深度認(rèn)知：小學(xué)數(shù)學(xué)概念的重構(gòu)與建模13.2%

趙涵菲

【內(nèi)容摘要】“倍”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)一個(gè)比較抽象的概念，也是一個(gè)承前啟后的概念，它是進(jìn)一步學(xué)習(xí)有關(guān)倍數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、比例等知識(shí)的基礎(chǔ)。本文作者以“2倍”為起點(diǎn)與突破口并建模再走向“多倍”的理解，從經(jīng)歷“建構(gòu)：建立二倍模型”發(fā)展到“解構(gòu)：讓本質(zhì)走向清晰”最后升華到“重構(gòu)：穩(wěn)固概念形成”，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)材料、學(xué)習(xí)方式、學(xué)習(xí)思維的轉(zhuǎn)變，讓孩子更深度理解“倍”的本質(zhì)內(nèi)涵。

【關(guān)鍵詞】倍的認(rèn)識(shí) ?建模 ?思辨與重構(gòu)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開教學(xué)引導(dǎo)者教師，離不開具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程，離不開教學(xué)活動(dòng)的評(píng)價(jià)體系。因此只有在具體的數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視核心素養(yǎng)、圍繞核心素養(yǎng)開展教學(xué)活動(dòng)，才能較好的達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。筆者認(rèn)為教學(xué)應(yīng)緊緊圍繞“倍”的意義理解展開，具體分以下三個(gè)板塊進(jìn)行推進(jìn)。

一、建構(gòu)：建立2倍模型

建構(gòu)是對(duì)結(jié)構(gòu)和建造邏輯的表現(xiàn)形式。知識(shí)存在于具體的、情境性的、可感知的活動(dòng)之中，尤其是概念知識(shí)，絕不是抽象的獨(dú)立于情境的實(shí)體，它們只有通過實(shí)際應(yīng)用活動(dòng)才能真正理解“倍”。本文指通過孩子自主探索用多種形式表征“倍”，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合等思想理解方法理解感悟“倍”，逐漸建構(gòu)模型。

1. 豐富教學(xué)素材，建構(gòu)概念

新課標(biāo)指出，課堂教學(xué)的有效性首先取決于學(xué)生對(duì)知識(shí)生成過程的體驗(yàn)，通過多重體驗(yàn)方式讓學(xué)生感知概念的形成，而一份好學(xué)習(xí)材料是組織學(xué)生體驗(yàn)概念形成過程的重要載體，因此在教學(xué)實(shí)踐中我所采用的學(xué)習(xí)材料是豐富多樣的。

第一環(huán)節(jié)：初步認(rèn)識(shí)“倍”的學(xué)習(xí)素材。

第二環(huán)節(jié)：表征內(nèi)化“倍”的學(xué)習(xí)素材。

第三環(huán)節(jié)：鞏固深化倍的學(xué)習(xí)素材。

教學(xué)所用的學(xué)習(xí)材料很多來自學(xué)生，尤其是新知探究和加深理解的學(xué)習(xí)過程中幾乎所有的學(xué)習(xí)素材都由學(xué)生創(chuàng)作，教師選擇學(xué)習(xí)材料的范圍增加，便于選擇合適的學(xué)習(xí)材料促進(jìn)學(xué)生對(duì)“倍”內(nèi)涵的理解。這樣豐富多樣的學(xué)習(xí)材料給了學(xué)生更大的創(chuàng)造想象空間，不同的學(xué)生可以根據(jù)自己的學(xué)習(xí)能力獲得不同的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和收獲，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，發(fā)揮了學(xué)生的主體作用。

2. 從具象到抽象，再抽象建模

一個(gè)數(shù)學(xué)概念，可以通過多元的形式來表征它?！氨碚鳌笔侵赣枚喾N形式表達(dá)數(shù)學(xué)概念或關(guān)系的行為，也指形式本身。學(xué)生借助各種表征來形成新的理解并表達(dá)數(shù)學(xué)觀念，在不同的數(shù)學(xué)表征之間建立聯(lián)系有助于加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解。

【教學(xué)片段1】2倍建模

1. 出示第一組學(xué)習(xí)材料：3只灰兔和6只白兔，說說灰兔和白兔之間有什么數(shù)量關(guān)系。

2.為什么白兔的數(shù)量是灰兔的2倍？可以用畫一畫、擺一擺來思考如何表達(dá)清楚這個(gè)問題。

生1：灰兔有3只，白兔有6只，那么6只就是3只的2倍。

生2：我們可以把3只灰兔看成1倍，那么6只白兔就是2個(gè)3只，所以6只白兔是灰兔的2倍。

生3：在黑板上用圈一圈，把3只灰兔圈一起看成1份，6只白兔就圈2個(gè)圈，所以白兔的數(shù)量是灰兔的2倍。

3.教師小結(jié)規(guī)范語言：把3只灰兔看成一份，6只白兔有這樣的2份，也是2個(gè)3只，白兔的數(shù)量是灰兔的2倍。

4.出示第二組學(xué)習(xí)材料：3個(gè)綠圓片和6個(gè)紅圓片，

說說兩種圓片的倍數(shù)關(guān)系。

5.出示第三組學(xué)習(xí)材料：學(xué)生創(chuàng)造自己的2倍，思考為什么這三組作品的數(shù)量都不一樣卻都能表示2倍呢？

小結(jié)規(guī)律：

無論以幾個(gè)為1份，只要另一個(gè)量有這樣的2份，那么另一個(gè)量就是標(biāo)準(zhǔn)量的2倍。

6.出示第四組學(xué)習(xí)材料：2倍模型，學(xué)生表達(dá)各自想法。

教師主動(dòng)將講臺(tái)和話筒交給孩子們，通過孩子們的表達(dá)，我們可以非常清楚地看見孩子學(xué)習(xí)的軌跡，層層深入、層層遞進(jìn)。這一板塊的設(shè)計(jì)也突出了利用多元表征，有效地建立“2倍”模型。

其一，實(shí)物表征，注重直觀。借助現(xiàn)實(shí)生活中常見到的灰兔和白兔來理解抽象的數(shù)學(xué)概念，用到了圓片圖和創(chuàng)造出來的各種各樣的2倍圖來幫助孩子進(jìn)一步抽象和概括，確定倍數(shù)關(guān)系與事物外在的形狀、大小、顏色等無關(guān)，只與數(shù)量這個(gè)屬性相關(guān)。

其二，語言表征，抽象概念。在經(jīng)歷豐富的圖形表征后，讓孩子學(xué)會(huì)用語音來描述兩個(gè)數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系，用語言不斷強(qiáng)化對(duì)“倍”的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。

其三，圖式表征，注重解構(gòu)。在實(shí)物表征的基礎(chǔ)上抽象成了“標(biāo)準(zhǔn)性結(jié)構(gòu)”的模型，集合圖作為抽象的模型，統(tǒng)一了不同情境表征中的“倍”的本質(zhì)概念共性，促進(jìn)概念有效構(gòu)建。

二、解構(gòu)：讓本質(zhì)走向清晰

解構(gòu)，意思是分解、消解、拆解、揭示等意思，也可以有分析的意思。本文指通過學(xué)生通過畫一畫、圈一圈、擺一擺、說一說等自主來創(chuàng)造更多的倍數(shù)關(guān)系，進(jìn)一步加深對(duì)“倍”的內(nèi)涵理解，突出“倍”的概念本質(zhì)——兩個(gè)量的比較關(guān)系，強(qiáng)化概念辨析，深入意義理解，使得建構(gòu)的模型更加穩(wěn)固。

1. 多種學(xué)習(xí)方式，解構(gòu)概念

新課標(biāo)指出，學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程。除接受學(xué)習(xí)外，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。因此，創(chuàng)設(shè)一個(gè)“生生互動(dòng)、生生互利”的學(xué)習(xí)環(huán)境尤為重要，讓學(xué)生獲得更大的自由表達(dá)和展示機(jī)會(huì)，讓不同程度的學(xué)生都有任務(wù)驅(qū)動(dòng)，真正激發(fā)他們的學(xué)習(xí)主體性、積極性，在充分的動(dòng)手操作活動(dòng)中感知“倍”的內(nèi)涵意義，提升孩子的學(xué)習(xí)能力。

【片段2】從2倍拓展到多倍

1.同桌合作，用圓片在板貼上擺出有倍數(shù)關(guān)系的2行。思考：假如增加或減少圓片的數(shù)量，倍數(shù)關(guān)系會(huì)發(fā)生怎么樣的變化？

2.學(xué)生上臺(tái)交流展示自己擺出的倍數(shù)關(guān)系。

生1：我把2個(gè)藍(lán)圓片看成一份，6個(gè)黃圓片有這樣的3份，黃圓片的數(shù)量是藍(lán)圓片的3倍。如果再擺2個(gè)黃圓片，那黃圓片的數(shù)量是藍(lán)圓片的4倍。不停地2個(gè)2個(gè)往下擺，我發(fā)現(xiàn)擺幾個(gè)2就是2的幾倍。

生2：我把第二行的1個(gè)紅圓片看成一份，第一行的6個(gè)藍(lán)圓片有這樣的6份，藍(lán)圓片的數(shù)量就是紅圓片的6倍。如果拿掉2個(gè)藍(lán)圓片，那藍(lán)圓片的數(shù)量是紅圓片的4倍。再拿掉2個(gè)藍(lán)圓片，那藍(lán)圓片的數(shù)量是紅圓片的2倍。我發(fā)現(xiàn)數(shù)量幾就是1的幾倍。

這一環(huán)節(jié)，孩子根據(jù)已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，自主創(chuàng)造各種倍數(shù)關(guān)系，對(duì)“倍”的概念本質(zhì)進(jìn)行解構(gòu)，清晰了兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系是當(dāng)把一個(gè)量看成標(biāo)準(zhǔn)量時(shí)，另一個(gè)量里有這樣的幾份，也就是幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量，那么另一個(gè)量就是標(biāo)準(zhǔn)量的幾倍。通過學(xué)生自主創(chuàng)造的學(xué)習(xí)材料，不僅讓孩子對(duì)知識(shí)本質(zhì)更加清晰，同時(shí)也很好地培養(yǎng)了孩子的思維能力。

2.任務(wù)驅(qū)動(dòng)化，解構(gòu)概念

上一環(huán)節(jié)中，孩子自主創(chuàng)造的倍數(shù)關(guān)系，深入直至對(duì)“倍”的核心概念理解，內(nèi)化了“倍”的內(nèi)涵意義。但“1倍”問題經(jīng)常出現(xiàn)于“倍的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中的難點(diǎn)，需要孩子再一次解構(gòu)概念，這樣的解構(gòu)使得思維辨析更為突顯。

【教學(xué)片段3】攻克難點(diǎn)1倍

1.出示1個(gè)藍(lán)圓片和1個(gè)紅圓片有倍數(shù)關(guān)系嗎？有疑問困惑的孩子請(qǐng)你用圈一圈的方式，用剛才學(xué)到的本領(lǐng)試著來解決這個(gè)疑惑。

生1：把1個(gè)藍(lán)圓片看成一份，紅圓片有這樣的1份，紅圓片的數(shù)量是藍(lán)圓片的1倍。反過來，把1個(gè)紅圓片看成一份，藍(lán)圓片也有這樣的1份，藍(lán)圓片的數(shù)量是紅圓片的1倍。

2.剛才還有同學(xué)擺出了4個(gè)綠圓片和4個(gè)黃圓片，這有什么倍數(shù)關(guān)系？

3.觀察這兩幅圖，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生2：當(dāng)倍數(shù)關(guān)系是1倍的時(shí)候，兩個(gè)數(shù)量都是相同的。

這一環(huán)節(jié)，孩子在操作與思考中又一次感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，在精彩的思辨中再一次突出“倍”的概念本質(zhì)，在實(shí)踐操作中多種感官參與，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，促進(jìn)其真正地參與了知識(shí)的創(chuàng)造過程。

三、重構(gòu)：穩(wěn)固概念形成

重構(gòu)（Refactoring）本意指通過調(diào)整程序代碼改善軟件的質(zhì)量、性能，使其程序的設(shè)計(jì)模式和架構(gòu)更趨合理，提高軟件的擴(kuò)展性和維護(hù)性。本文指通過不僅能表達(dá)清楚兩種數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系，還能自主創(chuàng)造、探究倍數(shù)關(guān)系，從一題中可以演繹出一類題。在不改變知識(shí)本質(zhì)的同時(shí)，對(duì)內(nèi)部結(jié)構(gòu)進(jìn)行重新調(diào)整。這樣的結(jié)構(gòu)模型在孩子的腦海里才會(huì)落地生根，才會(huì)讓孩子在思考問題時(shí)做到全面、質(zhì)疑、創(chuàng)新。通過重構(gòu)，讓孩子對(duì)“倍的認(rèn)識(shí)”徹底清晰，讓思維走向通透。

1. 創(chuàng)造倍數(shù)，有效重構(gòu)

杜威認(rèn)為“所有的學(xué)習(xí)都是行動(dòng)的副產(chǎn)品，所以教師要通過‘做促使學(xué)生思考，從而學(xué)得知識(shí)”。因此拓展環(huán)節(jié)，筆者設(shè)置的練習(xí)也是在創(chuàng)造中鞏固新知，發(fā)展學(xué)力。

學(xué)生體會(huì)到△既可以是標(biāo)準(zhǔn)量，也可以是比較量，進(jìn)一步感受“標(biāo)準(zhǔn)量”的重要性，從這“一題”演繹成“這類”題，強(qiáng)調(diào)了“倍”的本質(zhì)就是兩個(gè)量在進(jìn)行比較，標(biāo)準(zhǔn)量的變化，隨之幾倍也相應(yīng)發(fā)生變化。最后，再通過看著這6幅圖來分分類，分成三類：“△少于○的一類，△與○相同的一類，△多于○的一類”。在分類中深刻體會(huì)1倍關(guān)系的特殊性，從而初步滲透后繼學(xué)習(xí)的因數(shù)和倍數(shù)。讓孩子體會(huì)到知識(shí)的結(jié)構(gòu)化、關(guān)聯(lián)化，同時(shí)不同的孩子得到不同的收獲發(fā)展，積累不同的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟到有序思考的思維方法和解題策略。

2. 拓展延伸，提升學(xué)力

華羅庚先生說過：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休。這句話足以證明“數(shù)形結(jié)合”在數(shù)學(xué)中的重要地位。這次教學(xué)實(shí)踐最后的練習(xí)設(shè)置便是很好地把握住了“數(shù)形結(jié)合”的契機(jī)，將數(shù)與形有機(jī)的結(jié)合起來。

這一“數(shù)”“形”合一的練習(xí)設(shè)計(jì)，鼓勵(lì)孩子

從多種角度來思考問題，學(xué)會(huì)把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)

化為合適的幾何圖形，滲透了通過旋轉(zhuǎn)、平移等把

復(fù)雜圖形變成簡單圖形的轉(zhuǎn)化思想，也同時(shí)讓孩子從圖形的直觀特征發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的倍數(shù)關(guān)系，從而達(dá)到化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的。讓孩子在辨析、推理和不斷的思考中重構(gòu)概念，穩(wěn)固內(nèi)化了“倍”的概念本質(zhì)意義。

四、思考：“倍”概念教學(xué)梳理

面對(duì)“倍的認(rèn)識(shí)”這個(gè)“整數(shù)倍”的起始課，通過聚焦教材、教學(xué)、學(xué)情、學(xué)習(xí)素材、學(xué)習(xí)策略等，獲得了“倍”概念教學(xué)的三點(diǎn)心得。

1.概念教學(xué)要不斷地反復(fù)經(jīng)歷有效建模

建構(gòu)主義教學(xué)觀認(rèn)為，概念的建構(gòu)需要反復(fù)多次經(jīng)歷“建構(gòu)—解構(gòu)—重構(gòu)”的過程。概念內(nèi)涵的豐富，就需要學(xué)生多層次、多維度進(jìn)行領(lǐng)悟：從直觀到抽象，從具體到一般，從內(nèi)涵到外延。

2.概念教學(xué)要置身于現(xiàn)實(shí)背景中去理解感悟

數(shù)學(xué)概念是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、抽象的、系統(tǒng)的，而二、三年級(jí)的孩子都是以具體形象思維為主，容易理解、接受具體直觀的感性知識(shí)，因此我們要提供給孩子多樣的、動(dòng)態(tài)的、全面的學(xué)習(xí)素材，去充實(shí)孩子的感性材料。

3.概念教學(xué)要在變式、拓展中厘清本質(zhì)

變式、拓展教學(xué)，通過改變問題的非本質(zhì)屬性而進(jìn)一步達(dá)成對(duì)本質(zhì)的理解，促成學(xué)生尋找概念的橫向比較和縱向聯(lián)系，形成系統(tǒng)的概念，在對(duì)比辨析中增強(qiáng)思維的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)多角度思維的靈活性和發(fā)散性，幫助學(xué)生深入理解概念的內(nèi)涵，把握概念的本質(zhì)，將教材中的知識(shí)內(nèi)化為孩子頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促成知識(shí)的正遷移，發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

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