例談“直線與圓”高考題中的距離問題

齊斌德

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題的學(xué)科，解析法是溝通數(shù)與形的重要方法。直線方程和圓的方程是解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，試題難度為中等或偏易，主要以選擇題、填空題的形式…現(xiàn)。從近幾年的高考試題來看，以距離的求解為考查熱點(diǎn)，現(xiàn)將近幾年高考中和“直線與圓”有關(guān)的距離問題梳理總結(jié)如下。

題型一：求圓心到某一點(diǎn)的距離

例1 （201 5年全國卷Ⅱ）已知三點(diǎn)A（1，0），B（O，3），C（2，3），則三角形ABC的外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為（ ）。

解法1：根據(jù)題意畫出圖形，如圖1所示，可知三角形ABC為正三角形，其外接圓的圓心坐標(biāo)為（）。

所以圓心到原點(diǎn)的距離d=。故選B。

解法2：直線BC的斜率為o，可知其垂直平分線的方程為x=l。直線AB的斜率為

，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）。因此線段AB的垂直平分線方程為。由，可得因此△ABC的外接圓的圓心坐標(biāo)為（）。所以圓心到原點(diǎn)的距離。故選B。

解法3：設(shè)三角形ABC外接圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2（r >O），則由A（1，o），B （O， ），C（2， ）三點(diǎn)在圓上，可知

因此外接圓的圓心坐標(biāo)為（1， ）。

所以圓心到原點(diǎn)的距離d=。故選B。

方法總結(jié)：與圓有關(guān)的問題大多數(shù)與圓心坐標(biāo)及半徑有關(guān)，因此在求解的過程中，要重視圓心及半徑的求法。如果直接給出了圓的方程，可以根據(jù)方程的特征及相關(guān)公式求解圓心坐標(biāo)和半徑;如果給定了一些幾何特征，應(yīng)根據(jù)幾何特征求出圓心坐標(biāo)及半徑，也可以先求出圓的方程，然后根據(jù)方程求得圓心坐標(biāo)和半徑，必要的時(shí)候畫出圖形會(huì)起到事半功倍的效果。

題型二：求圓心到直線的距離

例2 （2018年全國卷Ⅲ）直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓（x-2）2+y2=2上，則三角形ABP面積的取值范圍是（）。

A.[2，6]

B.[4，8]

c.[， ]

D.[ ， ]

解析

由題意知A為（-2，o），B為（o，-2），|AB= 。將線段AB看成三角形ABP的底邊，則點(diǎn)P到直線x+y+ 2=0的距離為三角形ABP的高，如圖2，可知當(dāng)點(diǎn)P在E處時(shí)，三角形的面積最大，當(dāng)點(diǎn)P在F處時(shí)，三角形的面積最小。

圓C：（x-2）2+y2—2的圓心坐標(biāo)為C（2，O），半徑為/2，圓心C到直線x+y+2=0的距離CD=，從而ED=2/2+/2=3/2，F(xiàn)D=2/2-/2=/2。因此三角形ABP面積的最大值為1/2AB.

1ED=，最小值為1/2AB.

1FD==2，所以三角形ABP面積的取值范圍是[2，6]。故選A。

方法總結(jié)：方程（、z、 “）2+（y/））2一r 2（r>0）表示以（a，b）為圓心，r為半徑的圓;方程x2+y2+Dx+Ey+F=O（D2+E2-4F>O）表示以（）為圓心，半徑r=的圓。在求解與圓心和半徑有關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)先根據(jù)所給圓的方程特征求出圓心和半徑，再根據(jù)題目條件解決相應(yīng)的問題。在求解圓上的點(diǎn)到直線的距離時(shí)，設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為d+r，最小值為d-r。

題型三：求弦長

例3 （2018年全國卷Ⅰ）直線y =x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A，B兩點(diǎn)，則 AB=_____。

解法1：（代數(shù)法）由方程組可得 ，或因此直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，1），（-2，-1），根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可得AB=/（0+2）2+（1+1）2=。

解法2：（幾何法）根據(jù)圓的方程x2+y2+2y-3=0，可知圓心坐標(biāo)為（0，-1），半徑r =2，圓心到直線y=x+l的距離為 ，所以AB =。

方法總結(jié)：在求解圓的弦長問題時(shí)，通常有兩種方法，一種是先用代數(shù)法通過建立方程組，解出直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式求解;另一種是通過幾何法求解，即先求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，再求出圓心到直線的距離，最后利用勾股定理求出半弦長，進(jìn)而求出弦長。兩種方法各有利弊，在解決具體問題的過程中，要根據(jù)題意靈活選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，必要時(shí)可以畫出圖形幫助理解。

題型四：判斷兩圓的位置關(guān)系‘例4 （2014年湖南卷）若圓Cl：x2+y2 =1與圓C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，則m的值為（）。

A.2l

B.19

C.9

D. -1l

解析 由題意知，圓Cl的圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r1=1，圓C2的圓心坐標(biāo)為（3，4），半徑r2=/25-m。由于兩圓外切，所以 CiC2=|ri +r2，從而，解得，m=9。故選C。

方法總結(jié)：在判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)，主要通過對(duì)比圓心距和半徑之和（差）的絕對(duì)值大小來確定。因此在求解時(shí)，應(yīng)先求出兩圓的圓心和半徑，再求出圓心距，然后與半徑之和（差）的絕對(duì)值進(jìn)行比較，從而確定兩圓的位置關(guān)系。