機(jī)械施工動荷載-采空區(qū)頂板失穩(wěn)判據(jù)

李玉飛，葉義成,2，胡南燕，羅斌玉，胡盛棟，元宙昊

(1.武漢科技大學(xué)資源與環(huán)境工程學(xué)院，湖北 武漢 430081；2.湖北省工業(yè)安全工程技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430081)

由于歷史原因的影響，我國一些露天礦區(qū)形成了大量采空區(qū)[1-3]。采空區(qū)作為潛在的地質(zhì)災(zāi)害之一，影響礦山的正常生產(chǎn)作業(yè)活動。隨著露天開采的進(jìn)行，護(hù)頂厚度的不斷減小，當(dāng)采空區(qū)上方有作業(yè)的采運(yùn)、挖掘等機(jī)械施工荷載時(shí)，頂板容易發(fā)生垮落、塌陷等突發(fā)性災(zāi)害[3-5]，威脅采空區(qū)上方作業(yè)人員和采掘設(shè)備的安全。因此，準(zhǔn)確判斷機(jī)械施工荷載作用下采空區(qū)頂板失穩(wěn)條件是保障露天礦安全生產(chǎn)的重要工作。

目前，學(xué)者大多通過數(shù)值模擬、理論分析等手段，對不同外部荷載作用下礦山空區(qū)頂板穩(wěn)定性問題開展了一些研究。張建文等[2]將機(jī)械施工荷載擬為均布力，采用數(shù)值模擬分析了不同開挖高程下機(jī)械施工靜荷載對采空區(qū)頂板的影響；王樹仁等[3]將施工機(jī)械設(shè)備視為集中簡諧動荷載，基于厚板理論研究了動荷載作用下采空區(qū)頂板應(yīng)力和撓度的變化規(guī)律；鄒友峰等[6]基于突變理論，建立了建筑荷載作用下采空區(qū)頂板巖梁失穩(wěn)的突變模型，獲得了采空區(qū)頂板巖梁保持穩(wěn)定的臨界條件；Nie等[7]考慮斷層錯(cuò)動情況，通過數(shù)值模擬分析了高速公路路面下伏采空區(qū)塌陷、變形特征；李建新等[8]視列車為移動的恒定荷載，分析了列車對采空區(qū)頂板巖層應(yīng)力的影響；江學(xué)良等[9]將車輛荷載簡化為移動的簡諧力，采用梁理論研究了車輛荷載作用下地下硐室頂板的動力響應(yīng)；鄧鵬宏等[10]建立了車輛荷載作用下的采空區(qū)頂板力學(xué)模型，獲得了采空區(qū)頂板安全厚度表達(dá)式，并分析了車速、車質(zhì)量等對頂板的影響；SINGH P K等[11]采用現(xiàn)場監(jiān)測數(shù)據(jù)，分析了露天爆破振動對下伏空區(qū)的動力響應(yīng)。

上述學(xué)者研究了不同外部荷載對空區(qū)頂板穩(wěn)定性的影響，為礦山空區(qū)頂板治理提供了理論支撐。然而，研究大多視移動且非恒定的機(jī)械施工荷載為恒定的靜荷載，將其簡化為均布力或集中力。同時(shí)，采空區(qū)頂板巖層的失穩(wěn)破壞是偏離平衡狀態(tài)的非線性突變過程[6,12]，突變是采空區(qū)頂板結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的一種主要形式。突變理論作為近年來發(fā)展起來的一種非線性科學(xué)理論，它注重研究系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生突變時(shí)外界的條件變化。突變理論已應(yīng)用到動靜荷載下巖石失穩(wěn)破壞[13]、充填體下采空區(qū)頂板結(jié)構(gòu)失穩(wěn)[14]、地下洞室穩(wěn)定性評判[15]、采場頂板-礦柱穩(wěn)定性研究[16]等方面，這些應(yīng)用證明了該理論可以解釋礦巖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的非線性動力學(xué)特征。目前，利用突變理論分析機(jī)械施工動荷載作用下采空區(qū)頂板非線性動力失穩(wěn)的研究并不多見。另外，機(jī)械施工荷載作用下采空區(qū)頂板失穩(wěn)破壞過程的應(yīng)力、應(yīng)變較為復(fù)雜，從能量角度可以避免研究采空區(qū)頂板失穩(wěn)破壞的中間復(fù)雜受力過程[17]。因此，可以考慮從突變失穩(wěn)和能量守恒角度研究機(jī)械施工動荷載-采空區(qū)頂板穩(wěn)定性問題。

基于此，研究需首先分析采空區(qū)頂板破壞特征，將機(jī)械施工荷載簡化為移動簡諧荷載，建立機(jī)械施工動荷載-采空區(qū)頂板力學(xué)模型。然后基于突變理論，獲得機(jī)械施工荷載-采空區(qū)頂板失穩(wěn)判據(jù)；基于能量原理，建立臨界機(jī)械施工荷載計(jì)算模型。最后對采用突變理論和能量原理建立的兩種失穩(wěn)判據(jù)分別進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證。

1 采空區(qū)頂板破壞特征及力學(xué)模型

1.1 采空區(qū)頂板破壞特征

當(dāng)采用房柱法對礦山進(jìn)行開采時(shí)，其未充填的采空區(qū)剖面工程模型如圖1所示[3]。圖1中，當(dāng)采運(yùn)、挖掘等機(jī)械施工荷載駛過采空區(qū)上方時(shí)，將對下伏采空區(qū)頂板形成加載狀態(tài)，并對采空區(qū)頂板產(chǎn)生沖擊作用，使采空區(qū)頂板呈一定規(guī)律的周期性振動。一方面，當(dāng)采空區(qū)頂板的自振頻率與機(jī)械施工荷載的振動頻率接近時(shí)，會引起共振現(xiàn)象，導(dǎo)致采空區(qū)上覆巖層內(nèi)應(yīng)力增大，頂板裂隙失穩(wěn)擴(kuò)展，進(jìn)而引起頂板破壞。另一方面，當(dāng)采空區(qū)頂板厚度不足，采空區(qū)上方機(jī)械施工荷載超過頂板承載極限時(shí)，將導(dǎo)致采空區(qū)頂板發(fā)生屈服或垮落，從而造成地表沉降或塌陷。

圖1 工程模型Fig.1 Engineering model

1.2 采空區(qū)頂板力學(xué)模型

車輛在凹凸不平的采空區(qū)上方路面行駛時(shí)，受到激勵(lì)后將發(fā)生振動，可將地面機(jī)械施工荷載視為移動簡諧力[18]。為簡化分析，采空區(qū)頂板巖層可看作兩端受約束的水平梁，將其視為簡支梁力學(xué)結(jié)構(gòu)模型[9-10]，建立采空區(qū)頂板-移動簡諧荷載力學(xué)模型(圖2)。圖中，p為機(jī)械施工初始靜載；p(t)為移動簡諧力。假設(shè)頂板巖梁在受力變形過程中以彈性破壞為主，且發(fā)生在一個(gè)主慣性平面內(nèi)。設(shè)采空區(qū)頂板長度為L；頂板寬度為b，取單位寬度1 m；頂板厚度為h。

圖2 采空區(qū)頂板-移動簡諧荷載力學(xué)模型Fig.2 Mechanics model of goaf roof-moving simple harmonic force

2 機(jī)械施工動荷載-采空區(qū)頂板失穩(wěn)的突變理論分析

2.1 失穩(wěn)的雙尖點(diǎn)突變模型

為反映采空區(qū)頂板結(jié)構(gòu)在機(jī)械施工荷載動力作用下的非線性特性，設(shè)非平衡合力為[19]：

F=-c(x3+ax+b)(1)

式中：F——非平衡合力/N；

c、a、b——常數(shù)。

簡諧荷載無論取正弦荷載形式還是余弦荷載形式，在簡諧荷載作用下的頂板巖梁響應(yīng)結(jié)果只相差1/4周期，并不影響研究結(jié)果。因此，假設(shè)移動簡諧荷載p(x,t)為：

p(x,t)=p0cosωt(2)

式中：p0——機(jī)械施工荷載的振幅值/MPa；

ω——機(jī)械施工荷載的振動角頻率/(rad·s-1)；

t——振動時(shí)間/s。

頂板巖梁在移動簡諧荷載作用下作簡諧振動，考慮到線性阻尼因素，根據(jù)牛頓第二定律，得到頂板巖梁在機(jī)械施工荷載作用下的振動方程：

(3)

式中：m——微元段的質(zhì)量/kg；

μ——粘滯阻尼系數(shù)。

(4)

式中：β——采空區(qū)頂板結(jié)構(gòu)的阻尼比；

ζ——頂板結(jié)構(gòu)剛度的非線性系數(shù)；

ω0——頂板的初始自振頻率/Hz；

pmax——機(jī)械施工荷載的最大振幅值/MPa。

由于機(jī)械施工荷載形式為諧波，故設(shè)式(4)方程解為：

x(t)=Hcos(ωt+φ)+H0(5)

式中：H——頂板的動力響應(yīng)振幅值/m；

φ——相位差/(°)；

H0——頂板的初始振幅值/m。

將式(5)代入式(4)中，省略三次諧波項(xiàng)，并根據(jù)cosωt和sinωt項(xiàng)前的系數(shù)必為零，得到：

(6)

將式(6)兩端平方相加消去φ，得到：

(7)

對式(7)作微分同胚變換，消去H2項(xiàng)，得到：

(B+M)3+r(B+M)+s=0(8)

其中：

(9)

由突變理論可知，式(8)為尖點(diǎn)突變模型的標(biāo)準(zhǔn)平衡曲面方程，其中r、s為控制變量，B+M為狀態(tài)變量，可將狀態(tài)變量看作由B和M兩個(gè)變量組成，故式(8)可視為由兩個(gè)尖點(diǎn)突變模型構(gòu)成的雙尖點(diǎn)突變模型(圖3)。尖點(diǎn)突變模型作為突變理論中的突變模型之一，其臨界曲面容易構(gòu)造，且?guī)缀沃庇^性強(qiáng)，以上表明機(jī)械施工動荷載-采空區(qū)頂板穩(wěn)定性問題符合突變模型，突變理論適用于機(jī)械施工動荷載-采空區(qū)頂板非線性動力失穩(wěn)研究。

圖3 雙尖點(diǎn)突變模型Fig.3 Double cusp catastrophe model

2.2 突變失穩(wěn)判據(jù)

(1)失穩(wěn)的必要條件

對式(8)中B+M進(jìn)行求導(dǎo)，得到：

3(B+M)2+r=0(10)

聯(lián)立式(8)與式(10)，得到系統(tǒng)分叉集方程：

Δ=4r3+27s2(11)

根據(jù)突變理論知[20]，只有當(dāng)r≤0時(shí)，機(jī)械施工動荷載-采空區(qū)頂板系統(tǒng)穩(wěn)定平衡點(diǎn)才能跨越分叉集，此時(shí)采空區(qū)頂板產(chǎn)生突躍，系統(tǒng)將發(fā)生突變失穩(wěn)。因此，r≤0是系統(tǒng)失穩(wěn)的必要條件。即：

(12)

(2)失穩(wěn)的充分條件

當(dāng)穩(wěn)定平衡點(diǎn)(r,s)位于分叉集位置時(shí)，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，此時(shí)若系統(tǒng)受到外界的微小干擾，系統(tǒng)狀態(tài)都將發(fā)生改變，從而使系統(tǒng)產(chǎn)生突變。因此，當(dāng)Δ=0時(shí)，系統(tǒng)處于臨界平衡穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)Δ>0時(shí)，系統(tǒng)處于平衡穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)Δ<0時(shí)，系統(tǒng)處于失穩(wěn)狀態(tài)。因此，Δ≤0構(gòu)成系統(tǒng)失穩(wěn)的充分條件。由式(11)得到：

3 機(jī)械施工動荷載-采空區(qū)頂板能量臨界狀態(tài)分析

3.1 總能量方程

由于采空區(qū)頂板長寬比一般較大，故忽略轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形對頂板巖梁的影響。根據(jù)彈性理論和能量原理，結(jié)構(gòu)體總能量為該結(jié)構(gòu)體的應(yīng)變能和荷載勢能的組合。若不計(jì)阻尼干擾力作用，由圖2的力學(xué)模型知，系統(tǒng)總能量由集中簡諧荷載做功Wp、頂板彎曲應(yīng)變能Wm、頂板自重做功Wg以及頂板自重產(chǎn)生的勢能增量WΔ組成。

頂板巖梁在集中簡諧荷載作用下產(chǎn)生簡諧振動，其撓度方程V(x,t)為：

(14)

式中：u——頂板巖梁隨時(shí)間t變化的振幅/m。

取頂板巖梁中的微元段dx進(jìn)行分析，考慮到集中簡諧荷載對頂板產(chǎn)生的波動效應(yīng)。則集中簡諧荷載做功Wp為：

(15)

式中：v——機(jī)械施工荷載的速度/(km·h-1)。

將式(14)代入式(15)得：

(16)

頂板彎曲應(yīng)變能Wm為：

(17)

式中：M(x)、K(x)——頂板巖梁彎曲后，以巖梁端點(diǎn)為原點(diǎn)的撓曲線上的弧坐標(biāo)在x處橫截面上的彎矩(N·m)和撓曲線曲率。

E——頂板巖體的彈性模量/GPa；

I——頂板巖梁斷面的慣性矩/m4；

μ——頂板巖體的泊松比。

頂板巖梁變形曲線在x處的曲率為：

(18)

將式(18)及式(14)代入式(17)中，得到：

(19)

頂板自重做功Wg為：

(20)

式中：γ——巖體容重/(kN·m-3)。

頂板自重產(chǎn)生的勢能增量WΔ為：

機(jī)械施工動荷載-采空區(qū)頂板系統(tǒng)總能量W為：

W=-Wp+Wm-Wg+WΔ(22)

將式(16)、(19)、(20)及(21)代入式(22)中，得到機(jī)械施工動荷載-采空區(qū)頂板系統(tǒng)總能量方程：

3.2 臨界機(jī)械施工荷載確定

機(jī)械施工動荷載-采空區(qū)頂板的平衡條件為：

(24)

將式(16)、式(19)、式(20)及式(21)代入式(23)中，得到：

機(jī)械施工動荷載-采空區(qū)頂板的臨界失穩(wěn)判據(jù)為：

(26)

即：

根據(jù)式(27)，可得到臨界機(jī)械施工荷載pcr為：

(28)

要使采空區(qū)保持穩(wěn)定，則機(jī)械施工荷載p應(yīng)滿足：

(29)

4 實(shí)例驗(yàn)證

通過查閱關(guān)于機(jī)械施工荷載作用下采空區(qū)頂板穩(wěn)定性方面的文獻(xiàn)資料，對基于突變理論的機(jī)械施工荷載-采空區(qū)頂板失穩(wěn)判別式(12)及式(13)進(jìn)行計(jì)算，其判別結(jié)果如表1所示，表中實(shí)測狀態(tài)代表文獻(xiàn)中理論計(jì)算、數(shù)值模擬或現(xiàn)場實(shí)測確定的穩(wěn)定狀態(tài)和失穩(wěn)狀態(tài)。同時(shí)，對基于能量原理的臨界機(jī)械施工荷載式(29)進(jìn)行計(jì)算，并將其理論值與實(shí)測值進(jìn)行對比，如圖4所示，表中實(shí)測值代表文獻(xiàn)中理論計(jì)算、數(shù)值模擬或現(xiàn)場實(shí)測確定的數(shù)值。

其中，采空區(qū)頂板結(jié)構(gòu)的阻尼比β取0.1，頂板的初始自振頻率ω0為：

(30)

式中：ρ——頂板巖體的密度/(kg·m-3)；

A——頂板橫截面面積/m2；

H1——頂板巖梁的跨中撓度/m，H1=L4p0/4πEI。

表1 基于突變理論的理論狀態(tài)與實(shí)測狀態(tài)對比

圖4 基于能量原理的臨界機(jī)械施工荷載理論值與實(shí)測值對比Fig.4 Comparison of theoretical and measured values of critical mechanical construction loading based on energy principle

頂板結(jié)構(gòu)剛度的非線性系數(shù)ζ為：

(31)

機(jī)械施工荷載的振動角頻率：

ω=2πf(32)

式中：f——機(jī)械施工荷載的振動頻率/Hz。

頂板巖梁斷面的慣性矩：

(33)

根據(jù)表1知，采用突變理論計(jì)算得到的理論狀態(tài)與實(shí)測狀態(tài)一致；通過圖4知，采用能量原理計(jì)算得到的臨界機(jī)械施工荷載理論值與實(shí)測值誤差相對較小，最大誤差為13.73%，最小誤差為7.59%。平均誤差為11.01%。以上應(yīng)用說明了基于突變理論和能量原理建立的兩種失穩(wěn)判據(jù)適用于機(jī)械施工動荷載-采空區(qū)頂板穩(wěn)定性分析，因此采用突變理論和能量原理研究機(jī)械施工動荷載-采空區(qū)頂板穩(wěn)定性是可行的，為該類工程提供了一定的理論價(jià)值和工程指導(dǎo)。

5 結(jié)論

(1)將機(jī)械施工荷載簡化為移動簡諧力，采用力學(xué)分析建立了機(jī)械施工動荷載-采空區(qū)頂板力學(xué)模型，針對機(jī)械施工荷載作用下采空區(qū)頂板失穩(wěn)破壞具有突發(fā)性及受力過程復(fù)雜的特點(diǎn)，研究從突變和能量角度分別建立了失穩(wěn)判據(jù)，為解決機(jī)械施工動荷載-采空區(qū)頂板穩(wěn)定性問題提供了一種新的定量研究思路。

(2)基于動力學(xué)理論，形成了機(jī)械施工動荷載-采空區(qū)頂板系統(tǒng)的雙尖點(diǎn)突變模型，證明了采用突變理論分析機(jī)械施工動荷載-采空區(qū)頂板非線性動力失穩(wěn)是可行的。由系統(tǒng)失穩(wěn)的充分條件和必要條件，獲得了機(jī)械施工動荷載-采空區(qū)頂板失穩(wěn)判據(jù)式。

(3)基于能量原理，推導(dǎo)出由集中簡諧荷載做功、頂板彎曲應(yīng)變能、頂板自重做功以及頂板自重產(chǎn)生的勢能增量組成的機(jī)械施工動荷載-采空區(qū)頂板總能量方程，根據(jù)系統(tǒng)臨界失穩(wěn)判據(jù)，獲得了臨界機(jī)械施工荷載計(jì)算模型。

(4)將基于突變理論和能量原理建立的兩種失穩(wěn)判據(jù)分別進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證，采用突變理論計(jì)算得到的理論狀態(tài)與實(shí)測狀態(tài)一致，采用能量原理計(jì)算得到的臨界機(jī)械施工荷載理論值與實(shí)測值較吻合，平均誤差為11.01%。研究可為露天開采下車輛荷載大小控制、采場結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)置、采空區(qū)控制與治理等提供參考。