拉格朗日乘子法在初等數(shù)學(xué)及Holder不等式中的應(yīng)用

【摘要】拉格朗日乘子法在高等數(shù)學(xué)條件極值的求解過程中起著非常重要的作用，本文將利用拉格朗日乘子法給出初等數(shù)學(xué)中柯西不等式的一個新證明，進(jìn)一步，我們利用拉格朗日乘子的思想給出實(shí)變函數(shù)中Holder不等式中的一個新證明， 希望這些新應(yīng)用引起大學(xué)生們對拉格朗日乘子法的廣泛興趣。

【關(guān)鍵詞】拉格朗日乘子法? 柯西不等式? Holder不等式

【基金項(xiàng)目】國家自然科學(xué)青年基金 （11601190）， 江蘇省自然科學(xué)基金青年基金 （BK20160483），江蘇基礎(chǔ)研究基金（16JDG043）。

【中圖分類號】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）19-0135-01

柯西不等式初等數(shù)學(xué)中一類非常有用的基本不等式， 而Holder不等式則是大學(xué)數(shù)學(xué)系的數(shù)學(xué)分析[1]，實(shí)變函數(shù)[2]以及泛函分析[3]課程中的一類非常重要且很基本的不等式。經(jīng)典的柯西不等式以及Holder不等式看起來并沒有什么關(guān)聯(lián)。本文將結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，利用拉格朗日乘子思想給出柯西不等式與Holder不等式的一個新證明。

1.拉格朗日乘子法（以二維為例）

拉格朗日乘數(shù)法是數(shù)學(xué)分析中尋找多元函數(shù)在某些約束條件下極值的方法?？紤]二元函數(shù)z=f（x1，x2）在條件G（x1，x2）=0下取極值的問題。高等數(shù)學(xué)中的拉格朗日乘子法告訴我們， 該問題可以轉(zhuǎn)化為下面的三維無約束條件極值問題：

在實(shí)際教學(xué)實(shí)踐中， 拉格朗日乘數(shù)法的價值顯然被很多同行老師以及大學(xué)生們嚴(yán)重低估了。實(shí)際上，該方法不僅是在初等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析中起著非常重要的應(yīng)用，而且在其他的領(lǐng)域也發(fā)揮著極其重要的作用，例如， 在優(yōu)化領(lǐng)域拉格朗日乘子法可以用于研究凸規(guī)劃問題，而在非線性偏微分方程領(lǐng)域，該方法則可以用來研究微分方程的解的存在性。筆者希望通過給出上面的一些應(yīng)用，讓大家對拉格朗日乘子法給出更多的關(guān)注。

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].高等教育出版社， 2001.

[2]周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)[M].北京大學(xué)出版社，2008

[3]張恭慶，林源渠.泛函分析講義[M].北京大學(xué)出版社，? 2006

作者簡介：

朱茂春（1982-），男，漢族，江蘇鎮(zhèn)江人，博士研究生，講師，研究方向：偏微分方程理論。