考慮可信度的猶豫模糊多屬性決策方法研究

崔春生， 朱向琳， 任亞丹， 祝曉夢

(1.河南財經(jīng)政法大學(xué) 計算機(jī)與信息工程學(xué)院，河南 鄭州 460046； 2.西北工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，陜西 西安 710129； 3.鄭州工商學(xué)院 工學(xué)院，河南 鄭州 451400)

0 引言

作為一項(xiàng)貫穿于日常生活的基本活動，決策在國家建設(shè)、政治、軍事、貿(mào)易和農(nóng)業(yè)等領(lǐng)域也發(fā)揮著不容忽視的作用和影響。在現(xiàn)實(shí)決策問題中，由于考慮因素較多，決策者容易出現(xiàn)猶豫不決、難以抉擇的情形，因此無法直接用經(jīng)典模糊理論描述和建立決策模型。針對決策過程中存在的問題，2010年，Torra和Narukawa提出猶豫模糊集的相關(guān)概念和思想，它容許一個元素的隸屬度可以存在不止一個值[1,2]。在他們的文章中，一些猶豫模糊集的基本運(yùn)算被提出，并將它與另外的幾種拓展模糊集的區(qū)別與聯(lián)系也進(jìn)行了深入對比和討論。猶豫模糊集的一個主要優(yōu)點(diǎn)就是容許存在多個不同的隸屬度，因此評價過程中各屬性值可以用一個猶豫模糊數(shù)來表示，各決策方案則組成一個猶豫模糊集。為了能夠處理不同猶豫模糊環(huán)境下的信息，人們提出了各種集成算子的實(shí)際需要。有序加權(quán)算術(shù)平均(OWA)算子是有關(guān)信息集成方式的最基礎(chǔ)的研究，后來Chiclana F等學(xué)者在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了拓展，提出了有序加權(quán)幾何平均(OWG)算子，并基于此提出了一種應(yīng)用于乘法偏好關(guān)系的決策方法[3]。OWG是一種基于幾何平均的信息集成算子，后來學(xué)者Yager將其擴(kuò)展為一種廣義有序加權(quán)平均算子及誘導(dǎo)的有序加權(quán)平均算子[4]。在此研究基礎(chǔ)上，F(xiàn)odor J等學(xué)者在文獻(xiàn)中基于指數(shù)和擬算術(shù)平均的概念，給出了廣義對數(shù)有序加權(quán)平均(GOWA)算子和擬平均有序加權(quán)算術(shù)平均(QOWA)算子的概念和形式[5]。Merigo J M 等學(xué)者在文獻(xiàn)中基于GOWA算子、IOWA算子以及QOWA算子的概念和特點(diǎn)，將三種集成算子結(jié)合起來，得到一種新的算子，即廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)平均(IGOWA)算子[6]。Yager詳細(xì)介紹了連續(xù)有序加權(quán)算數(shù)平均(COWA)算子和連續(xù)有序加權(quán)幾何平均(COWG)算子的定義和算法，通過決策問題的實(shí)際應(yīng)用驗(yàn)證了其可行性和有效性[7]。

雖然集成算子的研究和應(yīng)用一直受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注，但在復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)決策問題中，往往存在決策專家猶豫不決的情形，且基于集成算子的決策問題具有一定的復(fù)雜性及深度，因此需要對其進(jìn)行深入研究，探討新的信息集成方法。

1 預(yù)備理論

1.1 猶豫模糊集的基本概念

在現(xiàn)實(shí)多屬性決策問題中，往往存在不確定性信息。比如求職者在選擇工作單位過程中，必須綜合考慮每個工作單位的工資水平、晉升空間和企業(yè)文化等因素；又如供應(yīng)商的選擇問題。為生產(chǎn)單位選擇合適的供應(yīng)商時，不僅僅局限于對產(chǎn)品價格的評估，還應(yīng)當(dāng)同時考慮產(chǎn)品質(zhì)量和供貨能力等因素。但由于專家的背景知識領(lǐng)域或?qū)I(yè)水平有所差異，導(dǎo)致一個屬性存在多個評價值的情形，基于此Torra[1]給出的猶豫模糊集恰好準(zhǔn)確的描述了這一問題。

另外假設(shè)猶豫模糊數(shù)所含個數(shù)有限，可用hσ(j)(x)表示hE(x)所有元素中第j小的元素。

例1設(shè)X={x1,x2,x3}為一個給定的集合，其中hE(x1)={0.2,0.4,0.5}，hE(x2)={0.3,0.4},hE(x3)={0.3,0.2,0.5,0.6}分別表示xi(i=1,2,3)關(guān)于E的隸屬度所組成的集合。那么，E就被稱為一個猶豫模糊集，可以表示為：

E={,

x2<0.3,0.4>,x3<0.3,0.2,0.5,0.6>}

定義2[1,8]設(shè)E={{x,hE(x)}|x∈X}是一個猶豫模糊集，可以給出以下定義：

(1)如果對任意的x∈X，有hE(x)=0，則稱E為空猶豫模糊集；

(2)如果對任意的x∈X，有hE(x)=1，則稱E為絕對猶豫模糊集；

(3)如果對任意的x∈X，有hE(x)=[0,1]，則稱E為完全猶豫模糊集。

對于猶豫模糊數(shù)h1和h2，下面給出二者之間大小的對比法則：

(1)如果s(h1)>s(h2)，則h1?h2；

(2)如果s(h1)=s(h2)，則h1=h2。

定義4[8,10]設(shè)λ>0，h，h1和h2是三個猶豫模糊數(shù)，它們的一些基本運(yùn)算定義如下：

(1)h1∪h2=H{max(γ1,γ2)|γ1∈h1,γ2∈h2}；

(2)h1∩h2=H{min(γ1,γ2)|γ1∈h1,γ2∈h2}。

舉例來說明，設(shè)h1和h2是兩個猶豫模糊數(shù)，其中h1={0.2,0.3,0.6,0.8}，h2={0.4,0.5,0.6,0.9}，那么h1與h2的并和交分別為：

h1∪h2={0.4,0.5,0.6,0.8,0.9}
h1∩h2={0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.8}

定義5[8,9]設(shè)α>0，h，h1和h2是三個猶豫模糊數(shù)，則：

1.2 猶豫模糊加權(quán)平均(HFWA)和幾何(HFWG)算子

加權(quán)平均(WA)算子與加權(quán)幾何(WG)算子是在經(jīng)典決策科學(xué)理論中使用最多的集成算子。在多屬性決策過程中，它們被國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了深入研究，已被推廣到不同類型決策信息的集成。

基于猶豫模糊集的特點(diǎn)，Xia與Xu[11]分別將加權(quán)平均(WA)算子與加權(quán)幾何(WG)算子與猶豫模糊數(shù)相融合，得到了兩種猶豫模糊集成算子：

(1)猶豫模糊加權(quán)幾何(HFWG)算子

定義6設(shè)hj(j=1,2,…,n)是一組猶豫模糊數(shù)，則有

HFWG(h1,h2,…,hn)

(1)

(2)猶豫模糊加權(quán)平均(HFWA)算子

定義7設(shè)hj(j=1,2,…,n)是一組猶豫模糊數(shù)，則有

HFWA(h1,h2,…,hn)

(2)

1.3 猶豫模糊有序加權(quán)平均(HFOWA)和幾何(HFOWG)算子

有序加權(quán)平均(OWA)算子和有序加權(quán)幾何(OWG)[3]算子首先將集合內(nèi)的元素進(jìn)行排序，然后進(jìn)行加權(quán)集成，值得注意的是，權(quán)重wj只與相應(yīng)的位置j有關(guān)。

(1)猶豫模糊有序加權(quán)平均(HFOWA)算子

定義8設(shè)h1,h2,…,hn為一組猶豫模糊集，設(shè)HFOWA：Ωn→Ω，則

HFOWA(h1,h2,…,hn)

(3)

(2)猶豫模糊有序加權(quán)幾何(HFOWG)算子

定義9設(shè)h1,h2,…,hn為一組猶豫模糊集，設(shè)HFOWG：Ωn→Ω，則

(4)

這樣看來，有序加權(quán)算子中的權(quán)重向量其實(shí)就是位置權(quán)重，并且其權(quán)重向量的確定方法類似于屬性權(quán)重。這種方法有很多，比如說一種基于正態(tài)分布的方法，該方法根據(jù)正態(tài)分布的特點(diǎn)，主張為兩端的數(shù)據(jù)應(yīng)賦較小的權(quán)重。但是此類算子僅僅與位置相關(guān)聯(lián)，與專家給出的決策數(shù)據(jù)大小無關(guān)。再比如說直接將兩端評價值舍去的決策方法，把最高與最低分去掉之后再進(jìn)行計算。這種方法雖然便于理解、計算方便，但是存在一定的缺陷。并且，大多數(shù)方法沒有考慮專家對被評判領(lǐng)域的熟悉程度(即可信度)對決策結(jié)果的影響，可能導(dǎo)致決策結(jié)果存在偏差。

2 可信度條件下的猶豫模糊多屬性決策模型

隨著社會分工逐漸細(xì)化，為保證多屬性決策過程中專家評價數(shù)據(jù)的合理性和準(zhǔn)確度，需要考慮決策專家對被決策領(lǐng)域的知識水平和熟知程度?；诖四康?，本文引入可信度的概念，表示決策專家對待決策領(lǐng)域的熟悉程度。

步驟1由決策專家同時給出各備選方案ui∈U下的所有屬性cj∈C的猶豫模糊決策值及相應(yīng)可信度，一起構(gòu)成猶豫模糊決策矩陣Di=(hijk)m×m×p。

步驟2本文通過RCIHFOWG算子對決策問題中各備選方案的每個屬性信息進(jìn)行集成，并獲得Gj的綜合決策值為：

Gj=RCIHFOWG(h1,h2,…,hn)

(5)

步驟3本文通過猶豫模糊加權(quán)幾何(HFWG)算子集結(jié)決策專家組成員提供的各備選方案屬性信息，求出各備選方案的相應(yīng)群體綜合表現(xiàn)值；

步驟4通過比較上一步驟中計算出的結(jié)果，得到該決策問題中每個備選方案ui(i=1,2,…,m)的優(yōu)劣次序，進(jìn)一步從備選方案中選出最滿意方案。

3 案例應(yīng)用

M公司作為一家知名的汽車廠家，近幾年來業(yè)務(wù)不斷發(fā)展壯大，已經(jīng)陸續(xù)在中國多個地市建立基地。截止2017年12月底，M公司全年的累計產(chǎn)銷已達(dá)206萬輛。然而，汽車行業(yè)正面臨著越來越嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，中國汽車市場逐漸進(jìn)入“微增長”的新常態(tài)。為保證公司能夠繼續(xù)穩(wěn)健發(fā)展，如何打破固有的思維套路，提升供應(yīng)商管理質(zhì)量，提高客戶的綜合滿意度，是M公司必須盡快找到解決辦法的重要發(fā)展課題?，F(xiàn)M公司需要采購一種汽車離合器，通過市場調(diào)查和研究，從眾多供應(yīng)商中選擇四家作為備選方案，分別為供應(yīng)商A1、供應(yīng)商A2、供應(yīng)商A3和供應(yīng)商A4。

現(xiàn)將四個汽車離合器供應(yīng)商記為U={u1,u2,u3,u4}，(i=1,2,3,4,其中，m=4)，屬性集一共包含3個屬性，分別為供貨能力、價格和產(chǎn)品質(zhì)量，我們記做C={c1,c2,c3}(j=1,2,3, 其中,n=3)。屬性集中各個屬性的權(quán)重向量分別為w={w1,w2,w3}={0.25,0.3,0.4}。

邀請每位專家對各個供應(yīng)商的每一屬性進(jìn)行匿名評估，對于每一方案，專家對各個屬性給出的評估值構(gòu)成的猶豫模糊數(shù)，為便于下文分析，我們將其記做aij。在決策者對所有方案按各屬性評估測度時，由于決策小組中的成員專業(yè)知識水平和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)有所差距，因此需同時給出相應(yīng)可信度，如表3～1所示。如a11={(0.8,0.5),(0.6,0.7),(0.6,0.8)}表示對于產(chǎn)品質(zhì)量屬性，專家小組一共給出3種不同的觀點(diǎn)，也就是說供應(yīng)商A1滿足屬性產(chǎn)品質(zhì)量的程度分別有0.5，0.7，0.8三種。隸屬度的可信度用a11中的二元組第一個分量表示，意味著決策者給出的對該領(lǐng)域的熟悉程度(專業(yè)程度)，分別是0.8，0.6，0.6。

步驟1我們采用猶豫模糊決策矩陣的方式表達(dá)專家提供的所有評估數(shù)據(jù)，給出具有可信度的猶豫模糊決策矩陣如表1所示。

表1 猶豫模糊決策矩陣

步驟2利用RCIHFOWG算子得到各個供應(yīng)商的各屬性信息的個體綜合表現(xiàn)值，具體情況如表2。

步驟3根據(jù)給出的屬性權(quán)重信息利用猶豫模糊加權(quán)幾何(HFWG)算子對供應(yīng)商ui的每個屬性信息cj(j=1,2,…,n)進(jìn)行計算，求得供應(yīng)商Ui的群體綜合表現(xiàn)值：

HFWG(u1)=0.656,HFWG(u2)=0.654,

HFWG(u3)=0.712,HFWG(u4)=0.708

表2 各個供應(yīng)商的各個屬性信息的個體綜合表現(xiàn)值

步驟4通過運(yùn)用猶豫模糊數(shù)的比較規(guī)則，將各方案ui(i=1,2,…,m)按照大小關(guān)系進(jìn)行排序:HFWG(u3)>HFWG(u4)>HFWG(u1)>HFWG(u2),即方案排序?yàn)閡3?u4?u1?u2。

從結(jié)果可以看出，M公司應(yīng)選擇方案，即M公司應(yīng)該選擇供應(yīng)商A3作為最佳合作伙伴。

4 結(jié)論

在現(xiàn)實(shí)世界中，隨機(jī)性與模糊性信息往往與客觀現(xiàn)象如影隨形，導(dǎo)致人們對事物的認(rèn)識總是不完整、不精確的。如何有效處理包含猶豫模糊信息的多屬性決策問題已成為國內(nèi)外學(xué)者們的研究熱點(diǎn)。本文主要針對猶豫模糊多屬性決策問題進(jìn)行理論及其應(yīng)用研究，在現(xiàn)有理論研究的基礎(chǔ)上，引入專家可信度的思想，構(gòu)建一種考慮可信度的猶豫模糊集成算子。該算子考慮到專家對決策問題的熟悉程度或?qū)I(yè)水平，能夠幫助決策者做出更加科學(xué)的選擇。最后，本文將該決策方法應(yīng)用在供應(yīng)商選擇的實(shí)際問題，驗(yàn)證該方法的有效性。該研究不僅充實(shí)了猶豫模糊信息集成理論，而且可以為實(shí)際多屬性決策問題提供理論依據(jù)和方法指導(dǎo)。