能滿足電機在實際運行過程中分析的需求。

圖9 實際運行過程中的電感

(a)I=5 A

(b)I=10 A

(c)I=15 A

(d)I=20 A圖10 恒定電流下的電感

為了驗證利用本文提出的電感解析模型快速得到的磁鏈曲線族的準確性,在恒定電流分別為5 A、10 A、15 A、20 A的情況下,對定子和轉(zhuǎn)子極由非對齊位置轉(zhuǎn)動到對齊位置時的電感進行解析計算,并與有限元仿真結(jié)果進行了對比,結(jié)果如圖10所示。由圖可以看出:二者總體吻合良好,接近對齊位置(即鐵芯磁飽和嚴重位置)處的誤差均在3%以下,其余位置處的誤差也在9%以內(nèi)。

3 轉(zhuǎn)矩解析計算及有限元仿真驗證

使用能量法來計算開關(guān)磁阻電機的瞬時電磁轉(zhuǎn)矩Tek,公式[24]為

(23)

(24)

Ψ=Li

(25)

式中:Wc為磁共能;θe為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角;i為電流。

基于第2節(jié)所提的非線性電感解析模型,本文求解的磁鏈曲線族如圖11所示。

圖11 磁鏈曲線族的解析計算結(jié)果

(a)A相

(b)B相

(c)C相

(d)合成轉(zhuǎn)矩圖12 轉(zhuǎn)矩解析結(jié)果與有限元仿真結(jié)果

圖12為開關(guān)磁阻電機僅在機械角度位置控制下的電磁轉(zhuǎn)矩解析計算結(jié)果和有限元仿真結(jié)果,可以看出,二者吻合良好,峰值處誤差均在6%以內(nèi)。

4 結(jié) 論

本文首先建立了考慮電機參數(shù)的非線性電感解析模型,然后基于非線性電感解析模型求解得到了磁鏈曲線族,再運用能量法對電機的電磁轉(zhuǎn)矩進行了解析計算,最后通過解析結(jié)果與有限元結(jié)果的對比,驗證了非線性電感解析模型和轉(zhuǎn)矩解析結(jié)果的準確性。

本文所提的非線性電感解析模型考慮了鐵芯磁飽和的影響,能較為準確地求解動態(tài)電感的變化曲線,有利于進一步開展對開關(guān)磁阻電機性能的研究。目前在針對開關(guān)磁阻電機控制策略的研究中,有相當一部分需要大量的磁鏈曲線族數(shù)據(jù)[25]或者需要對轉(zhuǎn)矩進行估計[26-28],而利用本文所提的電感解析模型能夠快速地得到磁鏈曲線族數(shù)據(jù),在此基礎(chǔ)上結(jié)合能量法也能快速地預測轉(zhuǎn)矩,這都有利于開關(guān)磁阻電機的控制。相較于傳統(tǒng)的需要使用有限元仿真或者實驗的方法,能夠節(jié)省大量時間。

此外,本文提出的電感解析模型由于采用分布式等效磁路的建模方法,不僅能包含電機參數(shù),而且與集中式的等效磁路相比還考慮了不均勻氣隙的影響,所以在通過對電機氣隙的不均勻化來提高開關(guān)磁阻電機性能的過程中仍可以使用[2]。