在問題引導(dǎo)中構(gòu)建思辨課堂

沈小峰

摘 要?抽屜原理的教學(xué)旨在通過讓學(xué)生初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過程，滲透一定的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的邏輯思維能力。為了幫助學(xué)生經(jīng)歷抽屜原理的學(xué)習(xí)過程，筆者基于暴露學(xué)生真實(shí)的思維入手，借助問題解決，從“總有、至少”的別樣理解，到邏輯推理的滲透，以及抽象中經(jīng)歷建模的過程的嘗試，可以使教師跳出囿于知識(shí)的囹圄，讓學(xué)生展現(xiàn)出思辨的理性。

關(guān)鍵詞?數(shù)學(xué)思想;問題解決;理性

中圖分類號(hào)：O331 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2019）02-0199-02

在教學(xué)人教版六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)廣角《抽屜原理》（現(xiàn)稱《鴿巢問題》）這個(gè)內(nèi)容時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：多數(shù)學(xué)生會(huì)憑直覺經(jīng)驗(yàn)來認(rèn)識(shí)抽屜原理：把4個(gè)蘋果放進(jìn)3個(gè)抽屜里，有一個(gè)抽屜至少放0個(gè)才對(duì)啊，怎么會(huì)是2個(gè)呢？教師方面則是通過個(gè)別學(xué)生的理解試圖達(dá)到讓全體學(xué)生領(lǐng)會(huì) “總有一個(gè)、至少”的含義。如何有效的整合雙方的訴求，達(dá)成共識(shí)，這引起了我們的思考。

【事實(shí)呈現(xiàn)】

片段1：

教師出示問題“把4支筆放入3個(gè)杯子，有哪些放法？”讓學(xué)生用豎線表示支數(shù)，把各種擺法畫一畫。然后學(xué)生開始匯報(bào)各種擺法，教師做好有序的記錄：4 0?0、3?1?0、2 2?0、2?1 1，之后老師讓學(xué)生觀察這4種不同的擺法，問這些擺法有什么共同的特點(diǎn)？學(xué)生對(duì)老師所提的問題無(wú)從下手，經(jīng)過短暫又尷尬的一段時(shí)間的沉默，終于有學(xué)生站起來，說出了標(biāo)準(zhǔn)的答案：總有一個(gè)杯子至少放了2支筆。抓住這難得的契機(jī)，教師便引導(dǎo)學(xué)生觀察這4種分法，把2、3、4的數(shù)字圈一圈，說明每種擺法都至少有2支，完成了結(jié)論的驗(yàn)證。

【我們的思考】

在例子中，教師讓學(xué)生觀察4種放法，問這些擺法有什么共同的特點(diǎn)，學(xué)生無(wú)從下手，這說明在探究時(shí)，學(xué)生還缺少一條有效的思維線索，把一系列可能的情況歸納為確定的一種情況。因此教師只能把少數(shù)同學(xué)的表述作為樣本強(qiáng)加給全體學(xué)生，我們不能否認(rèn)這種教學(xué)方式的合理性，但學(xué)生對(duì)得出的結(jié)論是否真正理解呢？這樣的教學(xué)，是在教師的完全主導(dǎo)下進(jìn)行的，學(xué)生沒有問題的意識(shí)，也就沒有思考的張力，同時(shí)，無(wú)視學(xué)生已有的認(rèn)知，割裂了學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備與能力儲(chǔ)備。張奠宙教授認(rèn)為抽屜原理，是一種邏輯推理方法。如果僅僅把抽屜原理當(dāng)作一種“知識(shí)”進(jìn)行展示，就會(huì)陷入摳字眼的囹圄?；谏鲜稣J(rèn)識(shí)，我們有了以下的實(shí)踐。

【我們的實(shí)踐】

1.課前調(diào)查

為了解學(xué)生對(duì)抽屜原理的認(rèn)知程度，課前筆者選了六年級(jí)一個(gè)班做了一個(gè)小調(diào)查。筆者設(shè)計(jì)了2個(gè)問題：（1）你聽說過抽屜原理（鴿籠原理）嗎？抽屜原理有什么用？（知道的請(qǐng)寫出大致意思，不知道的直接做第2題）;（2）如果任意從班里找出3個(gè)小朋友，是否會(huì)有2個(gè)小朋友的性別相同？為什么？對(duì)第一個(gè)問題，全班52人，只有3人聽說過，接近95%的學(xué)生沒接觸過，不了解;有學(xué)生以為抽屜原理是教別人怎么做抽屜的？還有學(xué)生認(rèn)為用抽屜原理可以進(jìn)行計(jì)算。第2題，全班只有2人寫了不知道，大部分學(xué)生都能作出正確的判斷，而且理由是樸素的：因?yàn)槭澜缟现挥心泻团?種性別，第三人就可能是其中的一種;還有學(xué)生把4種組合都寫出來了，驗(yàn)證了結(jié)論的成立。這說明，對(duì)于抽屜原理的認(rèn)識(shí)，學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)可以提供足夠的支撐，抽屜原理難點(diǎn)在理解“總有、至少”的表述。

2.課堂實(shí)踐

我們?cè)诮梃b他人經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行了實(shí)踐，意圖通過數(shù)學(xué)活動(dòng)的形式，以問題解決的思路引領(lǐng)整個(gè)探究過程。主要過程簡(jiǎn)述如下：

問題：把4個(gè)蘋果放到3個(gè)抽屜里，會(huì)不會(huì)有一個(gè)抽屜里至少有2個(gè)蘋果呢？

方法提示：可以以小組的形式進(jìn)行探討，如每四人為一組，利用畫一畫、寫一寫，充分展現(xiàn)你們的智慧，看看最終你們的排列方案，很快A組進(jìn)行匯報(bào)：把4個(gè)蘋果全部放進(jìn)一個(gè)抽屜，老師用數(shù)字進(jìn)行記錄：400、040、004，此時(shí)B組提出觀點(diǎn)：這3種放法其實(shí)都是一個(gè)意思，就是有一個(gè)抽屜里放了4個(gè)蘋果。教師進(jìn)行講評(píng)：我們不能確定這4個(gè)蘋果放在了哪個(gè)抽屜，但總有一個(gè)抽屜放了4個(gè)蘋果。所以，我們可以不用考慮抽屜的順序。根據(jù)學(xué)生擺的情況，教師演示并板書剩余的3種放法：3 1 0、2 2 0、2 1 1;C組進(jìn)行質(zhì)疑，在2 1 1里，有一個(gè)抽屜放了1蘋果，怎么能說至少有2個(gè)蘋果呢？B組回答：可第一個(gè)抽屜放了2個(gè)蘋果了啊，我們只要找到有一個(gè)抽屜放2個(gè)蘋果就可以說明問題了……

教師結(jié)論：你們的觀察角度真準(zhǔn)?？磥聿还茉趺捶?，總有一個(gè)抽屜里，它蘋果是最多的，可能是2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)，這句話還可以說總有一個(gè)抽屜里至少放2個(gè)蘋果。

抽屜原理中“至少”的理解，它不同于一般語(yǔ)境中的含義，是一種在“最多”中找“至少”的全新思維方式，因而弄清其含義對(duì)小學(xué)生來說是有難度的。通過直觀操作，在明理的過程中，學(xué)生強(qiáng)烈的體會(huì)到總有一個(gè)抽屜放了蘋果，但不確定是放在哪個(gè)抽屜里，這其實(shí)就是對(duì)“總有一個(gè)抽屜”最樸素的理解。同時(shí)，在理解“至少”時(shí)，從每種放法里蘋果最多的抽屜來作觀察，引導(dǎo)學(xué)生在“最多”中找“至少”。學(xué)生因觀點(diǎn)交流而產(chǎn)生思維的碰撞，在不斷的交鋒中慢慢達(dá)成了對(duì)文本的理解。

【我們的反思】

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力，并體會(huì)一些數(shù)學(xué)的基本思想，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。“嘗試從不同角度尋求解決問題的方法并能有效地解決問題，嘗試評(píng)價(jià)不同方法之間的差異。”正是在這樣的背景下，我們選擇了以“問題解決”作為學(xué)生探索抽屜原理的思路，著重體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法。

一、在“最多”中達(dá)成“至少”的共識(shí)

在抽屜原理中，“總有一個(gè)”，“至少”等關(guān)鍵詞的解讀和為了達(dá)到“至少”而進(jìn)行平均分的思路;以及把什么看成蘋果，把什么看成抽屜，這樣一個(gè)數(shù)學(xué)模型的建立，學(xué)生學(xué)得頗具困難。因此，重構(gòu)后的課堂教學(xué)從問題解決入手，在探索抽屜原理的起始階段，設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)活動(dòng)：把4個(gè)蘋果放到3個(gè)抽屜里，會(huì)不會(huì)有一個(gè)抽屜里至少有2個(gè)蘋果呢？讓孩子們用枚舉法驗(yàn)證。枚舉法的好處在于很直觀，可以清楚的看出各種情況是否符合結(jié)論。通過直觀操作，抽象列舉，經(jīng)歷在“最多”中找“至少”的過程，引導(dǎo)學(xué)生用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來表達(dá)，這樣的設(shè)計(jì)有效降低了教學(xué)難點(diǎn)，化解了老師把一個(gè)學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)答案當(dāng)做了全體學(xué)生的共識(shí)這樣一種尷尬，較好的使學(xué)生理解了“至少”的含義。

二、在活動(dòng)中感受理性的張力

張奠宙教授指出，抽屜原理一課，應(yīng)該重在邏輯推理論證。教給學(xué)生論證的方法，把個(gè)別學(xué)生的好的推理方法內(nèi)化到大多數(shù)學(xué)生身上。因此，當(dāng)學(xué)生用最不利原則來論證結(jié)論時(shí)，教師要切中要害：最不利的情況是211，那么最有利的情況是什么？集中在一個(gè)抽屜里是最有利的情況，那么把蘋果分的最散就是最不利的情況，這時(shí)需要引入平均分。當(dāng)活動(dòng)從4個(gè)蘋果放到3個(gè)抽屜里，再到5個(gè)蘋果放到4個(gè)抽屜里，最后拓展到102個(gè)蘋果放到100個(gè)抽屜里，如果用枚舉法，呈現(xiàn)的情況可以是成千上萬(wàn)的，根本無(wú)法擺完全，但是，運(yùn)用抽象的演繹推理可以得出絕對(duì)肯定的結(jié)論。抽屜原理是純粹的存在性定理，只知其中有一個(gè)抽屜里至少有2個(gè)蘋果，卻不知道究竟是哪一個(gè)抽屜。也只知道某抽屜里的蘋果數(shù)至少是2，卻不能肯定究竟是幾個(gè)？也許102個(gè)蘋果都放在某一個(gè)抽屜里呢！這個(gè)看起來無(wú)法回答的問題，卻給出了絕對(duì)正確的答案。理性的力量令人震撼。積累這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并將之內(nèi)化為一種數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生將終身受用。

三、在抽象中經(jīng)歷建模的過程

通過枚舉擺法來逐一驗(yàn)證，應(yīng)該是證明抽屜原理最為形象也最易讓學(xué)生理解的一個(gè)方法。但這種方法也有一定的局限性，當(dāng)涉及到的數(shù)據(jù)偏大時(shí)，通過列舉就顯得非常煩瑣。所以，這里除了驗(yàn)證之外，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入的觀察與分析，找到那種分得最平均或者是最趨向于平均的分法來說明“總有一個(gè)盤子至少有2個(gè)蘋果”，以進(jìn)一步優(yōu)化驗(yàn)證的方法。通過進(jìn)一步的觀察與分析，讓學(xué)生逐步過體驗(yàn)到，通過枚舉最趨向于平均的擺法來證明是一種更加簡(jiǎn)便的方法。當(dāng)學(xué)生能夠理解并掌握用最趨向于平均的擺法來解釋與驗(yàn)證抽屜原理應(yīng)該是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一次質(zhì)的提升;通過進(jìn)一步的教學(xué)，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)用除法算式來解決抽屜問題，應(yīng)該是學(xué)生對(duì)抽屜原理的更為抽象更為數(shù)學(xué)化的理解。當(dāng)然，這是一種更為簡(jiǎn)便的解釋，在以后解決類似問題時(shí)更具適用性。這一路的探索，層層遞進(jìn)，從枚舉法慢慢過渡到用邏輯推理來驗(yàn)證結(jié)論，學(xué)生的思維得到了提升。同時(shí)，也歸納出了抽屜原理的一般結(jié)論，完成了建模的過程。

參考文獻(xiàn)：

[1]張奠宙.按“四基”要求編寫教材——以“抽屜原理”為例[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2014（10）.