從行程問題解題思路看方程的應(yīng)用

荀 峰

行程問題千變?nèi)f化，究其本質(zhì)無非是三個關(guān)系：時間關(guān)系、速度關(guān)系和路程關(guān)系。通常情況下，三個關(guān)系不可能有兩個關(guān)系已知，這樣編出來的題目不需要列方程就能解決；也不可能三個關(guān)系都是相等關(guān)系，這樣編出來的問題又太復(fù)雜；最常見的考法是其中一個量是已知數(shù)據(jù)，另兩量以相等關(guān)系的形式給出。把握住這幾點之后，不管題目多么復(fù)雜，問題都可以迎刃而解。

一、速度已知

例1 A、B兩地相距33千米，甲從A地步行到B地，2小時后乙開始騎自行車也從A地去B地。已知甲每小時行3千米，乙每小時行12千米，乙到達B地后立即返回，問乙出發(fā)后經(jīng)過幾小時，在返回的途中與甲相遇？

【分析】這個問題研究的是甲、乙兩人的速度、時間、路程之間的關(guān)系，這些關(guān)系可列表如下：

乙速度時間路程甲 3 12 t甲-t乙=2 S甲+S乙=33×2

可以發(fā)現(xiàn)，時間關(guān)系和路程關(guān)系是等量關(guān)系，可根據(jù)其中一個設(shè)未知數(shù)，根據(jù)另一個列出方程。

思路1：根據(jù)時間關(guān)系設(shè)未知數(shù)。

解：設(shè)乙一共騎行了x小時，那么甲一共步行了（x+2）小時。

根據(jù)路程關(guān)系，得 3（x+2）+12x=66。

解得：x=4。

答：乙出發(fā)后經(jīng)過4小時，在返回的途中與甲相遇。

思路2：根據(jù)路程關(guān)系設(shè)未知數(shù)。

解：設(shè)乙一共騎行了x千米，那么甲一共步行了（66-x）千米。

解得：x=48。

48÷12=4（小時）。

答：乙出發(fā)后經(jīng)過4小時，在返回的途中與甲相遇。

【評析】當速度已知，時間和路程是相等關(guān)系的時候，不管根據(jù)哪個相等關(guān)系來設(shè)未知數(shù)，最終得出的都是一元一次方程。

二、路程已知

例2 小麗乘坐汽車從青島到黃島奶奶家。她去時經(jīng)過環(huán)灣高速公路，全程約84千米，返回時經(jīng)過跨海大橋，全程約45千米。小麗所乘汽車去時的平均速度是返回時的1.2倍，所用時間卻比返回時多20分鐘。求小麗所乘汽車返回時的平均速度。

【分析】這是一個行程問題。行程問題無非是速度關(guān)系、時間關(guān)系、路程關(guān)系三種。這三個關(guān)系中，有兩個關(guān)系是以相等關(guān)系的形式給出，路程關(guān)系是以具體數(shù)據(jù)的形式給出的，如下表。

45去時v去時＝1.2×v返回t去時＝t返回+返回時速度（千米/時）時間（小時）路程（千米）1 3 84

解決這個問題，可以根據(jù)其中一個相等關(guān)系設(shè)出未知數(shù)，再根據(jù)另一個相等關(guān)系列出方程，因此本題就有兩種途徑解決問題。

思路1：（根據(jù)速度關(guān)系設(shè)未知數(shù)）設(shè)小麗所乘汽車返回時的平均速度是x千米/時，根據(jù)題意得：

解這個方程，得x=75。

經(jīng)檢驗，x=75是原方程的解。

答：小麗所乘汽車返回時的速度是75千米/時。

思路2：（根據(jù)時間關(guān)系設(shè)未知數(shù)）設(shè)返程所需時間為x小時，則去時所需時間為（x+）小時。根據(jù)題意得：

這類題型的特征是路程已知，速度和時間以相等關(guān)系的形式給出，我們可以根據(jù)速度關(guān)系來設(shè)未知數(shù)，根據(jù)時間關(guān)系來列方程；或根據(jù)時間關(guān)系來設(shè)未知數(shù)，根據(jù)速度關(guān)系來列方程。由于路程=速度×?xí)r間，因此這種類型列出的方程一般是分式方程。

列分式方程解應(yīng)用題的方法步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題的方法步驟基本相同，即：設(shè)、列、解、檢驗、答，其關(guān)鍵仍然是尋找相等關(guān)系。要注意的是解分式方程的應(yīng)用題，檢驗這一步一定要寫上。

綜上所述，列方程解行程問題無非是解決速度、時間、路程三者之間的關(guān)系，由于“路程=速度×?xí)r間”，因此當速度或時間已知的時候，所列方程為整式方程。當路程已知，速度和時間以相等關(guān)系的形式給出時，列出的方程都是分式方程，所以解決行程問題的時候，遇到難題心中不要慌，仔細找出速度關(guān)系、時間關(guān)系或路程關(guān)系，問題便會迎刃而解。

由于一般情況下應(yīng)用題都是給出兩個相等關(guān)系，可以根據(jù)其中一個相等關(guān)系來設(shè)未知數(shù)，根據(jù)另一個相等關(guān)系來列方程，所以一般應(yīng)用題都有兩種解法，其中一種是直接設(shè)，另一是間接設(shè)，我們可以根據(jù)具體問題選擇合適的未知數(shù)的設(shè)法。

列分式方程解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的不同之處，一是所列方程為分式方程，二是檢驗時除了要檢查這個根是否有意義，還要檢查這個根是否是增根。