雙平行導(dǎo)線間軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電梁的動(dòng)力穩(wěn)定性

胡宇達(dá)，張立保，劉 鄭，張明冉

(1.燕山大學(xué) 建筑工程與力學(xué)學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué) 河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004；3.河北醫(yī)科大學(xué) 后勤管理處，河北 石家莊 050017)

0 引言

在現(xiàn)代工程領(lǐng)域中，存在許多軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)，如運(yùn)動(dòng)導(dǎo)線、板帶軋制、電磁運(yùn)輸器件等。當(dāng)運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)件處于復(fù)雜場(chǎng)環(huán)境中時(shí)，系統(tǒng)將出現(xiàn)耦合振動(dòng)及穩(wěn)定性等問(wèn)題，并影響著結(jié)構(gòu)的正常運(yùn)行，而這些問(wèn)題的研究也具有理論和實(shí)際意義。Pellican[1]研究了軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)特性，分析了復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算結(jié)果；Chen等[2-4]應(yīng)用伽遼金法對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)梁的固有頻率以及對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)粘彈性梁的參數(shù)振動(dòng)等問(wèn)題進(jìn)行了研究，分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性；陳樹(shù)輝等[5-6]應(yīng)用L-P法對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)梁的非線性內(nèi)共振問(wèn)題進(jìn)行了研究；Ghayesh等[7]研究了軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁固有振動(dòng)問(wèn)題的分析方法；Wang等[8]研究了軸向運(yùn)動(dòng)梁的模態(tài)頻率特性。對(duì)于磁場(chǎng)環(huán)境中運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)模型的研究，Hu等[9-10]建立了磁場(chǎng)中軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電薄板的磁彈性耦合振動(dòng)方程，研究了系統(tǒng)的非線性共振及動(dòng)力穩(wěn)定性問(wèn)題，并對(duì)磁場(chǎng)中軸向變速運(yùn)動(dòng)薄板的主參數(shù)共振問(wèn)題進(jìn)行了研究，此外，胡宇達(dá)等[11-12]針對(duì)磁場(chǎng)環(huán)境中軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電導(dǎo)磁梁磁彈性耦合振動(dòng)的理論建模問(wèn)題進(jìn)行研究，推導(dǎo)出了導(dǎo)電導(dǎo)磁梁的磁彈性振動(dòng)微分方程，并且分析了軸向運(yùn)動(dòng)載流梁在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的磁彈性強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題；Nayak和Thompson等[13-14]研究了磁流變彈性體夾層梁的振動(dòng)和混沌動(dòng)力學(xué)等問(wèn)題；Hasanyan等[15]研究了載流磁彈性平板的屈曲問(wèn)題。從已有文獻(xiàn)看，針對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)磁彈性問(wèn)題的研究比較深入，但研究軸向運(yùn)動(dòng)梁的磁彈性振動(dòng)問(wèn)題的相關(guān)文獻(xiàn)還很少。本文在筆者所建理論模型基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮了平行導(dǎo)線產(chǎn)生磁場(chǎng)的作用，針對(duì)平行導(dǎo)線產(chǎn)生磁場(chǎng)區(qū)域軸向運(yùn)動(dòng)梁的動(dòng)力穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行分析，討論奇點(diǎn)類(lèi)型；因考慮了梁的橫向振動(dòng)位移對(duì)磁場(chǎng)分布的影響，所以電磁力中體現(xiàn)了彈性振動(dòng)位移與導(dǎo)線電流間的耦合效應(yīng)。

1 雙平行導(dǎo)線間軸向運(yùn)動(dòng)梁的磁彈性方程

研究雙載流平行導(dǎo)線間同面內(nèi)的軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電梁，如圖1所示建立直角坐標(biāo)系。該梁沿著x軸方向以速度c做軸向運(yùn)動(dòng)，并且受到兩端軸向拉力F0x作用，梁長(zhǎng)為l，高為h，寬為b，導(dǎo)線通入的電流分別為I1和I2，導(dǎo)線與梁間的距離分別為d1和d2。

圖1 雙導(dǎo)線間軸向運(yùn)動(dòng)梁模型
Fig.1 Axially moving beam model between two parallel wires

1.1 動(dòng)能和勢(shì)能

當(dāng)軸向運(yùn)動(dòng)梁產(chǎn)生橫向振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能表達(dá)式為[11]

(1)

式中，ρ為質(zhì)量密度；A=hb為截面面積；w(x,t)為梁的橫向位移；t為時(shí)間變量。

梁的勢(shì)能包括梁的彎曲應(yīng)變能和軸向拉力F0x引起的應(yīng)變能，其總勢(shì)能為

(2)

1.2 電磁力

根據(jù)電磁場(chǎng)理論，通電導(dǎo)線周?chē)鷮a(chǎn)生感應(yīng)磁場(chǎng)，彈性梁運(yùn)動(dòng)時(shí)所在位置產(chǎn)生的作用磁場(chǎng)矢量為

(3)

式中，μ0為真空磁導(dǎo)率，j為沿y方向的坐標(biāo)單位向量；當(dāng)通入的電流I1與I2同向時(shí)取“-”號(hào)，反向時(shí)取“+”號(hào)(下同)。進(jìn)一步可得運(yùn)動(dòng)梁體內(nèi)沿軸向的感應(yīng)電流密度為

(4)

這樣，依據(jù)電動(dòng)力學(xué)理論，可推得軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電彈性梁所受單位長(zhǎng)度電磁力為

(5)

1.3 磁彈性方程

根據(jù)上面給出的表達(dá)式，基于哈密頓變分原理，可推得雙平行導(dǎo)線間軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電梁的磁彈性振動(dòng)方程：

(6)

將式(6)的右端進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)，略去三次方以上的高階項(xiàng)后可進(jìn)一步得到系統(tǒng)的非線性振動(dòng)控制方程：

(7)

當(dāng)研究軸向運(yùn)動(dòng)梁兩端具有鉸支約束情況時(shí)，可將滿足邊界條件的位移解取為下面分離變量展開(kāi)形式為

(8)

將式(8)代入式(7)中，進(jìn)行伽遼金積分運(yùn)算，可得關(guān)于時(shí)間變量的振動(dòng)微分方程：

(9)

2 奇點(diǎn)穩(wěn)定性分析

下面應(yīng)用奇點(diǎn)理論對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)(9)的穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行分析。首先將式(9)轉(zhuǎn)化為一階狀態(tài)方程形式：

(10)

式中，x=q(t)。

由式(10)可見(jiàn)，非線性系統(tǒng)有唯一奇點(diǎn)(0,0)。因系統(tǒng)(10)雅柯比矩陣是非奇異的，因此依據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論可知，其與如下線性近似系統(tǒng)具有相同的奇點(diǎn)類(lèi)型：

(11)

根據(jù)判別式Δ=p2-4q(這里，p=-g1a1，q=k)，可得下面劃分奇點(diǎn)及其穩(wěn)定性的條件：

1)Δ≥0時(shí),當(dāng)q>0，奇點(diǎn)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)；當(dāng)q<0，奇點(diǎn)為不穩(wěn)定鞍點(diǎn)；

2)Δ<0時(shí),此時(shí)需滿足q>0，奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。

3 數(shù)值算例

針對(duì)雙平行同向?qū)Ь€間軸向運(yùn)動(dòng)鋁制材料梁動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性進(jìn)行計(jì)算分析，主要參數(shù)：密度ρ=2 670 kg/m3，電導(dǎo)率σ=3.63×107(Ω·m)-1，真空磁導(dǎo)率μ0=4π×10-7H/m，彈性模量E=71 GPa，梁長(zhǎng)l=1 m。

根據(jù)奇點(diǎn)分析判別式進(jìn)行求解，圖2～4得到了奇點(diǎn)的類(lèi)型及其穩(wěn)定性劃分區(qū)域。

圖2(a)為判別式Δ=0時(shí)的速度-電流臨界曲面圖，圖2(b)和圖2(c)為對(duì)應(yīng)圖2(a)的穩(wěn)定性平面截圖(取d1=0.05 m，d2=0.05 m)。由圖2(b)可知，隨電流I1的增大，臨界速度由1個(gè)變?yōu)?個(gè)，奇點(diǎn)類(lèi)型也由2個(gè)變?yōu)?個(gè)，此時(shí)由穩(wěn)定焦點(diǎn)轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)所需的速度c逐漸減小，而奇點(diǎn)變?yōu)榘包c(diǎn)的臨界速度為不變值。由圖2(c)可知，隨電流I2的逐漸增大，奇點(diǎn)由穩(wěn)定焦點(diǎn)轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)所需的速度c先增大后減小，中間出現(xiàn)由穩(wěn)定焦點(diǎn)轉(zhuǎn)化為鞍點(diǎn)的不變臨界值情況，且穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)的區(qū)域相對(duì)較小，速度對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響非常敏感。

圖2 速度-電流穩(wěn)定性圖
Fig.2 Velocity-current stability diagram

圖3(a)為判別式Δ=0時(shí)的速度-距離臨界曲面圖，圖3(b)和圖3(c)為對(duì)應(yīng)圖3(a)的穩(wěn)定性平面截圖(取I1=5 000 A，I2=2 000 A)。由圖3(b)可知，隨距離d1增大，奇點(diǎn)由穩(wěn)定焦點(diǎn)轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)所需的速度也逐漸增大，且達(dá)到一定值后穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)消失，之后退化為由穩(wěn)定焦點(diǎn)直接轉(zhuǎn)化為鞍點(diǎn)的單臨界速度情況。由圖3(c)可知，隨距離d2的增大，奇點(diǎn)由穩(wěn)定焦點(diǎn)轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)所需的速度c先增大后減小，中間出現(xiàn)由穩(wěn)定焦點(diǎn)直接轉(zhuǎn)化為鞍點(diǎn)的單臨界速度情況。

圖3 速度-距離穩(wěn)定性圖
Fig.3 Velocity-distance stability diagram

圖4(a)為判別式Δ=0時(shí)的電流-距離臨界曲面圖，圖4(b)和圖4(c)為對(duì)應(yīng)圖4(a)的穩(wěn)定性平面截圖。由圖4(b)可知，在給出的參數(shù)范圍內(nèi)，存在穩(wěn)定焦點(diǎn)和穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)兩個(gè)區(qū)域，且隨距離d1的增大，由穩(wěn)定焦點(diǎn)轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)的臨界電流也逐漸增大。由圖4(c)可知，臨界電流仍為單值，且隨距離d2的增大，奇點(diǎn)由穩(wěn)定焦點(diǎn)轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)所需的電流值I1逐漸變小。

圖4 電流-距離穩(wěn)定性圖
Fig.4 Current-distance stability diagram

4 結(jié)論

本文推導(dǎo)出了兩根導(dǎo)線產(chǎn)生磁場(chǎng)環(huán)境中軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電梁的磁彈性振動(dòng)方程，對(duì)系統(tǒng)奇點(diǎn)穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了分析，給出了穩(wěn)定性判別條件，計(jì)算結(jié)果表明：

1)在速度-電流和速度-距離穩(wěn)定域中，存在穩(wěn)定焦點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)和不穩(wěn)定鞍點(diǎn)的三個(gè)區(qū)域，對(duì)應(yīng)的也存在兩個(gè)臨界速度值情況，且系統(tǒng)的穩(wěn)定性依賴于軸向速度非常敏感。

2)在電流-速度穩(wěn)定域中，僅存在穩(wěn)定焦點(diǎn)和穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)兩個(gè)區(qū)域，沒(méi)有鞍點(diǎn)區(qū)域，對(duì)應(yīng)的臨界速度為單值。可見(jiàn)，通過(guò)相關(guān)參數(shù)的控制，能夠使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)區(qū)域，所得結(jié)果可為工程實(shí)際提供理論參考。