探究高考真題 培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)
——2018高考試題在高三復(fù)習(xí)中的教學(xué)運(yùn)用

陶新芝

(江蘇省昆山中學(xué) 215300)

一、教學(xué)實(shí)踐

(2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第13題)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD=1,則4a+c的最小值為_(kāi)___.

教師：求二元變量最值有哪些方法？

學(xué)生1：選擇參數(shù)表示4a+c,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值.

學(xué)生2：先建立a,c的等量關(guān)系，再求最值，比如考慮用基本不等式或消元構(gòu)建函數(shù).

教師：兩位同學(xué)提出的想法，為我們指明了思考的方向.大家不妨先用學(xué)生1的方案求解.(先獨(dú)立思考，再分組討論，梳理過(guò)程.教師投影)

教師：以上三種解法選用不同的參數(shù)表示4a+c，都算出了正確答案，大家也體會(huì)到了運(yùn)算量還是比較大的.解法2和解法3都是從建系的角度入手，但是計(jì)算的煩瑣程度卻不同，大家對(duì)比兩種解法，思考一下對(duì)我們今后解題有什么啟示.

學(xué)生3：建系時(shí)，要考慮圖形的對(duì)稱性；求解最值時(shí)，觀察解析式的結(jié)構(gòu)特征，選擇合適的方法.

教師：總結(jié)得很好.除了利用函數(shù)思想，學(xué)生2提出利用a,c的等量關(guān)系求4a+c最小值，請(qǐng)大家嘗試一下.

學(xué)生4：在△ABC,△ABD,△BCD中分別使用余弦定理，利用等式AC=AD+DC,得

教師：以上四位同學(xué)抓住A,C,D三點(diǎn)共線和BD為角∠ABC的平分線，結(jié)合解三角形或平面幾何相關(guān)知識(shí)建立了a,c的等量關(guān)系，其中學(xué)生6、學(xué)生7和學(xué)生8的解法看起來(lái)都比較簡(jiǎn)捷.大家還有其他方法嗎？(學(xué)生表示想不到其他方法了)

教師：我們?cè)谇懊娴膶W(xué)習(xí)中知道，可以利用向量刻劃三點(diǎn)共線和角平分線，能否利用向量知識(shí)得到a,c的等量關(guān)系呢？請(qǐng)分組交流探究解決思路.

教師：笛卡爾有句名言：“我解決過(guò)的每一個(gè)問(wèn)題都成為日后用于解決其他問(wèn)題的法則.”這句話在講積累解題經(jīng)驗(yàn)的重要性.通過(guò)對(duì)這道高考題的探究，大家學(xué)到了什么？

學(xué)生9：解決二元最值問(wèn)題的常用方法，可以選擇參數(shù)建立函數(shù)，也可以利用基本不等式.解題時(shí)遇到三點(diǎn)共線時(shí)，除了利用解三角形和平面幾何知識(shí)解題，還可以利用向量知識(shí)解題.

教師：總結(jié)得很到位.從解題思想上來(lái)說(shuō)主要用了函數(shù)、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.同學(xué)們進(jìn)一步思考一下，如果改變題目的條件，可以提出那些問(wèn)題呢？

學(xué)生10：把BD為∠ABC的角平分線，改為BD為中線或者改為BD為高線，求4a+c的最小值.

教師：很好，由三角形角平分線，聯(lián)想到中線和高，對(duì)題目進(jìn)行改編. 改編的新問(wèn)題能否依據(jù)今天的解題經(jīng)驗(yàn)，選擇合適的方法解決呢？由于課堂時(shí)間限制，請(qǐng)大家課后思考給出解答，下節(jié)課我們展示大家的研究成果.

二、教學(xué)反思

1.培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，需要預(yù)設(shè)“好”題

高三復(fù)習(xí)課需要精選好題，把高考題引入課堂，有利于激發(fā)學(xué)生的研究興趣.本題背景熟悉、題面簡(jiǎn)潔，表述通俗，且意圖清晰，給學(xué)生親切感，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.本題的素材來(lái)源于教材，在諸多基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的交匯處命制，兼顧基礎(chǔ)性和綜合性，能反映知識(shí)間的橫向和縱向聯(lián)系，從解三角形的視角入手，從建立平面直角坐標(biāo)系以數(shù)輔形的視角入手，從平面幾何的視角入手，從平面向量的視角入手，均能得到問(wèn)題的解題思路，有助于啟發(fā)學(xué)生思考，發(fā)散學(xué)生思維，提升數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用的靈活性.

2.培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，需要把課堂還給學(xué)生

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)培養(yǎng)的主要途徑.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中要把發(fā)展學(xué)生思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)放在首位.教學(xué)過(guò)程中堅(jiān)持以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，思想方法為依托，引導(dǎo)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”.培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就要把課堂還給學(xué)生，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，當(dāng)個(gè)體自主探究出現(xiàn)障礙時(shí)，采用小組合作交流的方式使得學(xué)生的思想得到碰撞，讓數(shù)學(xué)課堂成為在思維碰撞中產(chǎn)生智慧火花的課堂. 據(jù)此本節(jié)課筆者預(yù)設(shè)問(wèn)題情境，先給學(xué)生留出時(shí)間獨(dú)立思考，形成個(gè)人初步認(rèn)識(shí)；再分組討論，師生共同交流探討；最后梳理大家的智慧，形成解題經(jīng)驗(yàn).