在知識(shí)遷移、問題類化中探索多角形內(nèi)角和問題

袁樂

【摘要】數(shù)學(xué)講究理性的推導(dǎo)，也講究抽象的思考，講究靜態(tài)的邏輯，也講究動(dòng)態(tài)的過程，講究生動(dòng)的圖像，也講究簡(jiǎn)潔的符號(hào).中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)促使學(xué)生學(xué)會(huì)用一雙數(shù)學(xué)的慧眼觀察世界，從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、探索和解決問題.不僅要學(xué)會(huì)書本上的知識(shí)，更要學(xué)會(huì)在知識(shí)遷移和問題類化中發(fā)現(xiàn)新問題并探索新問題，由一得十，由十得百，由百得世間萬千.筆者從“多邊形的內(nèi)角和與外角和”這一節(jié)內(nèi)容出發(fā)，嘗試去探索和解決“多角形的內(nèi)角和”問題.

【關(guān)鍵詞】多角形內(nèi)角和;知識(shí)遷移;問題類化;環(huán)形跑道

一、基于教材，提出問題

在蘇科版初中教材中，“多邊形”一般泛指“凸多邊形”.七年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)掌握了“多邊形的內(nèi)角和與外角和”的相關(guān)知識(shí)，得出了n邊形內(nèi)角和公式為180°×（n-2），n邊形外角和為360°.并可以利用總結(jié)歸納好的公式快速計(jì)算，十分方便.在日常教學(xué)中，針對(duì)“角”的習(xí)題訓(xùn)練鞏固方面，教師常常會(huì)選用五角形的圖案（圖1-1），要求學(xué)生計(jì)算其五個(gè)角之和.學(xué)生一般會(huì)找尋五角形圖案中蘊(yùn)含的三角形，利用三角形的外角定理，將要求解的五個(gè)角匯聚到同一個(gè)小三角形中，很容易得到五角形的內(nèi)角和是180°.

既然五角形這樣的圖案可以解決其內(nèi)角和問題，那么與其類似的其他圖形的內(nèi)角和問題是否也可以解決呢？是否也能得出一個(gè)統(tǒng)一的規(guī)律性的結(jié)論呢？這真是一個(gè)有趣的問題！

二、明確定義，嘗試探索

由于形如上述的圖案（圖1-2、圖1-3）在中學(xué)教材中沒有明確的名稱，為了敘述方便，本文不妨將這些圖案稱作“多角形”.它們可以看作是在同一平面內(nèi)一條首尾相連的折線所組成的圖形.

通過把復(fù)雜的多角形拆分轉(zhuǎn)換成熟悉的三角形、四邊形，利用它們的相關(guān)知識(shí)，可以計(jì)算得到六角形（圖1-2）內(nèi)角和為360°，七角形（圖1-3）內(nèi)角和為540°.但隨著圖形的進(jìn)一步復(fù)雜，這樣的推理計(jì)算難度會(huì)逐漸增大.不妨觀察目前已經(jīng)得出的數(shù)據(jù)，嘗試總結(jié)其中蘊(yùn)含的規(guī)律.

五邊形內(nèi)角和=540°，五角形內(nèi)角和=180°，

六邊形內(nèi)角和=720°，六角形內(nèi)角和=360°，

七邊形內(nèi)角和=900°，七角形內(nèi)角和=540°，

……

對(duì)比數(shù)據(jù)，很容易有以下三點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：

1.縱向?qū)Ρ葦?shù)據(jù)，每增加一個(gè)邊（角），其內(nèi)角和都會(huì)增加180°;

2.再橫向?qū)Ρ葦?shù)據(jù)，后者總是比前者少了360°;

3.由于n邊形的內(nèi)角和為180°×（n-2），所以可以類似地嘗試總結(jié)n角形的內(nèi)角和為180°×（n-4）.

這個(gè)結(jié)論是否適用于所有的多角形呢？大膽猜想之后，就必須小心求證了！

三、追本溯源，回到三角形

在思考和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常需要借鑒已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)和累積的經(jīng)驗(yàn)結(jié)論，即所謂知識(shí)的遷移.當(dāng)處理多角形內(nèi)角和比較困難時(shí)，我們不妨去回顧當(dāng)初是如何研究多邊形內(nèi)角和與外角和的.由于（凸）多邊形造型簡(jiǎn)單，對(duì)其內(nèi)部分割成三角形十分簡(jiǎn)單，而多角形造型復(fù)雜，內(nèi)部線條較多，顯然不宜再劃線分割.此時(shí)切莫放棄，想想（凸）多邊形外角和是怎么研究的呢？

回顧教材可以發(fā)現(xiàn)，在課后習(xí)題中，曾提出過一個(gè)有趣的“環(huán)形跑道”的問題情境.把△ABC圖案實(shí)體化成生活中常見的環(huán)形跑道A-B-C-A.跑步者從點(diǎn)A出發(fā)依次經(jīng)過點(diǎn)B、點(diǎn)C、最后回到點(diǎn)A，且跑道中間站立一名觀測(cè)者.由于在各個(gè)頂點(diǎn)處轉(zhuǎn)彎方向總是一致的，無論觀測(cè)者面朝哪個(gè)方向，跑步者從A點(diǎn)出發(fā)再回到A點(diǎn)，都會(huì)從他面前經(jīng)過一次，即跑步者繞著觀測(cè)者跑了一圈.在每個(gè)頂點(diǎn)，跑步者轉(zhuǎn)過的角度，就是這個(gè)頂點(diǎn)處的外角的大小，繞著這樣的“三角形環(huán)形跑道”回到起點(diǎn)A，需要一圈，則可以說明“三角形外角和為360°”.

類似地，利用這種“環(huán)形跑道”的模型，可以解決所有（凸）多邊形外角和問題，都是需要跑一圈，外角和為定值為360°.

四、對(duì)比觀察、小心求證

對(duì)比五邊形的環(huán)形跑道和五角形的環(huán)形跑道A-B-C-D-E-A（如圖2所示），在各個(gè)頂點(diǎn)處跑步者的轉(zhuǎn)彎方向總是一致的，可見在五角形的環(huán)形跑道中，無論觀測(cè)者面朝哪個(gè)方向，跑步者從A點(diǎn)出發(fā)再回到A點(diǎn)，必然從他面前經(jīng)過兩次，即跑步者繞著觀測(cè)者跑了兩圈.

由于五角形圖案比較復(fù)雜，不一定每名學(xué)生都能立刻體會(huì)出“兩圈”，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生們舉起胳膊，依照點(diǎn)的順序，極其夸張地在空中比劃畫圈，當(dāng)手臂揮舞越夸張，越能明確地感受到“兩圈”.這個(gè)過程十分有趣，學(xué)生會(huì)有很大的興趣參與其中，這樣“玩”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式對(duì)初中的學(xué)生來說十分新奇.

再對(duì)比六邊形的環(huán)形跑道和六角形的環(huán)形跑道A-B-C-D-E-F-A（如圖3所示），同樣的會(huì)得到在六角形跑道中，需要兩圈.

通過兩次對(duì)比，圖中多角形的環(huán)形跑道總是比多邊形的環(huán)形跑道還要多跑一圈，即意味著外角和增加360°.既然外角和多了，那么內(nèi)角和自然就少了.這樣就可以解釋為什么一開始我們對(duì)比觀察得出的：當(dāng)n相同時(shí)，n角形內(nèi)角和總是比n邊形內(nèi)角和少360°.

但是剛剛是用“跑圈”這種動(dòng)態(tài)的角度去解釋多角形的外角問題，缺乏嚴(yán)密的證明.現(xiàn)在以五角形為例，驗(yàn)證在“五角形跑道”（如圖4所示）的模型下，回到起點(diǎn)，跑兩圈，五個(gè)外角是如何轉(zhuǎn)化成兩個(gè)360°的.

過點(diǎn)A作AK∥BC，過點(diǎn)C作CL∥AE，可證得∠2=∠BAK，∠3=∠4，則可在頂點(diǎn)A處拼湊出一個(gè)360°，即∠1+∠2+∠4=360°;

再過點(diǎn)E作EM∥CD，可證得∠6=∠8，∠5=∠AEM，則此時(shí)在頂點(diǎn)E處又拼湊出一個(gè)360°，即∠6+∠5+∠7=360°;

綜上，（∠1+∠2+∠4）+（∠6+∠5+∠7）=360°+360°，即∠1+∠2+（∠4+∠5）+∠6+∠7=720°，確實(shí)“跑兩圈”等價(jià)于“外角和為兩個(gè)360°”！

通過嚴(yán)格的推理論證，學(xué)生可以根據(jù)“跑兩圈”等價(jià)于“外角和為兩個(gè)360°”，進(jìn)而自然就得出跑得圈數(shù)的多少直接決定著外角和的度數(shù).掌握了這個(gè)方法，以后只要外角和能求出來，內(nèi)角和自然用180°n減去外角和，即可得到多角形的內(nèi)角和.

五、再探剖析，小結(jié)反思

圖5-1也是一個(gè)七角形，但它的內(nèi)角和顯然比圖1-3要小得多.再次利用“環(huán)形跑道”的模型，跑步者需要跑三圈，可見其外角和是3個(gè)360°，則內(nèi)角和=180°×7-360°×3=180°.

小結(jié)：對(duì)n角形，如果在各個(gè)頂點(diǎn)處的轉(zhuǎn)彎方向一致（即總是順時(shí)針或逆時(shí)針轉(zhuǎn)角），回到起點(diǎn)時(shí)，若跑了m圈，則外角和=360°m，內(nèi)角和=180°n-360°m.

六、峰回路轉(zhuǎn)，再探奇妙

在本文中，雖然我們對(duì)多角形從“環(huán)形跑道”角度進(jìn)行了動(dòng)態(tài)的研究，也得出了靜態(tài)的規(guī)律和結(jié)論，但是關(guān)于“多角形”的研究這還只是冰山一角.

例如，圖5-2也是一個(gè)七角形，你能求出它的內(nèi)角和與外角和嗎？仔細(xì)觀察，在環(huán)形跑道各個(gè)頂點(diǎn)處的轉(zhuǎn)彎方向一致嗎？

七、教無定法、貴在得法

在本課題中，教師從已有的多邊形的知識(shí)出發(fā)，從生活中常見的五角形入手，提出多角形的問題.由淺入深，由生活中提煉數(shù)學(xué)圖形，激發(fā)學(xué)生的興趣.在思考多角形問題一籌莫展的時(shí)候，引導(dǎo)學(xué)生溫故知新，認(rèn)準(zhǔn)知識(shí)之間的銜接點(diǎn)，嘗試從已經(jīng)掌握的幾種論證方法著手，探尋新思路.利用這種遷移進(jìn)行教學(xué)，既符合學(xué)生的心理特征和認(rèn)知規(guī)律，又有助于形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，不但使得學(xué)生理清了算理算法，思維也得到了發(fā)展，既掌握了知識(shí)，還培養(yǎng)了能力.學(xué)生經(jīng)歷“大膽猜想、小心求證”，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看似簡(jiǎn)單輕松的公式定律的背后，離不開嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撝?再經(jīng)歷“峰回路轉(zhuǎn)、再探奇妙”，體會(huì)數(shù)學(xué)探索的跌宕起伏，等閑平地起波瀾，在低谷時(shí)燃斗志，在高峰時(shí)莫得意.每一次數(shù)學(xué)探索都是在原有的知識(shí)上小心翼翼地邁一步，再邁一步.猜想、歸納、求證、推翻、再猜想、再歸納、再求證.這正是數(shù)學(xué)的無限魅力所在！