部分信息下帶有負(fù)債的均值-方差投資組合問題研究?

郭 婷 劉宣會(huì) 李照琪

（西安工程大學(xué)理學(xué)院 西安 710048）

1 引言

1952 年，Markowitz 提出均值-方差模型，成為現(xiàn)代投資組合理論誕生的標(biāo)志。諸多學(xué)者對(duì)均值-方差模型進(jìn)行研究。衛(wèi)海英，鄧瑋［1］從風(fēng)險(xiǎn)度量方法、理論假定和理論基礎(chǔ)三方面，對(duì)均值-方差理論存在的局限進(jìn)行了闡述，給出了均值-方差理論可以從風(fēng)險(xiǎn)度量，模型本身優(yōu)化以及運(yùn)用算法求解三個(gè)方面優(yōu)化模型。孫世杰，高巖［2］研究稅收、紅利和新型交易成本下摩擦市場(chǎng)的多階段均值-方差模型的投資組合問題，得到了各階段的最優(yōu)投資策略解析表達(dá)式，給出有效前沿。劉利敏、肖慶憲［3］研究了在股價(jià)服從跳-擴(kuò)散模型下的投資選擇問題，利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理和凸分析得到了最優(yōu)投資策略和有效邊界。Zhou 和Li［4］利用LQ 技術(shù)研究連續(xù)時(shí)間下的均值方差投資組合問題。經(jīng)典投資組合理論，假設(shè)投資者掌握完全市場(chǎng)信息，是一種理想化的假設(shè)，與實(shí)際情況不相符合。在部分信息下研究投資問題與實(shí)際情況更加貼近。1995 年，Lakner［5］研究了部分信息下終端財(cái)富效用最大化問題。Bauerle 和Rieder［6～8］在資產(chǎn)價(jià)格過程服從跳擴(kuò)散過程下，研究了部分信息下期望效用最大化下的最優(yōu)投資組合問題；Honda，Haussman 和Sass［9～10］研究了在馬氏調(diào)制收益率下，在部分信息和完全信息下的投資組合問題。段亞軍、劉宣會(huì)［11］等在部分信息下，考慮了債券和股票價(jià)格之間具有一定相關(guān)性的均值方差投資組合問題。 Sharpe 和Tint［12］提出負(fù)債情形的投資組合問題。楊鵬、王震［13］等在均值-方差準(zhǔn)則下研究了具有負(fù)債的隨機(jī)微分博弈。吳安琪，舒慧生［14］考慮跳躍-擴(kuò)散模型下帶負(fù)債的最優(yōu)資產(chǎn)選擇問題。周新梅［15］研究了在不允許賣空情況下跳擴(kuò)散模型的動(dòng)態(tài)均值-方差資產(chǎn)負(fù)債問題。吳偉平、高建軍和李端［16］研究金融市場(chǎng)所有資產(chǎn)都是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，且風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和債務(wù)之間具有相關(guān)性時(shí)，給出最優(yōu)投資策略和有效前沿的表達(dá)形式。李永武［17］等在部分信息下研究時(shí)間一致的投資組合問題，在競(jìng)爭(zhēng)理論框架下給出相應(yīng)的閉形式的均衡投資策略及相應(yīng)的值函數(shù)。

基于以上研究，我們考慮在部分信息下考慮具有負(fù)債的投資組合問題。運(yùn)用Kalman 濾波理論和非合作博弈的方式處理，得到閉形式的均衡投資組合策略和均衡值函數(shù)。

2 模型與假定

設(shè)(Ω，F(xiàn)t，?)是帶流的完備的概率空間 ，，右連續(xù)且關(guān)于? 完備，表示在t時(shí)刻獲取的信息總和，W1，W2，W3是定義在(Ω，F(xiàn)，?)上的三個(gè)1-維標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)，其相關(guān)系數(shù)為ρ1，ρ2，ρ3， 即表示由過去的股票價(jià)格生成的信息流?，F(xiàn)在假設(shè)市場(chǎng)上有兩個(gè)資產(chǎn)，一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（債券）和一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)，資產(chǎn)（股票）其價(jià)格過程分別滿足：

其中，r表示債券回報(bào)率，σ(t)表示股票的波動(dòng)率，μ(t)表示股票的回報(bào)率，在部分信息下不可觀測(cè)，滿足隨機(jī)微分方程：dμ(t)=k[δ-μ(t)]dt+βdW3(t) 。負(fù)債服從下面跳躍-擴(kuò)散模型：

α(t)表示負(fù)債率，q(t)是負(fù)債波動(dòng)率，用Levy 過程刻畫重大事件對(duì)負(fù)債產(chǎn)生影響，φ(z)表示負(fù)債跳躍的強(qiáng)度，且N?(dz，dt)=N(dz，dt)-η(dz)dt，N(dz，dt)表示Levy 過程在dt時(shí)間內(nèi)，跳躍寬度在dz范圍內(nèi)的跳躍次數(shù)，η(dz)dt表示在dt時(shí)間內(nèi)，在寬度為dz的范圍內(nèi)的平均跳躍次數(shù)，即η(dz)dt=E[N(dz，dt)]，N(dz，dt)與W1，W2，W3相互獨(dú)立。假設(shè)投資者在t時(shí)刻在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資金額為u(t)，在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資金額為X(t)-u(t)，那財(cái)富過程滿足：

定義1（容許策略）投資策略 π={u(t)}0≤t≤T是容許的，如果滿足：

1）{u(t)}0≤t≤T是Gt可測(cè)的；

2）E∫0T|u(t)|2dt＜+∞ ；

3）隨機(jī)微分方程（4）有唯一的解。

所有滿足上述條件的可容許測(cè)略集，用Π 表示。

3 模型求解及主要結(jié)果

目標(biāo)函數(shù)為

最優(yōu)均衡投資組合策略π*，γ表示風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，Et，x，μ[?]=E[?|Xπ(t)=x，μ(t)=μ]，由于J(t，x，μ) 關(guān) 于Et，x，μ[X(T)]非線性的，導(dǎo)致上述問題變?yōu)闀r(shí)間不相容的問題（參見文獻(xiàn)［18］），Bellman 最優(yōu)化原則不成立，采用非合作博弈的方式處理問題，首先給出均衡策略的概念。

定義2（均衡策略）可容許投資策略π*是均衡投資策略 ，當(dāng)對(duì)所有u∈R，h>0 ，(t，x)∈成立，其中：

均衡值函數(shù)V(t，x)=J(t，x，π*)。

將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行如下變化：

引理1（驗(yàn)證定理）若目標(biāo)函數(shù)的值函數(shù)V存在，且V，g，u*:[0，T]×R×R→R，則一定滿足下面廣義的HJB系統(tǒng)：

其中g(shù)(t，x，μ)=Et，x，μ[XTπ*]，π*是目標(biāo)函數(shù)的均衡投資策略，這一定理是Bjork and Murgoc（i2010）中的一中特殊情況，具體證明可參考文獻(xiàn)［18］。

首先運(yùn)用Kalman 濾波理論將部分信息下的問題轉(zhuǎn)化為完全信息下的問題，即(t)=E[μ(t)|Gt]，由文獻(xiàn)［11］可得到，

根據(jù)式（5）、（7）、（8），得：

根據(jù)式（9）、（10）、（11），廣義HJB系統(tǒng)化簡(jiǎn)為

定理1廣義的HJB系統(tǒng)關(guān)于u求導(dǎo)，得到：

證明：由于財(cái)富過程的線性結(jié)構(gòu)，與有界的形式保持一致，因此可假設(shè)

其中b(t)，c(t)，d(t)，B(t)，C(t)，D(t)在定理1中給出，γ是風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)。

4 結(jié)語

在金融市場(chǎng)是由一個(gè)股票和一個(gè)債券組成，負(fù)債服從一個(gè)Levy 過程時(shí)，運(yùn)用卡爾曼濾波理論，及構(gòu)造求解廣義HJB 方程。得到部分信息下帶有負(fù)債的均值-方差均衡投資策略及相應(yīng)的值函數(shù)。