連鑄結(jié)晶器振動位移系統(tǒng)中非線性處理

李 強(qiáng) 方一鳴,2 李建雄 鄭會成

1.燕山大學(xué)工業(yè)計算機(jī)控制工程河北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島，066004 2.國家冷軋板帶裝備及工藝工程技術(shù)研究中心，秦皇島，066004

0 引言

連鑄結(jié)晶器的非正弦振動是發(fā)展高效連鑄的關(guān)鍵技術(shù)之一[1-2]。利用伺服電機(jī)的單方向、變角速度轉(zhuǎn)動來驅(qū)動結(jié)晶器非正弦振動是一種新方式[3]，具有傳動系統(tǒng)簡單、結(jié)構(gòu)緊湊、使用壽命長、節(jié)能降耗、便于維護(hù)等優(yōu)點(diǎn)。

在工業(yè)實(shí)際中，連鑄結(jié)晶器振動系統(tǒng)存在初始時刻偏心軸機(jī)械零位的偏移、外部時變擾動等問題，因此常采用結(jié)晶器振動位移閉環(huán)控制來提高結(jié)晶器的跟蹤精度，保證結(jié)晶器振動的平穩(wěn)性。伺服電機(jī)驅(qū)動的連鑄結(jié)晶器振動位移系統(tǒng)中，系統(tǒng)輸出量為結(jié)晶器振動位移，執(zhí)行機(jī)構(gòu)為伺服電機(jī)。根據(jù)文獻(xiàn)[3]的分析可知，結(jié)晶器的振動位移曲線近似正弦函數(shù)曲線且為中心對稱，而伺服電機(jī)為單方向轉(zhuǎn)動，電機(jī)角位移恒大于0，因此在區(qū)間[0，∞)內(nèi)，伺服電機(jī)角位移與結(jié)晶器振動位移不是一一對應(yīng)，增加了控制器設(shè)計的復(fù)雜性。文獻(xiàn)[4]采用T-S模型將輸出非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性時變系統(tǒng)，并考慮系統(tǒng)的約束條件來設(shè)計控制器；文獻(xiàn)[5]采用反饋線性化的方法對模型進(jìn)行輸入輸出線性化，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的解耦和非線性模型的線性化；文獻(xiàn)[6]通過構(gòu)建輸出與輸入的函數(shù)關(guān)系，采用極值搜索方法設(shè)計控制器。但伺服電機(jī)近似為線性系統(tǒng)，結(jié)晶器振動位移為非線性，采用上述方法求解跟蹤控制問題仍然比較復(fù)雜。

針對輸出方程為非線性周期函數(shù)的問題，文獻(xiàn)[7]采用分段函數(shù)的處理方法，以結(jié)晶器振動周期為界，對不同的區(qū)間段，采用不同的控制策略建立結(jié)晶器振動位移輸出到轉(zhuǎn)角的映射關(guān)系。分段函數(shù)方法已應(yīng)用于多種控制器的設(shè)計[8-10]。但在實(shí)際中，由于采樣周期的存在易造成分段區(qū)間判定條件的誤差，使得分段函數(shù)變化提前或滯后，從而造成計算誤差，影響控制效果。

本文在分段函數(shù)的基礎(chǔ)上提出一種基于誤差的非線性處理算法，通過建立偏心軸轉(zhuǎn)角誤差與結(jié)晶器振動位移的映射關(guān)系，來保證伺服電機(jī)轉(zhuǎn)角到結(jié)晶器振動位移非線性關(guān)系的唯一性。為驗(yàn)證本文非線性處理算法的有效性，設(shè)計了伺服電機(jī)驅(qū)動的連鑄結(jié)晶器振動系統(tǒng)位移環(huán)PID控制器，并通過仿真和實(shí)驗(yàn)研究，對比分析正弦和非正弦兩種給定信號情況下的跟蹤效果，驗(yàn)證本文所提方法的有效性。

1 伺服電機(jī)驅(qū)動的連鑄結(jié)晶器模型分析

1.1 系統(tǒng)模型

伺服電機(jī)驅(qū)動的連鑄結(jié)晶器振動系統(tǒng)裝置見圖1，系統(tǒng)的控制過程為：結(jié)晶器振動位移檢測裝置將結(jié)晶器振動位移反饋到數(shù)控系統(tǒng)，位置控制器根據(jù)期望軌跡信號和實(shí)際檢測信號分析計算出控制律，控制伺服電機(jī)轉(zhuǎn)動，通過減速器、偏心軸和連桿機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)結(jié)晶器振動。控制過程見圖2。

圖1 連鑄結(jié)晶器振動系統(tǒng)裝置圖Fig.1 Diagram of continuous casting mold vibration system

圖2 連鑄結(jié)晶器振動位移系統(tǒng)控制框圖Fig.2 Structure drawing of the control system for the continuous casting mold vibration displacement system

伺服電機(jī)模型為

(1)

式中，θn為電機(jī)轉(zhuǎn)角；ω為轉(zhuǎn)子的角速度；Ud、Uq分別為定子電壓的d、q軸分量；Id、Iq分別為定子電流的d、q軸分量；L為定子繞組等效電感；ψf為轉(zhuǎn)子永磁體產(chǎn)生的磁鏈；Rs為定子電阻；p為電機(jī)的極對數(shù)；J為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量；B為黏性摩擦系數(shù)；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

由于實(shí)際中電流環(huán)的采樣周期很小，針對d-q軸電流分別采用2個PI控制器來穩(wěn)定跟蹤誤差，控制器參數(shù)值由伺服控制器自整定，因此，本文主要基于式(1)的前兩個方程設(shè)計位置環(huán)控制器，即

(2)

在實(shí)驗(yàn)室的理想情況下，模型參數(shù)不考慮外部的影響，均看作常值。

機(jī)械傳動機(jī)構(gòu)主要包括偏心軸、連桿機(jī)構(gòu)及結(jié)晶器振動臺，偏心軸連桿結(jié)構(gòu)見圖3。

圖3 偏心軸Fig.3 Eccentric shaft

根據(jù)文獻(xiàn)[3]分析可得機(jī)械傳動部件機(jī)理模型：

S?hsinθm

(3)

式中，h為結(jié)晶器振動系統(tǒng)振幅；θm為偏心軸角位移，θm=θn/i；i為減速齒輪減速比。

通過分析式(2)、式(3)可知，在進(jìn)行位移反饋控制時，構(gòu)建結(jié)晶器振動位移與伺服電機(jī)轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系能有效簡化控制器設(shè)計。但結(jié)晶器振動位移為周期函數(shù)，而偏心軸角位移與伺服電機(jī)角位移為線性關(guān)系，偏心軸轉(zhuǎn)角與結(jié)晶器位移間的正弦函數(shù)關(guān)系在[0，∞)內(nèi)的逆解不唯一。因此，有效解決結(jié)晶器振動位移與偏心軸轉(zhuǎn)角間一一對應(yīng)的關(guān)系，能夠簡化控制器設(shè)計。

1.2 現(xiàn)有方法分析

(4)

圖4 偏心軸轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)化過程Fig.4 Conversion process of the eccentric shaft angle

本文在文獻(xiàn)[7]分段函數(shù)的基礎(chǔ)上提出了一種非線性處理算法，通過建立偏心軸轉(zhuǎn)角誤差與結(jié)晶器振動位移的映射關(guān)系，保證伺服電機(jī)轉(zhuǎn)角與結(jié)晶器振動位移非線性關(guān)系的唯一性。

2 連鑄結(jié)晶器振動位移系統(tǒng)非線性處理算法

針對偏心軸轉(zhuǎn)角與結(jié)晶器振動位移的非線性周期函數(shù)問題，以及k值變化可能提前或滯后的特點(diǎn)，提出一種基于誤差的非線性處理算法。

圖5 正弦函數(shù)在象限區(qū)間中的對應(yīng)關(guān)系Fig.5 Corresponding relation between reference circle and sine function

假設(shè)1 結(jié)晶器振動位移S及期望軌跡S*是連續(xù)可微的，一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)存在且有界。

假設(shè)2 結(jié)晶器振動位移S及期望軌跡S*的相位差小于π/2。

(5)

證明：

首先，根據(jù)實(shí)際工況和圖5所示，結(jié)合結(jié)晶器振動系統(tǒng)模型，可以得出：

(6)

則綜合上述分析可得

(7)

根據(jù)式(6)、式(7)可以得出

其次，證明結(jié)晶器角位移輸出誤差的連續(xù)性[12]。

假設(shè)結(jié)晶器振動位移實(shí)際信號值滯后于期望信號值，相應(yīng)的反正弦函數(shù)值如圖6所示，圖中，taj表示期望信號為極值的時刻；tcj表示實(shí)際信號為極值的時刻；在taj和tcj時刻之間，為便于分析，選取實(shí)際信號與期望信號值相等的時刻為tbj。則根據(jù)式(5)的表達(dá)式：

圖6 利用反正弦角度值求解Δθm的過程Fig.6 Solution process of Δθmbased on the arcsine value

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

同理可以證明，式(5)在時刻taj、tbj、tcj(j=1,2,…)是連續(xù)的。

對于結(jié)晶器實(shí)際振動位移超前期望信號等情況，可采用類似的方法證明式(5)的連續(xù)性，本文不再贅述。證畢。

根據(jù)推論1可知，結(jié)晶器角位移輸出誤差可以通過結(jié)晶器振動位移和期望位移及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系來確定。伺服電機(jī)角位移是單調(diào)遞增的，可以推出伺服電機(jī)角位移誤差：

Δθn=iΔθm

(14)

通過推論1可以看出，在非線性處理算法過程中，可以根據(jù)結(jié)晶器位移及其導(dǎo)數(shù)建立偏心軸角位移誤差與結(jié)晶器振動位移的映射關(guān)系。該算法涉及對結(jié)晶器位移求導(dǎo)。工業(yè)控制中，求導(dǎo)計算很難實(shí)現(xiàn)，且現(xiàn)場復(fù)雜環(huán)境容易對信號造成干擾，因此，需要構(gòu)造含有濾波功能且不基于對象模型的微分器。為保證微分器的跟蹤性能和濾波性能，本文基于雙冪次函數(shù)設(shè)計了非線性微分器。

引理1 下面的系統(tǒng)相對于原點(diǎn)是有限時間收斂的：

(15)

農(nóng)田是保證農(nóng)民經(jīng)濟(jì)收入的基礎(chǔ)，加強(qiáng)小型農(nóng)田水利工程建設(shè)能夠保證農(nóng)作物的增產(chǎn)和人畜飲水，從而促進(jìn)農(nóng)民經(jīng)濟(jì)收入和農(nóng)村經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，但我們也不能一味的追求經(jīng)濟(jì)利益而忽略了賴以生存的生態(tài)環(huán)境，下面我們就現(xiàn)在小型農(nóng)田水利工程中存在的問題進(jìn)行分析并提出相關(guān)的方法以供農(nóng)業(yè)部門的參考。

證明:

選擇Lipschitz連續(xù)的Lyapunov函數(shù)：

(16)

則有

(17)

給定任意實(shí)數(shù)σ>0和系數(shù)(c1，c2)，假設(shè)存在常數(shù)g滿足如下方程：

(18)

則可以推出

(19)

由于c1，c2>0，且0<α1<1，0<α2<1，所以k<0，則系統(tǒng)平衡點(diǎn)(0，0)是全局有限時間穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

根據(jù)引理1可知，基于雙冪次函數(shù)設(shè)計的非線性微分器能夠保證在有效時間內(nèi)跟蹤給定量，并同時得出數(shù)值的導(dǎo)數(shù)。

定理1 下面所示的非線性微分器：

(20)

對于二階連續(xù)可導(dǎo)的信號v(t)，存在μ>0(其中，μα2>2)和Γ>0，當(dāng)t>ξΓ時，滿足

x1-v(t)=O(ξμα2)

證明:

即

根據(jù)引理1可知，Lyapunov函數(shù)是Lipschitz連續(xù)的，則一定存在其Lipschitz常數(shù)CL[14]，因此可得

D+(V°Z)(τ)=

v″(τ)]T]-[z2-a1sig(z1)α1-a2sig(z2)α2]T}≤

通過坐標(biāo)變換，對于t>ξΓ，可得‖[e1ξe2]‖≤ξμα2pημ即|e1|≤ξμα2pημ，|e2|≤ξμα2-1pημ。

3 仿真和實(shí)驗(yàn)

3.1 控制系統(tǒng)的仿真

為驗(yàn)證本文所提非線性處理算法的有效性，首先采用仿真技術(shù)對系統(tǒng)的動態(tài)性能進(jìn)行分析。利用MATLAB/Simulink搭建系統(tǒng)仿真模型，對比文獻(xiàn)[7]中基于分段函數(shù)的非線性處理方法，采用工業(yè)中常用的PID控制，分別對正弦和非正弦兩種給定信號進(jìn)行了對比分析。

伺服電機(jī)驅(qū)動的連鑄結(jié)晶器振動試驗(yàn)臺中機(jī)械部分參數(shù)如下：減速比i=5.114 5，結(jié)晶器振幅h=3 mm；永磁同步電機(jī)的參數(shù)：PN=20.4 kW，IN=45 A，nN=1 500 r/min，L=4.6 mH，ψf=0.96 Wb，B=0.004，Rs=0.14 Ω，p=3,J=0.054 7 kg·m2。微分器參數(shù)a1=a2=2，ξ=0.1，α1=0.4，α2=1.6。

系統(tǒng)整定后的直軸電流PID控制器參數(shù)Kp1=12.982 V/A，τ1=2 ms；交軸電流PID控制器的參數(shù)Kp2=12.982 V/A，τ2=2 ms；位置環(huán)PID控制器參數(shù)Kp3=200 V/A，τ3=100 ms。

(1)給定信號為正弦信號S*=hsinωt，其中，ω=πf/30；f為連鑄結(jié)晶器非正弦振動頻率；仿真中取f=13/6 Hz。正弦振動時，負(fù)載TL=(5.133 5+ 6.498 5sinωt)N·m。

結(jié)晶器啟動位置的不確定性使得結(jié)晶器存在一定的初始偏差，取初始時刻偏心軸機(jī)械零位偏移d=0.2rad。仿真結(jié)果如圖7所示。可以看出，與分段函數(shù)法相比，在控制器參數(shù)相同的情況下，本文方法具有較好的跟蹤效果，跟蹤精度較高，動態(tài)性能好。

(2)給定的位移信號為德馬克非正弦波形:

(b)位移跟蹤誤差曲線圖7 正弦信號時的結(jié)晶器軌跡及誤差曲線Fig.7 Mold tracking and tracking error curves with sine signal

非正弦振動的負(fù)載為

TL=(5.133 5+6.498 5sin(ωt-Asinωt))N·m

式中，σ為波形偏斜率。

仿真中取f=13/6 Hz，σ=0.24。初始時刻的偏心軸機(jī)械零位偏移為0.2 rad。仿真結(jié)果如圖8所示?？梢钥闯?，給定結(jié)晶器振動位移為非正弦波形時，本文的非線性處理算法在跟蹤速度和跟蹤精度方面優(yōu)于分段函數(shù)處理算法，具有較好的控制效果。

(a)位移跟蹤軌跡曲線

(b)位移跟蹤誤差曲線圖8 非正弦信號時的結(jié)晶器軌跡及誤差曲線Fig.8 Mold tracking and tracking error curves with non-sinusoidal signal

3.2 控制系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本文所提非線性處理算法的有效性，在連鑄結(jié)晶器振動實(shí)驗(yàn)臺上進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)平臺由數(shù)控部分和機(jī)械部分組成，如圖9所示。數(shù)控部分由西門子的S7-400PLC、FM-458等模塊和伺服驅(qū)動控制器S120組成，機(jī)械部分由減速器、連桿機(jī)構(gòu)及連鑄結(jié)晶器振動臺組成。

1.伺服電機(jī) 2.減速器 3.聯(lián)軸器 4.偏心軸 5.連桿 6.結(jié)晶器振動臺 7.伺服驅(qū)動控制器 8.PLC圖9 伺服電機(jī)控制柜和連鑄結(jié)晶器振動臺Fig.9 Servo motor control cabinet and vibration platform of continues casting mold

連鑄結(jié)晶器振動位移控制系統(tǒng)中，伺服電機(jī)的電流環(huán)由西門子的伺服驅(qū)動器S120通過PI控制實(shí)現(xiàn)，PI控制器參數(shù)可通過S120伺服驅(qū)動器自整定。在此基礎(chǔ)上，利用本文提出的非線性處理算法對結(jié)晶器實(shí)際位移跟蹤值做映射處理，設(shè)計位移環(huán)PI控制器。在裝有西門子Step7軟件的PC機(jī)上編寫數(shù)據(jù)采集程序，結(jié)晶器的位移通過位移傳感器采集到PLC，再上傳到上位機(jī)中進(jìn)行處理，通過WinCC監(jiān)控畫面顯示。

圖10所示為結(jié)晶器振動期望軌跡為正弦信號時，閉環(huán)控制下結(jié)晶器振動位移和速度曲線,圖中曲線分別為結(jié)晶器正弦振動時的期望軌跡與相應(yīng)的實(shí)際曲線。通過圖10可以看出，基于本文非線性處理算法的PI閉環(huán)控制能夠有效減小結(jié)晶器初始相位偏差并將其保持在一定的范圍內(nèi)，實(shí)現(xiàn)結(jié)晶器振動位移的漸近跟蹤控制，表明期望軌跡為正弦信號時，所設(shè)計非線性處理算法有效。

圖11所示為結(jié)晶器振動期望軌跡為非正弦信號時，閉環(huán)控制下結(jié)晶器振動位移和振動速度曲線,圖中曲線分別為結(jié)晶器非正弦振動時的期望軌跡與相應(yīng)的實(shí)際曲線。通過圖11可以看出，采用非線性處理的PI閉環(huán)控制可以實(shí)現(xiàn)非正弦情況下結(jié)晶器振動位移的跟蹤控制，表明所設(shè)計的非線性處理方法可以有效解決周期函數(shù)逆解不唯一的問題。

4 結(jié)論

本文通過建立偏心軸轉(zhuǎn)角誤差與結(jié)晶器振動位移之間的非線性映射函數(shù)關(guān)系，來保證伺服電機(jī)轉(zhuǎn)角與結(jié)晶器振動位移非線性關(guān)系的唯一性，并通過設(shè)計的PID控制器來驗(yàn)證非線性處理方法的有效性。分別采用MATLAB仿真及伺服電機(jī)驅(qū)動的連鑄結(jié)晶器振動實(shí)驗(yàn)臺，對正弦和非正弦位移給定信號進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。仿真結(jié)果表明，與分段函數(shù)方法相比，基于本文非線性處理算法設(shè)計的PID控制器在跟蹤速度和精度上均有提高，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所設(shè)計的方法有效。

(a)位移跟蹤曲線

(b)速度跟蹤曲線圖10 結(jié)晶器正弦振動時的位移和速度曲線Fig.10 Mold displacement and velocity curves under sine vibration

(a)位移跟蹤曲線

(b)速度跟蹤曲線圖11 結(jié)晶器非正弦振動時的位移和速度曲線Fig.11 Mold displacement and velocity curves under non-sinusoidal vibration