關(guān)于數(shù)軸上的動點壓軸題的研究

吳坤

初一上學(xué)期，學(xué)生從小學(xué)進(jìn)入到中學(xué)一個過渡及轉(zhuǎn)變的時間，學(xué)生的知識體系也在逐漸的完善和加深，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上，到期末，學(xué)生最怕的一類題型即為數(shù)軸上的動點題，遇到這類題目，只需要理解并應(yīng)用兩個“把握”，絕大部分的數(shù)軸上的動點題都可以迎刃而解。

孩子們從小學(xué)升上初中，學(xué)習(xí)的知識體系也隨之發(fā)生了改變，數(shù)學(xué)從原來的單純數(shù)的內(nèi)容，漸漸的向代數(shù)與幾何兩部分演變。而在初一年上學(xué)期最讓學(xué)生抓狂的就屬數(shù)軸上的動點題和幾何中的“動角”題了，其實，這兩類題型都有其解題技巧，只要掌握了這些技巧，解這些題目就會得心應(yīng)手，也就能撕破這些“紙老虎”啦。

那么，我們今天就來講講第一類壓軸題型，數(shù)軸上的動點題，我們先拿下面這個例題來進(jìn)行分析，從而歸納總結(jié)這類壓軸題的解題方法。例題如下：

例：如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為-2，點B表示的數(shù)為8，點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，同時點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒（t>0）

（1）A，B兩點間的距離AB=?????????? ，線段AB的中點表示的數(shù)為??????? 。

（2）求當(dāng)t為何值時，P，Q兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數(shù);

（3）求當(dāng)t為何值時，;

（4）若點M為PA的中點，點N為PB的中點，點P在運(yùn)動過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由，若不變，請求出線段MN的長。

首先，這里先補(bǔ)充兩個知識點：

1、若數(shù)軸上點A，點B表示的數(shù)分別為a，b，則A，B

兩點之間的距離AB=︱a-b︱;

2、線段AB的中點表示的數(shù)=。

從而，第一題的答案就比較明顯，AB=︱-2-8︱=︱-10︱=10，線段AB的中點表示的數(shù)=。

接下來，先介紹一下數(shù)軸上的動點題該怎么解決，就是兩個把握：

1、把握住每個動點所代表的數(shù)為什么;

2、把握住涉及到的線段，用絕對值的形式來表示。

根據(jù)這兩個思想，（2）（3）兩小題就可以迎刃而解了。我們先來研究一下第（2）題，把P，Q兩點所代表的數(shù)表示出來，點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，所以點P所代表的數(shù)=-2+3t，點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運(yùn)動，則點Q所代表的數(shù)=8-2t。因為P，Q兩點相遇，所以P，Q兩點所代表的數(shù)就一樣了，所以-2+3t=8-2t，從而得到t=2，也就是當(dāng)t=2時，P，Q兩點相遇。具體解題步驟如下：

由題意得：點P所代表的數(shù)=-2+3t，點Q所代表的數(shù)=8-2t。

∵P，Q兩點相遇

∴-2+3t=8-2t

∴t=2

∴當(dāng)t=2時，P，Q兩點相遇。

對于第（3）題，這里是兩條線段的等量關(guān)系，， 如果要細(xì)分，就必須分為P，Q兩點相遇前與相遇后來進(jìn)行討論，但是，對于線段的長度，我們用絕對值來描述就可以了，比如PQ=︱-2+3t-（8-2t）︱=︱-10+5t︱，因為，所以︱-10+5t︱=5，所以可以解得t=1或3.具體解題步驟如下：

由題意得：PQ=︱-2+3t-（8-2t）︱=︱-10+5t︱

∵，

∴︱-10+5t︱=5

∴-10+5t=5或者-10+5t=-5

∴t=3或1

∴當(dāng)t=3或1時，。

對于第（4）題，按照題目的意思來理解，在P點運(yùn)動過程中，P有可能在線段AB上，也有可能在B點的右側(cè)，畫出來的圖形有以下兩種情況：

①點P在線段AB上? ????????②點P在點B右側(cè)

學(xué)生一畫出圖形，可能就順著想到用幾何的方法來解決，比如：

①點P在線段AB上時

②點P在點B右側(cè)

∵M(jìn)，N分別為PA，PB的中點

∵M(jìn)，N分別為PA，PB的中點

綜上所述：MN的長度不會發(fā)生變化，都為定值5.

但其實，這種類型的題目，不需要進(jìn)行幾何的討論，只需要知道M，N兩點所代表的數(shù)就可以了，然后用絕對值來衡量M，N兩點之間的距離即可，我們知道P點代表的是為-2+3t，由中點的知識可以知道M代表的數(shù)=，N所代表的數(shù)=，所以MN=，所以MN的長度不會發(fā)生變化，恒為5.具體步驟如下：

由題意得：M代表的數(shù)=，N所代表的數(shù)=

∴MN=

∴MN的長度不會發(fā)生變化，恒為5

用代數(shù)的方法，比用幾何的方法要簡便的多。當(dāng)然，題目還是需要視具體情況而定，有的時候幾何的方法也會比代數(shù)的方法要來得簡便。

所以，在初一上學(xué)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，在學(xué)生看來比較難的數(shù)軸上的動點題無非就是要掌握住兩個“把握”， 把握住每個動點所代表的數(shù)為什么;把握住涉及到的線段，用絕對值的形式來表示。這樣，90%以上的數(shù)軸上的動點題都可以輕松的解決。

（作者單位：泉州第一中學(xué)）