磁場(chǎng)壓縮波動(dòng)幅度對(duì)衛(wèi)星磁強(qiáng)計(jì)零位標(biāo)定影響的數(shù)值仿真

王國(guó)強(qiáng)，潘宗浩，胡小文，劉 凱，孟立飛，易 忠，張鐵龍

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)（深圳） 空間科學(xué)與應(yīng)用技術(shù)研究院，深圳 518055； 2.中國(guó)科學(xué)院 月球與深空探測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100101； 3.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 地球和空間科學(xué)學(xué)院，合肥 230026；4.北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京 100094； 5.奧地利科學(xué)院 空間研究所，格拉茨 A-8042）

0 引言

精確的磁場(chǎng)測(cè)量對(duì)揭示磁重聯(lián)和地球磁層動(dòng)力學(xué)過程等空間現(xiàn)象具有重要意義[1-6]。衛(wèi)星上的磁通門磁強(qiáng)計(jì)測(cè)量的磁場(chǎng)包含衛(wèi)星剩磁、磁強(qiáng)計(jì)零位偏移和自然磁場(chǎng)[7-9]，為精確獲得自然磁場(chǎng)，需要從磁強(qiáng)計(jì)所測(cè)的磁場(chǎng)中剔除衛(wèi)星剩磁和磁強(qiáng)計(jì)的零位偏移[10]。衛(wèi)星剩磁可進(jìn)一步分為動(dòng)態(tài)磁場(chǎng)和穩(wěn)態(tài)磁場(chǎng)，其中穩(wěn)態(tài)磁場(chǎng)變化較為緩慢，故可將其和磁強(qiáng)計(jì)的零位偏移一起視為磁強(qiáng)計(jì)的零位補(bǔ)償[11]；動(dòng)態(tài)磁場(chǎng)可采用雙點(diǎn)測(cè)量法予以剔除[12]。磁通門磁強(qiáng)計(jì)在磁場(chǎng)強(qiáng)度為0的環(huán)境下會(huì)存在一個(gè)偏差，其補(bǔ)償值在衛(wèi)星發(fā)射之前應(yīng)進(jìn)行校正[11]；但在衛(wèi)星發(fā)射升空之后，磁強(qiáng)計(jì)的零位補(bǔ)償值會(huì)因?yàn)殡娮悠骷囟茸兓蚶匣纫蛩囟l(fā)生緩慢改變，所以需要對(duì)該補(bǔ)償值進(jìn)行在軌標(biāo)定。

空間環(huán)境中存在著大量的磁流體力學(xué)波動(dòng)[13-14]，其中磁場(chǎng)壓縮波動(dòng)會(huì)改變總磁場(chǎng)的強(qiáng)度，而剪切阿爾芬波動(dòng)不會(huì)改變總磁場(chǎng)強(qiáng)度[15]。利用阿爾芬波動(dòng)的這一特性，基于所選時(shí)段的行星際空間磁場(chǎng)波動(dòng)是阿爾芬波動(dòng)的假設(shè)，Belcher方法[16]、Hedgecock方法[17]和Davis-Smith方法[18]等獲取磁通門磁強(qiáng)計(jì)零位補(bǔ)償?shù)姆椒ū惶岢?。其中，Davis-Smith方法是使磁場(chǎng)幅度平方的方差最小化，被認(rèn)為是目前深空探測(cè)中磁強(qiáng)計(jì)在軌標(biāo)定的最優(yōu)方法[19]。

行星際空間中存在大量磁場(chǎng)波動(dòng)，但沒有純的阿爾芬波動(dòng)[19]。為確保Davis-Smith方法計(jì)算零位補(bǔ)償?shù)目煽啃裕枰Y選出阿爾芬特性足夠好的行星際磁場(chǎng)數(shù)據(jù)時(shí)段。為此，Leinweber等人[19]對(duì)數(shù)據(jù)窗口的篩選提出了3個(gè)準(zhǔn)則：1）磁場(chǎng)剪切擾動(dòng)需要繞多個(gè)非平行軸有顯著的旋轉(zhuǎn)；2）磁場(chǎng)壓縮擾動(dòng)整體上處于較低的水平；3）磁場(chǎng)矢量中的任一分量與總磁場(chǎng)的平方滿足較強(qiáng)的線性關(guān)系。其中，磁場(chǎng)壓縮擾動(dòng)大小的控制采用的是經(jīng)驗(yàn)值。

近期的研究表明，磁場(chǎng)波動(dòng)的頻率和幅度等對(duì)采用Davis-Smith方法計(jì)算磁強(qiáng)計(jì)零位補(bǔ)償?shù)恼`差有顯著影響[20-21]。本文通過數(shù)值仿真研究在不同頻率和幅度下的剪切阿爾芬波動(dòng)對(duì)采用Davis-Smith方法計(jì)算磁通門磁強(qiáng)計(jì)零位補(bǔ)償誤差的影響，給出磁場(chǎng)壓縮擾動(dòng)處于較低水平的參考值，以期提高深空探測(cè)中磁通門磁強(qiáng)計(jì)的在軌標(biāo)定精度。

1 Davis-Smith 方程

采用相關(guān)性分析可推導(dǎo)出Davis-Smith方程[19]。在數(shù)學(xué)上，若變量x和y是獨(dú)立的，即x和y不相關(guān)，則其協(xié)方差Sxy= 〈xy〉-〈x〉〈y〉=0。設(shè)BM=(B1,B2,B3)為磁強(qiáng)計(jì)測(cè)量到的磁場(chǎng)，BA=(BA1,BA2,BA3)為自然磁場(chǎng)，O=(O1,O2,O3)為零位補(bǔ)償，則有：

不論阿爾芬波動(dòng)中的磁場(chǎng)擾動(dòng)幅度有多大，其總磁場(chǎng)強(qiáng)度是不變的，即磁場(chǎng)各分量（BA1、BA2或BA3）與總磁場(chǎng)強(qiáng)度的平方（|BA|2）都不相關(guān)，于是有：

將式(1)代入方程(2)～(4)之后，將磁補(bǔ)償放置于其中一邊，可得：

方程(5)左邊是一個(gè)協(xié)方差矩陣，它與磁補(bǔ)償O之間是相互獨(dú)立的。將減去各自的平均值后記為，于是有

2 數(shù)值仿真

如果磁通門磁強(qiáng)計(jì)所測(cè)磁場(chǎng)BM為自然磁場(chǎng)，那么磁強(qiáng)計(jì)的真實(shí)零位補(bǔ)償值為0；此時(shí)將所測(cè)磁場(chǎng)BM代入Davis-Smith方程后計(jì)算出來的結(jié)果即為磁強(qiáng)計(jì)零位補(bǔ)償?shù)恼`差。本文采用數(shù)值仿真分析，設(shè)定好磁場(chǎng)BM的時(shí)間序列后，代入到Davis-Smith方程分析磁場(chǎng)壓縮擾動(dòng)的相對(duì)幅度對(duì)磁強(qiáng)計(jì)零位補(bǔ)償誤差的影響。

2.1 單頻波動(dòng)

近期的研究結(jié)果表明，如果在數(shù)據(jù)窗口中磁場(chǎng)壓縮波動(dòng)的周期和剪切阿爾芬波動(dòng)的周期相同，則阿爾芬波動(dòng)的相關(guān)參數(shù)（如周期和幅度）會(huì)對(duì)Davis-Smith方程計(jì)算磁通門磁強(qiáng)計(jì)的零位偏移量的精確度產(chǎn)生顯著影響[21]。首先分析剪切磁場(chǎng)波動(dòng)只出現(xiàn)在x和y分量上的情況，并引入一個(gè)小幅度的磁場(chǎng)壓縮波動(dòng)。設(shè)定磁場(chǎng)x、y分量和總磁場(chǎng)的剪切波動(dòng)為：

其中：A為磁場(chǎng)剪切波動(dòng)的幅度；ωc為壓縮波動(dòng)的角頻率，取ωc=0.105 rad/s（或周期TA=1 min）。數(shù)據(jù)分辨率為1 s，數(shù)據(jù)窗口時(shí)間長(zhǎng)度為10TA。

將上述磁場(chǎng)代入Davis-Smith方程后，計(jì)算得到磁強(qiáng)計(jì)零位補(bǔ)償?shù)恼`差如圖1所示，其中ΔO1、ΔO2和ΔO3分別代表Bx、By和Bz分量的零位補(bǔ)償誤差，A以步長(zhǎng) 0.1 nT 從 0.5 nT 增加到 8 nT?？梢钥吹?，ΔO3的幅度比ΔO1和ΔO2的大了約1個(gè)數(shù)量級(jí)。對(duì)于方程(7)～(9)所設(shè)置的波動(dòng)而言，即使磁場(chǎng)壓縮波動(dòng)的幅度很小，磁場(chǎng)的零位補(bǔ)償誤差也是非常顯著的；當(dāng)A=1 nT時(shí)，ΔO1和ΔO2的值都大于 50 nT；當(dāng)A=2 nT時(shí)，磁場(chǎng) 3個(gè)分量的補(bǔ)償誤差值顯著減小，ΔO1、ΔO2和ΔO3均隨著A的增加而減小并趨于0。行星際空間中的磁場(chǎng)強(qiáng)度典型值在10 nT附近，而圖1中的零位補(bǔ)償誤差最大可達(dá)到幾十至幾百nT。近期的研究表明，當(dāng)壓縮波動(dòng)的周期和剪切波動(dòng)周期相同且是單頻波動(dòng)的情況下，零位補(bǔ)償?shù)挠?jì)算會(huì)出現(xiàn)顯著誤差，特別是在壓縮波動(dòng)占主導(dǎo)的磁場(chǎng)分量上[21]。該研究結(jié)果可解釋圖1中出現(xiàn)的顯著的零位補(bǔ)償誤差值。

圖1 Davis-Smith方程計(jì)算出的零位補(bǔ)償誤差與阿爾芬波動(dòng)幅度的關(guān)系Fig.1 The relation between the magnetometer offset and the amplitude of the Alfvén wave based on Davis-Smith method

2.2 Bx包含與壓縮波相同頻率的波動(dòng)

由圖1可見，當(dāng)阿爾芬波動(dòng)為單頻波動(dòng)且周期和磁場(chǎng)壓縮波動(dòng)相同時(shí)，由Davis-Smith方程計(jì)算出的磁強(qiáng)計(jì)零位補(bǔ)償誤差非常顯著。為了減小該誤差，在方程中引入多個(gè)不同周期的磁場(chǎng)擾動(dòng)，并使總磁場(chǎng)擾動(dòng)與方程(9)保持一致，設(shè)定磁場(chǎng)x、y分量和總磁場(chǎng)隨時(shí)間的變化為：

其中參數(shù)d用于控制Bx分量中和壓縮波動(dòng)頻率相同的磁場(chǎng)波動(dòng)的幅度。在式(10)、(11)中所引入的其他頻率的磁場(chǎng)波動(dòng)的參數(shù)具有一定的隨機(jī)性，但這便于分析各分量磁場(chǎng)波動(dòng)相對(duì)壓縮波動(dòng)的幅度對(duì)零位補(bǔ)償誤差的影響。

為量化磁場(chǎng)各個(gè)分量的波動(dòng)幅度，定義數(shù)據(jù)窗口中各磁場(chǎng)分量的平均波動(dòng)幅度為該磁場(chǎng)分量的標(biāo)準(zhǔn)偏差。的值用于描述磁場(chǎng)波動(dòng)的總平均波動(dòng)幅度SA，其中SBx、SBy和SBz分別為磁場(chǎng)x、y和z分量的平均波動(dòng)幅度?？偞艌?chǎng)BT的標(biāo)準(zhǔn)偏差SBT可視為壓縮波動(dòng)的平均波動(dòng)幅度。行星際空間中不存在純的剪切阿爾芬波動(dòng)，并且很難將阿爾芬波動(dòng)和壓縮波動(dòng)嚴(yán)格地從磁場(chǎng)擾動(dòng)中分離出來。因此，定義R=SA/SBT為磁場(chǎng)波動(dòng)與壓縮波動(dòng)平均波幅度之比，R值越大則表明阿爾芬波動(dòng)的相對(duì)幅度越大。當(dāng)參數(shù)d=0.1 nT時(shí)，將磁場(chǎng)剪切波動(dòng)幅度A從初值0.1 nT開始按步長(zhǎng)0.1 nT增加；A每改變1次，都將磁場(chǎng)各分量Bx、By和Bz代入Davis-Smith方程中計(jì)算出其零位補(bǔ)償誤差，它們隨R值的變化如圖2所示。由圖可見：By和Bz分量的零位補(bǔ)償誤差ΔO2和ΔO3隨著R值的增加而減小，并逐漸趨于0。在R=5時(shí)，ΔO2和ΔO3減小得最快；當(dāng)R＞10時(shí)，ΔO2和 ΔO3減小至 0.5 nT 以下，且減小的趨勢(shì)趨于緩和；同時(shí)，Bx的零位補(bǔ)償誤差ΔO1隨著R值的增加呈現(xiàn)出先快速增加至約3 nT，然后緩慢減小至2.5 nT的走勢(shì)。

圖2 Bx包含與壓縮波相同頻率的波動(dòng)時(shí)，磁場(chǎng)3個(gè)分量的零位補(bǔ)償誤差隨R值的變化關(guān)系（d=0.1 nT）Fig.2 The relation between the error of the magnetometer offset and the relative wave amplitudeRwhen theBx fluctuations contain the same frequency as the compressional wave (d=0.1 nT)

將方程(10)～(12)中參數(shù)d的值增加到1 nT后，采用和圖2相同的處理方法，獲得磁場(chǎng)3個(gè)分量的零位補(bǔ)償誤差如圖3所示。對(duì)比圖2和圖3可見：由于參數(shù)d值的增加，圖3中R的起點(diǎn)明顯比圖2中的大；By和Bz分量的零位補(bǔ)償誤差ΔO2和ΔO3的大小和變化趨勢(shì)和圖2中的基本一致；Bx分量的零位補(bǔ)償誤差ΔO1明顯比圖2中的小，且圖3中的ΔO1隨R值的增加緩慢減小并趨于0.5 nT。由此說明，當(dāng)增加Bx分量中和壓縮波動(dòng)頻率相同的波動(dòng)的幅度時(shí)，可減小該磁場(chǎng)分量的零位補(bǔ)償誤差。此外，當(dāng)R值增加到10時(shí)，磁場(chǎng)3個(gè)分量的零位補(bǔ)償誤差已顯著減小。

圖3 Bx包含與壓縮波相同頻率的波動(dòng)時(shí)，磁場(chǎng)3個(gè)分量的零位補(bǔ)償誤差隨R值的變化關(guān)系（d=1 nT）Fig.3 The relation between the error of the magnetometer offset and the relative wave amplitudeRwhen theBxfluctuations contain the same frequency as the compressional wave (d=1 nT)

2.3 Bx和By中不包含與壓縮波相同頻率的波動(dòng)

接下來，設(shè)定Bx和By分量中不包含與壓縮波動(dòng)相同頻率的波動(dòng)，并設(shè)置磁場(chǎng)x、y分量和總磁場(chǎng)隨時(shí)間的變化為：

圖4所示為d=0.1 nT時(shí)磁場(chǎng)3分量的零位補(bǔ)償誤差隨R值的變化關(guān)系。由圖可見：磁場(chǎng)3個(gè)分量的零位補(bǔ)償誤差都呈現(xiàn)出隨著R值增大而減小并趨于0的趨勢(shì)，Bz分量的零位補(bǔ)償誤差ΔO3明顯比另外2個(gè)分量的補(bǔ)償誤差ΔO1和ΔO2大，這可能與該分量包含了與壓縮波動(dòng)頻率相同的波動(dòng)有關(guān)；在R=5附近，磁場(chǎng)3個(gè)分量的零位補(bǔ)償誤差衰減速度最快；在R=10附近，各分量的零位補(bǔ)償誤差在0.5 nT附近或小于0.5 nT，減小趨勢(shì)也趨于緩和。

圖4 Bx和By中不包含與壓縮波相同頻率的波動(dòng)時(shí)，磁場(chǎng)3個(gè)分量的零位補(bǔ)償誤差隨R值的變化關(guān)系（d=0.1 nT）Fig.4 The relation between the error of the magnetometer offset and the relative wave amplitudeRwhen theBxandByfluctuations do not contain the same frequency as the compressional wave (d=0.1 nT)

為考察Bx分量幅度對(duì)零位補(bǔ)償誤差的影響，取d=1 nT時(shí)零位補(bǔ)償誤差隨R值的變化關(guān)系如圖5所示。對(duì)比圖4和圖5可見：圖5中各分量的零位補(bǔ)償誤差變化趨勢(shì)和圖4中的是一致的；當(dāng)R＞7時(shí)，圖5中各分量的零位補(bǔ)償誤差大小和圖4中的近似相等；在R=10附近，各分量的零位補(bǔ)償誤差值都在0.5 nT附近或小于0.5 nT，其變化趨勢(shì)也趨于緩和。

圖5 Bx和By中不包含與壓縮波相同頻率的波動(dòng)時(shí)，磁場(chǎng)3個(gè)分量的零位補(bǔ)償誤差隨R值的變化關(guān)系（d=1 nT）Fig.5 The relation between the error of the magnetometer offset and the relative wave amplitudeRwhen theBxandByfluctuations do not contain the same frequency as the compressional wave (d=1 nT)

3 結(jié)論

本文通過數(shù)值仿真分析了在不同的磁場(chǎng)波動(dòng)頻率和幅度條件下用Davis-Smith方法計(jì)算磁強(qiáng)計(jì)零位補(bǔ)償?shù)恼`差變化趨勢(shì)。主要結(jié)論如下：

1）若數(shù)據(jù)窗口中的磁場(chǎng)波動(dòng)為單頻波動(dòng)，且其頻率與壓縮波動(dòng)頻率相同，則零位補(bǔ)償誤差非常顯著；當(dāng)數(shù)據(jù)窗口中的磁場(chǎng)波動(dòng)為寬頻波動(dòng)時(shí)，如果某一磁場(chǎng)分量包含與壓縮波動(dòng)頻率相同的波動(dòng)，則該分量的零位補(bǔ)償誤差值會(huì)相對(duì)較大。

2）磁場(chǎng)各分量的零位補(bǔ)償誤差隨著總磁場(chǎng)相對(duì)平均波動(dòng)幅度R的增加而趨于減??；當(dāng)R=5～10時(shí)，零位補(bǔ)償誤差的減小幅度最快；在R＞10時(shí)，零位補(bǔ)償誤差已顯著減小，且變化趨勢(shì)也趨于緩和。

以上仿真結(jié)果表明，在對(duì)深空探測(cè)衛(wèi)星的磁通門磁強(qiáng)計(jì)進(jìn)行在軌標(biāo)定時(shí)，應(yīng)選擇幅度較大的寬頻阿爾芬波動(dòng)；而壓縮波動(dòng)的頻率盡可能是窄帶的。本文建議磁場(chǎng)壓縮擾動(dòng)處于較低水平的參考值為R=5～10，且R值越大，零位補(bǔ)償誤差越小。