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    聚焦問題“題眼” 調(diào)控解題方向
    —— 以一道橢圓三角形面積問題的解題研究為例

    2019-07-01 08:09:34吳燕梅
    數(shù)理化解題研究 2019年16期
    關(guān)鍵詞:滑槽題眼最值

    吳燕梅

    (江蘇省海門中學(xué) 226100)

    在平時的高中數(shù)學(xué)教與學(xué)中,我們不可避免會引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行一系列研究,每個問題都有其考查的意圖.如果抓住問題的要害,即“題眼”,順藤摸瓜,進(jìn)而對解題方向給出合適的調(diào)控,不僅會收獲各種解法,同時會建立不同的思維方式,提升學(xué)生圍繞題的本質(zhì)去探究解題的能力.本文以一道解析幾何問題為例,拋磚引玉.

    一、問題呈現(xiàn)

    一種畫橢圓的工具如圖1所示.O是滑槽AB的中點,短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動,長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動,且DN=ON=1,MN=3.當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動時,帶動N繞O轉(zhuǎn)動,M處的筆尖畫出的橢圓記為C.以O(shè)為原點,AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.

    (1)求橢圓C的方程;

    (2)設(shè)動直線l與兩定直線l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分別交于P,Q兩點.若直線l總與橢圓C有且只有一個公共點,試探究:△OPQ的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說明理由.

    二、問題分析

    因為直線l與橢圓相切,聯(lián)立方程:

    不妨記點P(x1,y1),Q(x2,y2),

    當(dāng)k=0時,S△POQ=8;

    綜上,S△POQ面積最小值為8.

    思路2面積割補(bǔ)法

    當(dāng)k=0時,S△POQ=8,故S△POQ面積最小值為8.

    點評圖形面積(尤其是不規(guī)則圖形)通過分割法轉(zhuǎn)化為有特殊關(guān)系的圖形面積之和,可以簡化計算;這題當(dāng)中隨直線變化,交點P,Q可能位于x軸同側(cè),所以S△POQ=|S△POM-S△QOM|,結(jié)果同法2分析.

    點評這題解法思路,學(xué)生是通過平時作業(yè)或練習(xí)中處理過類似的面積問題,通過聯(lián)想遷移,進(jìn)而構(gòu)建固定的數(shù)學(xué)模型,為簡化化簡工作提供了很好的思路.(下面是前期練習(xí)中出現(xiàn)的問題(1),證明可以獨(dú)立嘗試多種解法.)

    聯(lián)想已知橢圓x2+2y2=1,過原點的兩條直線l1和l2分別與橢圓交于A,B和C,D,設(shè)△AOC的面積為S.

    (3)設(shè)l1與l2的斜率之積為m,求m的值,使得無論l1與l2如何變動,面積S保持不變.

    思路4巧用橢圓切線方程,調(diào)控切線表示.

    思路5發(fā)現(xiàn)定值關(guān)系,調(diào)控最值計算.

    點評解析幾何中涉及最值問題,往往會結(jié)合題中條件找到定量關(guān)系(定值),從而為利用基本不等式研究最值創(chuàng)造條件,本題這種解法學(xué)生也容易在平時解決的問題中類比聯(lián)想找到.

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