導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探析

周 曉

(福建省霞浦第一中學(xué) 355199)

作為微積分中的基礎(chǔ)知識(shí)，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問題和解決實(shí)際高中數(shù)學(xué)難題中發(fā)揮著不可忽視的作用.導(dǎo)數(shù)通過將函數(shù)、方程、向量、數(shù)列、不等式、解析幾何等內(nèi)容有機(jī)聯(lián)系起來(lái)，并為解決這些問題提供了較為統(tǒng)一且能讓學(xué)生容易理解和上手的學(xué)習(xí)方法.根據(jù)筆者多年實(shí)踐和觀察發(fā)現(xiàn)，伴隨著高中新課程改革的不斷深入，導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題方面的作用越來(lái)越明顯，地位也越來(lái)越特殊，深受學(xué)生喜愛.當(dāng)前，高考考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)角度很多，但萬(wàn)變不離其宗的是導(dǎo)數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)綜合應(yīng)用能力.比如，導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)、不等式、切線等實(shí)際數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，這不僅要求學(xué)生牢牢掌握與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，而且還能夠?qū)W以致用，將其運(yùn)用到解題過程中去.筆者認(rèn)為，在日常教學(xué)活動(dòng)中，尤其是備考階段，數(shù)學(xué)教師要幫助學(xué)生鞏固導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)，通過模擬練習(xí)培養(yǎng)和不斷提高學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的綜合能力.

一、導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性過程中的廣泛應(yīng)用

眾所周知，函數(shù)的單調(diào)性是高中數(shù)學(xué)的主要知識(shí)點(diǎn)之一.所謂函數(shù)的單調(diào)性，指的是在某一區(qū)間范圍內(nèi)，由于自變量發(fā)生變化，隨之因變量也會(huì)發(fā)生變化.一般情況下，判斷函數(shù)單調(diào)性的依據(jù)，我們率先想到的是其具體定義.也就是說(shuō)，在某一區(qū)間范圍內(nèi)，倘若函數(shù)中自變量變大，而因變量隨之變小，則我們稱之為減函數(shù)；而倘若函數(shù)中自變量變大，因變量也隨之變大，則我們稱之為增函數(shù).其中，相應(yīng)的區(qū)間是其與之對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間.多年實(shí)踐和教學(xué)心得發(fā)現(xiàn)，這一判斷方式較為滿足且適用于相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)單調(diào)性.但是，當(dāng)面臨稍稍復(fù)雜的函數(shù)時(shí)，這一解題思路則會(huì)變得顯得過于復(fù)雜，同時(shí)證明起來(lái)相對(duì)不易.近年來(lái)，伴隨著導(dǎo)數(shù)的出現(xiàn)及其在高中數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用，判斷函數(shù)的單調(diào)性也變得相對(duì)容易起來(lái)，不僅快速而且可靠度高，學(xué)生也易掌握.通過導(dǎo)數(shù)具體判斷某一函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，一般做法如下：首先，進(jìn)行函數(shù)在區(qū)間范圍內(nèi)的求導(dǎo).倘若求導(dǎo)結(jié)果>0，那么可以說(shuō)明的是，此函數(shù)在這一區(qū)間范圍內(nèi)，單調(diào)呈遞增性質(zhì)；倘若求導(dǎo)結(jié)果<0，則此函數(shù)在這一區(qū)間范圍內(nèi)，單調(diào)呈遞減性質(zhì).筆者認(rèn)為，若要快速且準(zhǔn)確地判斷函數(shù)單調(diào)性，至關(guān)重要的一點(diǎn)是熟練掌握一般函數(shù)的求導(dǎo)方式.此外，還要對(duì)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)所對(duì)應(yīng)的區(qū)間進(jìn)行說(shuō)明.

二、導(dǎo)數(shù)在證明不等式過程中的廣泛應(yīng)用

縱觀近年來(lái)高考數(shù)學(xué)考查內(nèi)容，筆者發(fā)現(xiàn)，考題綜合化及知識(shí)的靈活應(yīng)用成了現(xiàn)階段及未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)高考命題主要發(fā)展趨勢(shì)之一.而針對(duì)高中數(shù)學(xué)而言，把不等式相關(guān)問題與函數(shù)結(jié)合起來(lái)綜合考查，則成了最為普遍的命題形式之一，很受歡迎.在證明不等式過程中，充分運(yùn)用導(dǎo)數(shù)效果十分明顯，不僅讓考官和教師一目了然，而且相較于以前的解題方式，利用導(dǎo)數(shù)解題速度得到了大大的提升.導(dǎo)數(shù)在證明不等式過程中的應(yīng)用一般做法是：將要證明的不等式進(jìn)行變形，使其變?yōu)榕袛鄡蓚€(gè)函數(shù)大小的題目；接著構(gòu)建輔助函數(shù)、求出具體導(dǎo)數(shù)值；然后再對(duì)導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上的正負(fù)情況進(jìn)行判斷，確定其單調(diào)性；最后判斷這兩個(gè)函數(shù)的大小值.此處要引起注意的是，在證明指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)的過程中，通過導(dǎo)數(shù)一方面可以有效提高解題的速度，另一方面還能夠引導(dǎo)學(xué)生深層次地掌握不等式、方程以及函數(shù)等相關(guān)知識(shí)及其之間的關(guān)系，從而加深對(duì)其的印象和理解.

證明設(shè)AB的中點(diǎn)是P(m,n)，那么中點(diǎn)P在橢圓內(nèi).

因此，-a

因此，線段AB的垂直平分線斜率滿足：

三、導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)最值過程中的廣泛應(yīng)用

一直以來(lái)，一提及函數(shù)求解最值，人們往往會(huì)嘆而止步，因?yàn)槠渫亲鳛楦呖茧y點(diǎn)而出現(xiàn)在考生眼前.針對(duì)函數(shù)求解最值這一知識(shí)點(diǎn)，求解方式可以說(shuō)是千姿百態(tài).以往的求解方式可以滿足一般函數(shù)，但是碰到求解較為復(fù)雜的函數(shù)最值的時(shí)候，考生往往會(huì)顯得無(wú)從下手，甚至不知所措.此外，更為頭腦的是其解題過程相對(duì)不簡(jiǎn)單.而導(dǎo)數(shù)的出現(xiàn)則大大化解了這一尷尬.舉個(gè)例子，我們常見的二次函數(shù)求解最值.難點(diǎn)在于，因?yàn)槎魏瘮?shù)所需要求解的最值是在某一區(qū)間范圍的最值，這就要求分別求出這一區(qū)間范圍內(nèi)的最大值抑或是最小值.過去我們遇到這個(gè)問題，往往會(huì)采取數(shù)形互相結(jié)合這一方式，而這對(duì)于學(xué)生而言，解題過程顯得較為繁復(fù)冗長(zhǎng)，時(shí)間成本較大.而通過導(dǎo)數(shù)則顯得較為簡(jiǎn)單、快捷，一般做法是：通過導(dǎo)數(shù)判斷出該函數(shù)在區(qū)間范圍內(nèi)的單調(diào)性和最大值、最小值，然后對(duì)其最值與區(qū)間對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行明確，可以說(shuō)是既高效又快速.

分析第一步：求出f(x)的極值點(diǎn)；

第二步：對(duì)比極值點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值；

第三步：求出該函數(shù)在區(qū)間范圍內(nèi)的最大值、最小值.

解因?yàn)閒′(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x+1)(x-1),則

當(dāng)x∈[-3,-1]或者x∈[1,3/2]時(shí)，f′(x)>0，因此[-3,-1],[1,3/2],則是該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)，f′(x)<0,因此,[-1,1]，則是該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.

由于f(-3)=-18,f(-1)=2,f(1)=-2,f(3/2)=-9/8.

因此，當(dāng)x=-3的時(shí)候，f(x)的最小值為-18;

當(dāng)x=-1的時(shí)候，f(x)的最大值為2.

總的來(lái)說(shuō)，導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)應(yīng)用十分廣泛，不僅僅局限于上述所呈現(xiàn)的幾種，方便學(xué)生答題解題的同時(shí)還在無(wú)形中大大提高了對(duì)學(xué)生的要求.由于導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)安排在教材末尾，因此在實(shí)際解題過程中，學(xué)生往往會(huì)通過自己慣用的思維來(lái)答題，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用不多.筆者認(rèn)為，在日常模擬考試及學(xué)習(xí)過程中，高中數(shù)學(xué)教師可以適當(dāng)增加導(dǎo)數(shù)相關(guān)內(nèi)容，拓展學(xué)生解題思維，提高解題能力.