初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的有效引導(dǎo)

陳雷 朱建民

[摘 要] 深度學(xué)習(xí)是核心素養(yǎng)培育的重要途徑. 深度學(xué)習(xí)不會(huì)自然發(fā)生，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，研究學(xué)生的前概念、促進(jìn)事實(shí)性知識(shí)與概念性知識(shí)的平衡、強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用，并通過學(xué)習(xí)模型的建立，可以保證深度學(xué)習(xí)的發(fā)生.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；深度學(xué)習(xí)；有效引導(dǎo)

在討論核心素養(yǎng)培育的過程中，深度學(xué)習(xí)得到了很多人的關(guān)注，一般認(rèn)為，深度學(xué)習(xí)是培育學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑. 當(dāng)前，對(duì)深度學(xué)習(xí)的研究視角是多元的，其中學(xué)習(xí)科學(xué)視角下的深度學(xué)習(xí)界定，是比較適合教學(xué)的. 在學(xué)習(xí)科學(xué)的視角下，深度學(xué)習(xí)被定義為“學(xué)生在學(xué)習(xí)原理的支配之下，在具體的學(xué)習(xí)情境中以核心概念為主要學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解性和創(chuàng)新性學(xué)習(xí)”. 對(duì)于初中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)而言，深度學(xué)習(xí)重在數(shù)學(xué)思維的參與，重在學(xué)生的先前經(jīng)驗(yàn)在新學(xué)習(xí)情境中跟數(shù)學(xué)問題發(fā)生相互作用，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生有效信息的加工，重在問題解決過程中數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用. 通過這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力可以直接得到培養(yǎng)，邏輯推理可以自然運(yùn)用，數(shù)學(xué)建模會(huì)逐步成為學(xué)生的自然意識(shí)，而這三者就組成了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的框架（著名數(shù)學(xué)教育專家史寧中教授就將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)歸納為這三點(diǎn)）.

需要注意到的現(xiàn)實(shí)是，深度學(xué)習(xí)并不會(huì)自然發(fā)生，如果沒有教師的引導(dǎo)，可以說絕大多數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)都會(huì)處于淺學(xué)習(xí)的狀態(tài). 要讓學(xué)生真正進(jìn)入深度學(xué)習(xí)狀態(tài)，離不開教師的有效引導(dǎo). 本文旨在討論初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何進(jìn)行有效的引導(dǎo)，以促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的有效發(fā)生，下面主要從以下幾個(gè)方面進(jìn)行討論.

關(guān)注前概念，奠定深度學(xué)習(xí)基礎(chǔ)

深度學(xué)習(xí)首先是有效的學(xué)習(xí). 有效的學(xué)習(xí)是以尊重學(xué)生的前概念為基礎(chǔ)的. 對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，前概念必須引起重視. 日常教學(xué)中的學(xué)生學(xué)習(xí)之所以出現(xiàn)淺學(xué)習(xí)的情形，一個(gè)重要原因是，教師在教學(xué)中更多的將思路放在基于數(shù)學(xué)邏輯的推理上，盡管數(shù)學(xué)知識(shí)的體系離不開邏輯，但對(duì)于初中生來說，如果過多地側(cè)重于邏輯與推理，那學(xué)生的學(xué)習(xí)將失去認(rèn)知基礎(chǔ)，尤其將失去形象思維基礎(chǔ). 顯然，忽視了前概念的利用，學(xué)生的學(xué)習(xí)必將失去生活這個(gè)重要的根基. 那么，初中數(shù)學(xué)如何有效地利用學(xué)生的前概念呢？筆者在實(shí)踐的基礎(chǔ)上總結(jié)后認(rèn)為，前概念的利用主要還是應(yīng)當(dāng)在數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)上.

例如，在“平行四邊形”的教學(xué)中，“兩組對(duì)邊分別平行”的認(rèn)知建構(gòu)并不是一個(gè)難點(diǎn)，但認(rèn)真研究學(xué)生的思維會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生所認(rèn)識(shí)的平行，很大程度上就是線的平行，是抽象思維加工的結(jié)果，但同時(shí)又是以想象表象的形式存在的. 而且學(xué)生大腦中關(guān)于平行四邊形的認(rèn)知往往是固態(tài)的而不是動(dòng)態(tài)的，這樣的思維基礎(chǔ)在平行四邊形新知識(shí)學(xué)習(xí)時(shí)往往不會(huì)有太大的障礙，但在后續(xù)的問題解決中，往往會(huì)因?yàn)槿狈ψ兓纬烧系K. 考慮到這個(gè)問題，筆者在平行四邊形新知學(xué)習(xí)時(shí)，充分讓學(xué)生表述自己對(duì)平行四邊形的理解，并舉出自己熟悉的事物來進(jìn)行說明. 這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的前概念，同時(shí)讓學(xué)生主動(dòng)加工了自己的前概念. 如舉出生活中晾衣架的例子之后，還可以借助語言，描述出在推動(dòng)晾衣架的過程中，平行四邊形的變化情況，進(jìn)而判斷出這是角的變化而非邊長(zhǎng)的變化. 而在判斷角的變化過程中又想到平行線的性質(zhì)，使得角度變化的判斷又從定性走向定量. 在這樣的變化過程中，學(xué)生對(duì)平行四邊形的表象要豐富得多，前概念自然也就利用得充分得多. 如果教師在此過程中再適當(dāng)引導(dǎo)，并注意提醒學(xué)生數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用，那這個(gè)學(xué)習(xí)過程就將學(xué)生的前概念與平行四邊形知識(shí)有效地聯(lián)系了起來，從而奠定了深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).

此外，在問題解決中也有這樣的前概念利用機(jī)會(huì)，尤其是當(dāng)問題情境與生活素材相關(guān)且學(xué)生無法直接利用時(shí)，教師擇機(jī)激活學(xué)生的前概念也非常有益. 由于其機(jī)制與概念建構(gòu)大同小異，故這里不贅述.

求知識(shí)平衡，強(qiáng)化深度學(xué)習(xí)條件

這里所說的知識(shí)平衡，主要是指事實(shí)性知識(shí)與概念性知識(shí)的平衡. 學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必然會(huì)基于事實(shí)性知識(shí)建構(gòu)概念性知識(shí)，這兩者偏執(zhí)于任何一端，學(xué)習(xí)都不能走向深度學(xué)習(xí).

有研究者指出，事實(shí)性知識(shí)與概念性知識(shí)的平衡是一個(gè)雙向過程. 如果學(xué)生的原有概念框架已經(jīng)形成但運(yùn)用不暢，則需要充實(shí)事實(shí)性知識(shí)，以讓學(xué)生更好地理解、運(yùn)用概念；如果學(xué)生的事實(shí)性知識(shí)豐富，則可以讓學(xué)生在事實(shí)性知識(shí)的基礎(chǔ)上提煉概念性知識(shí)，以使概念的形成更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，進(jìn)而形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

教學(xué)“勾股定理的逆定理”時(shí)，筆者注意到學(xué)生在此前學(xué)習(xí)勾股定理的時(shí)候，已經(jīng)研究了較多的直角三角形，更重要的是，在這個(gè)過程中，由于自然的邏輯思維作用，學(xué)生也已經(jīng)開始思考如下問題：如果滿足a2+b2=c2，那這個(gè)三角形是不是就是直角三角形了呢？筆者判斷，在這樣的思維中，學(xué)生的事實(shí)性知識(shí)充足而概念性知識(shí)需要補(bǔ)充，于是教學(xué)中就進(jìn)行了這樣的設(shè)計(jì)：首先，基于學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，引出“如果滿足a2+b2=c2，那這個(gè)三角形是不是就是直角三角形”這個(gè)問題，并讓學(xué)生基于直覺判斷“是”還是“不是”——這一步的目的是提取學(xué)生的事實(shí)性知識(shí). 其次，讓學(xué)生基于已有的勾股定理以及產(chǎn)生的問題，明晰“互逆命題”這個(gè)概念，并讓學(xué)生判斷，如果原命題正確，那其逆命題是否一定正確. 這需要學(xué)生舉出此前熟悉的其他例子來佐證，從而為判斷勾股定理逆命題正確與否提供更多的概念性知識(shí). 最后，讓學(xué)生證明勾股定理的逆命題是否成立. 具體的證明過程延續(xù)傳統(tǒng)的教學(xué)思路，但在學(xué)生認(rèn)同了勾股定理逆命題的正確性，并建立了互逆定理的認(rèn)識(shí)之后，再讓學(xué)生回過頭來反思剛才的學(xué)習(xí)過程，并有意識(shí)地從事實(shí)性知識(shí)與概念性知識(shí)兩個(gè)角度幫學(xué)生建立聯(lián)系，以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到勾股定理逆定理的建立既需要前面豐富的直角三角形知識(shí)作為支撐，同時(shí)需要經(jīng)由嚴(yán)密的邏輯推理來形成互逆命題，進(jìn)而形成互逆定理. 事實(shí)證明，經(jīng)由這樣的過程，學(xué)生的思維是充分的，建立勾股定理逆定理的過程是豐富的，學(xué)生關(guān)于直角三角形中勾股定理的正反運(yùn)用認(rèn)識(shí)是深刻的，這是一個(gè)有效的深度學(xué)習(xí)過程.

事實(shí)性知識(shí)與概念性知識(shí)的平衡，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的具體演繹中是否拿捏得當(dāng)，取決于教師對(duì)學(xué)生思維中兩種知識(shí)的了解程度. 教師只有知道學(xué)生原有認(rèn)識(shí)偏向于哪一種類型的知識(shí)，才能在教學(xué)中有效地向另一知識(shí)牽引，從而讓學(xué)生在追求知識(shí)平衡的過程中實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

重思想方法，保障深度學(xué)習(xí)發(fā)生

對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，數(shù)學(xué)思想方法的重要性不言而喻. 早在課程改革之初，數(shù)學(xué)思想方法就成為重點(diǎn)關(guān)注的對(duì)象之一，且在課程改革推進(jìn)的過程中引發(fā)了各路專家的熱議. 與其他討論點(diǎn)不同的是，數(shù)學(xué)思想方法的重要性是公認(rèn)的，而對(duì)于如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，則出現(xiàn)了多元主張. 在深度學(xué)習(xí)的研究視域中，思想方法與學(xué)科本質(zhì)高度相關(guān)，而在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，思想方法的建立更與學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的認(rèn)識(shí)有關(guān). 筆者以為，只有真正建立了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的科學(xué)認(rèn)識(shí)，才能讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育得到保證.

坦率地講，當(dāng)前初中生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的認(rèn)識(shí)是偏頗的，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)就是套公式解題，認(rèn)為數(shù)學(xué)就是為了追求計(jì)算的準(zhǔn)確性，而這些認(rèn)識(shí)又恰恰是在“刷題”的過程中形成的. 對(duì)于絕大多數(shù)一線教師來說，有效的應(yīng)試手段仍然是“刷題”，這個(gè)現(xiàn)象無法回避，但筆者仍然認(rèn)為，在初中數(shù)學(xué)概念、規(guī)律的學(xué)習(xí)中，在將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于問題解決的過程中，要滲透數(shù)學(xué)思想，這不僅對(duì)應(yīng)試有益，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育來說，更是必要條件.

教學(xué)“勾股定理”時(shí)，教師可以給學(xué)生呈現(xiàn)古今中外一些勾股定理的發(fā)現(xiàn)、證明史實(shí)，讓學(xué)生在對(duì)趙爽的“勾股圓方圖”，對(duì)畢達(dá)哥拉斯研究地磚的構(gòu)圖中，自然調(diào)動(dòng)合情推理的思維方法，并利用數(shù)形結(jié)合（拼圖方法）去完成證明過程，同時(shí)在問題解決中又有從復(fù)雜圖形中抽象出勾股定理數(shù)學(xué)模型的過程……在這些過程中，學(xué)生的顯性任務(wù)是證明勾股定理，是利用勾股定理解題，隱性任務(wù)是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn)，這個(gè)體驗(yàn)過程如果得到教師的有意強(qiáng)調(diào)，尤其是基于數(shù)學(xué)思想方法的強(qiáng)調(diào)，那學(xué)生就會(huì)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法在這些過程中所起到的作用，從而促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的有效發(fā)生.

構(gòu)學(xué)習(xí)模型，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)定型

關(guān)于初中數(shù)學(xué)中的深度學(xué)習(xí)，還需要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，即學(xué)習(xí)模型的建立. 這個(gè)模型與數(shù)學(xué)建模相關(guān)，但又不完全相同，其主要是指學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程本身模型化. 譬如數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生進(jìn)入八年級(jí)之后，必須有一個(gè)清晰的對(duì)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)模型的認(rèn)識(shí)，知道一個(gè)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷哪些過程，需要哪些素材的支撐，需要用什么樣的數(shù)學(xué)語言去描述等.

例如，學(xué)習(xí)“函數(shù)”概念時(shí)，學(xué)生必須清晰地認(rèn)識(shí)到，只有在具體事實(shí)中分清常量、變量、自變量等基本概念，函數(shù)的概念才能最終形成；而要準(zhǔn)確地描述一個(gè)函數(shù)，還需要關(guān)注自變量的取值范圍；函數(shù)通常都可以用圖像來描述等. 這些常規(guī)性的認(rèn)識(shí)，必須成為概念學(xué)習(xí)的直覺性認(rèn)識(shí)，這樣才能為深度學(xué)習(xí)提供學(xué)習(xí)品質(zhì)保證.

綜上所述，初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，需要教師基于學(xué)生的學(xué)習(xí)心理而刻意引導(dǎo). 只有這樣，才能保證核心素養(yǎng)的培育有一個(gè)科學(xué)可行的途徑.