基于最小二乘法的五軸機(jī)床靜態(tài)誤差建模

赫煥麗,王 量

(1.咸寧職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工學(xué)院,湖北 咸寧 437100; 2.河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,河南 洛陽 471003)

數(shù)控機(jī)床的加工精度是衡量一個國家制造業(yè)發(fā)展水平的重要標(biāo)志,在社會的發(fā)展中得到了廣泛應(yīng)用.靜態(tài)誤差是影響數(shù)控機(jī)床精度的重要因素,靜態(tài)誤差主要包括裝配誤差、彎曲誤差及熱誤差等[1].與動態(tài)誤差相比,靜態(tài)誤差在機(jī)床操作過程中變化緩慢.若不能對機(jī)床靜態(tài)誤差進(jìn)行有效補(bǔ)償,長時間操作機(jī)床,就會造成零件加工精度降低.因此,研究機(jī)床靜態(tài)誤差預(yù)測模型,及時進(jìn)行誤差補(bǔ)償,對于提高機(jī)床精度具有重要意義.

誤差補(bǔ)償法不需要對機(jī)床設(shè)計結(jié)構(gòu)和制造進(jìn)行變更,成本較低,已成為提高機(jī)床精度的良法[2].為了預(yù)測機(jī)床加工零件產(chǎn)生的誤差,許多學(xué)者對機(jī)床誤差模型進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[3-4]采用徑向基網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測機(jī)床主軸熱誤差,建立機(jī)床主軸測溫點分布圖,引用徑向基函數(shù)建立熱誤差與溫度變化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,通過實驗驗證熱誤差模型的合理性,從而降低了機(jī)床主軸產(chǎn)生的熱誤差.文獻(xiàn)[5-6]采用多元線性回歸法預(yù)測機(jī)床靜態(tài)誤差,分析機(jī)床結(jié)構(gòu)特點和誤差來源,確定機(jī)床溫度測量點,采用概率統(tǒng)計方法對機(jī)床誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,通過多項式曲面擬合理論創(chuàng)建靜態(tài)誤差預(yù)測模型,獲得較好的預(yù)測精度.文獻(xiàn)[7-8]采用多體動力學(xué)理論預(yù)測機(jī)床靜態(tài)誤差,通過ANSYS軟件分析機(jī)床最大變形位置,對機(jī)床各個軸運(yùn)動分別建立誤差轉(zhuǎn)換矩陣,根據(jù)多體動力學(xué)理論創(chuàng)建靜態(tài)誤差預(yù)測模型,采用實際測量驗證預(yù)測模型,從而判斷預(yù)測模型的可行性和準(zhǔn)確性.但是,以往研究機(jī)床靜態(tài)誤差預(yù)測精度較低,不能很好地對靜態(tài)誤差進(jìn)行在線補(bǔ)償.對此,本文以五軸機(jī)床為例,采用矩陣變換分析機(jī)床五軸靜態(tài)誤差,通過最小二乘法建立機(jī)床靜態(tài)誤差預(yù)測模型,采用激光跟蹤器測量機(jī)床實際產(chǎn)生的誤差,并與預(yù)測模型進(jìn)行比較,為深入研究機(jī)床靜態(tài)誤差建模方法提供參考價值.

1 機(jī)床靜態(tài)誤差模型

本文采用的五軸機(jī)床移動軸為x,y,z,旋轉(zhuǎn)軸為y和z.機(jī)床靜態(tài)誤差可以通過一系列齊次變換來表示,這個系列由交替關(guān)節(jié)和形狀變換組成.主軸位置誤差變換方程式[9]為

(1)

式中:φB,φw分別為y軸旋轉(zhuǎn)角度和z軸旋轉(zhuǎn)角度;φx,φy,φz為移動距離;Ti為誤差矩陣.

為了將旋轉(zhuǎn)、平移誤差引入到坐標(biāo)系和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)換中,在坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換中引入常數(shù)(不依賴位置)的誤差分量,而位置相關(guān)的分量被引入到關(guān)節(jié)變換中.對于機(jī)床來說,有3種類型的轉(zhuǎn)換.

1.1 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

對于機(jī)床3個直線軸而言,靜態(tài)誤差為3個垂直度誤差,如圖1所示.圖1中:x,y為理想坐標(biāo)軸;x1,y1為測量數(shù)據(jù)擬合的坐標(biāo)軸.

實際坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換后的誤差矩陣表達(dá)式為

(2)

式中:αi,βi和γi為z,y和x方向旋轉(zhuǎn)誤差;[xiyizi]T，[ΔxiΔyiΔzi]T分別為坐標(biāo)系位置和位置誤差.

圖1 靜態(tài)誤差測量方法Fig.1 Static error measurement method

1.2 旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換

理想的旋轉(zhuǎn)接頭(旋轉(zhuǎn)軸y軸)的聯(lián)合變換可以表示為

(3)

式中:B為關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)角位移.

關(guān)節(jié)在轉(zhuǎn)動過程中,可能會引起幾個誤差動作.當(dāng)節(jié)點控制位置B時,可能產(chǎn)生定位誤差β.此外,旋轉(zhuǎn)誤差可能引入傾斜角α和γ,由于轉(zhuǎn)動誤差dx,dy和dz的積累,整個桌面發(fā)生移動.假設(shè)旋轉(zhuǎn)角度很小,實際旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)(繞y軸旋轉(zhuǎn))的變換誤差為

(4)

1.3 移動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)換

移動關(guān)節(jié)在實際運(yùn)動過程中,會產(chǎn)生誤差,包括沿著關(guān)節(jié)的位置誤差、直線誤差和角度誤差.對于變換矩陣來說,誤差項是關(guān)節(jié)位移的函數(shù),即

(5)

式中:x為被控制的關(guān)節(jié)位置;δx為定位誤差;dα/dx,dβ/dx和dγ/dx為角誤差的累積率.

1.4 體積誤差模型

主軸框架中刀具的實際坐標(biāo)變換表示為

(6)

采用一階正運(yùn)動學(xué)方程消除誤差的二階項和高階項,其方程式為

(7)

H為式(1)中得到的理想正運(yùn)動學(xué),由理想的機(jī)床關(guān)節(jié)和支撐它們的結(jié)構(gòu)元件尺寸決定ΔH為一階項誤差.

因此,機(jī)床的體積誤差分量可以定義為實際和理想正運(yùn)動學(xué)的差值，即

(8)

式中:e為誤差向量;T0為形狀變換參考矩陣;rt為機(jī)床主軸位置.

2 誤差模型參數(shù)識別

誤差模型中的參數(shù)估計是通過觀察其工作空間中不同位置的機(jī)床體積誤差來完成的,如圖3所示.然而,要做到這一點,激光跟蹤器進(jìn)行測量的框架必須首先在誤差模型的參數(shù)得到之前進(jìn)行估計.這是在以下兩個步驟中完成的.測量框架與表架(從機(jī)床的運(yùn)動學(xué)模型)之間的關(guān)系是由齊次變換矩陣T0獲得的.

2.1 測試框架

為了識別T0,假設(shè)在式(1)中定義的機(jī)床理想運(yùn)動學(xué)方程式為

(9)

T0的方程式[10]為

(10)

式中:rt0為測量框架中的圖像.

對于不同的關(guān)節(jié)命令(或測量點),機(jī)床的運(yùn)動學(xué)傳輸H會有所不同.對于第i個測量點,在正向運(yùn)動學(xué)傳輸和激光跟蹤器記錄的測量之間的誤差矢量ei方程式為

(11)

式中:qi為跟蹤器測量值.

2.2 誤差模型

模型在參數(shù)集合中是線性的,可以用一個誤差參數(shù)向量來表示,即

(12)

式中:M,P為矩陣.

考慮一個觀察集由在n點觀察到的誤差組成,假設(shè)每個點都能觀察到誤差的情況下,采用的誤差模型[11]為

(13)

式中:ei=[ex,iey,iez,i]T為誤差矩陣;Mi為觀察到相應(yīng)的3×32關(guān)系矩陣；N為高斯分布的概率密度函數(shù)，N(0,δ)，δ為標(biāo)準(zhǔn)差.

因此,可以建立一個3n方程組來估計誤差參數(shù)

(14)

式中:e=[ex,1ey,1ez,1…ex,ney,nez,n]T∈R3n為點集里測量誤差向量的分量;M=[M1T…MnT]T為新矩陣系數(shù).

采用最小二乘法[12-13]估計p′,式(14)變換為

(15)

3 結(jié)果與討論

為了識別誤差預(yù)測模型,對機(jī)床主軸上的刀具進(jìn)行測量,在測試中采用激光跟蹤器,如圖2所示.

圖2 刀具靜態(tài)誤差測量示意圖Fig.2 Schematic diagram of static tool error

假設(shè)機(jī)床主軸轉(zhuǎn)速為2 000 r/min,每5 min記錄一次測量數(shù)據(jù),記錄32組數(shù)據(jù).每次測量誤差計算為

ei,j=

(16)

式中:ei,j為第i點的第j項誤差;[xi,jyi,jzi,j]為第i點的第j次測量;[xiv,yiv,ziv]為第i點的平均測量值.

機(jī)床主軸分別安裝50和100 mm長度刀具,采用最小二乘法和線性回歸法預(yù)測機(jī)床靜態(tài)誤差結(jié)果,分別如圖3和圖4所示.

圖3 短刀具測量誤差(50 mm)Fig.3 Short tool measurement error(50 mm)

圖4 長刀具測量誤差(100 mm)Fig.4 Long tool measurement error(100 mm)

由圖3可知:機(jī)床主軸靜態(tài)誤差采用線性回歸法預(yù)測模型,產(chǎn)生的誤差最大值為25.33μm,均方根值20.67μm,誤差變化幅度較大;而采用最小二乘法預(yù)測模型,產(chǎn)生的誤差最大值為5.94μm,均方根值為3.75μm,誤差變化幅度較小.

由圖4可知:機(jī)床主軸靜態(tài)誤差采用線性回歸法預(yù)測模型,產(chǎn)生的誤差最大值為26.67μm,均方根值21.32,誤差變化幅度較大;而采用最小二乘法預(yù)測模型,產(chǎn)生的誤差最大值為7.44μm,均方根值為4.52μm,誤差變化幅度較小.因此,隨著刀具長度的增加,預(yù)測結(jié)果偏差也會增加.同時,采用最小二乘法預(yù)測結(jié)果與實驗測量結(jié)果符合度較高,能夠提高機(jī)床主軸加工精度.

4 結(jié)論

針對機(jī)床主軸靜態(tài)誤差問題,采用了最小二乘法建立誤差預(yù)測模型,并與線性回歸法預(yù)測結(jié)果進(jìn)行比較,主要結(jié)論如下:

(1) 機(jī)床主軸在旋轉(zhuǎn)過程中,由于裝配存在誤差及運(yùn)行產(chǎn)生熱變形,導(dǎo)致機(jī)床主軸產(chǎn)生靜態(tài)誤差現(xiàn)象.

(2) 機(jī)床主軸長度不同,加工過程中產(chǎn)生的誤差也不一樣,長度越長,產(chǎn)生的靜態(tài)誤差也越大.

(3) 采用最小二乘法對機(jī)床主軸靜態(tài)誤差進(jìn)行預(yù)測,預(yù)測精度較高,為機(jī)床主軸加工誤差補(bǔ)償提供理論依據(jù).