一種非線性變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)濾波算法

仝喜峰，陳衛(wèi)松，錢(qián)隆彥，肖夢(mèng)迪

(安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

0 引言

自適應(yīng)主動(dòng)噪聲控制技術(shù)被認(rèn)為是一種有效的噪聲控制方法，并且在低頻噪聲控制領(lǐng)域取得了許多實(shí)際應(yīng)用[1]。在自適應(yīng)主動(dòng)噪聲控制系統(tǒng)中，多采用最小均方LMS算法[2-5]， LMS算法步長(zhǎng)因子選取較大值時(shí)，算法可以獲取較快的收斂速度，但是穩(wěn)態(tài)誤差較大；當(dāng)步長(zhǎng)因子選取較小值時(shí)，算法可以獲取較小的穩(wěn)態(tài)誤差，但收斂速度較慢。固定步長(zhǎng)值的固有缺陷無(wú)法合理協(xié)調(diào)收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差，各種變步長(zhǎng)LMS算法陸續(xù)出現(xiàn)，其原理是在算法收斂過(guò)程中動(dòng)態(tài)地改變步長(zhǎng)值。文獻(xiàn)[6]提出將步長(zhǎng)值μ隨算法迭代次數(shù)增大而減小，達(dá)到變步長(zhǎng)調(diào)整的目的，但是這種步長(zhǎng)調(diào)整規(guī)則僅適用于非時(shí)變的系統(tǒng)。文獻(xiàn)[7]提出了一種基于Sigmoid函數(shù)的變步長(zhǎng)SVSLMS算法，通過(guò)在步長(zhǎng)和誤差信號(hào)之間建立非線性關(guān)系，有效解決了文獻(xiàn)[6]中面向系統(tǒng)的問(wèn)題，但該算法在誤差較小時(shí)，步長(zhǎng)調(diào)整幅度較大導(dǎo)致算法不能保證較小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)。文獻(xiàn)[8]在SVSLMS算法的基礎(chǔ)上提出一種新的算法，解決了誤差較小時(shí)步長(zhǎng)調(diào)整過(guò)快的問(wèn)題。

雖然變步長(zhǎng)LMS算法種類(lèi)繁多，但是對(duì)步長(zhǎng)調(diào)整的原則大致相同。即在誤差值大時(shí)(初始收斂階段)，為了算法獲得較快的收斂速度，步長(zhǎng)取較大值；當(dāng)誤差小時(shí)(收斂完成階段)，為了獲取小的穩(wěn)態(tài)誤差，步長(zhǎng)取較小值，以此來(lái)提高整個(gè)算法的性能[9-12]。本文在現(xiàn)有變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)濾波算法的理論基礎(chǔ)上，通過(guò)引入步長(zhǎng)因子與誤差信號(hào)的非線性關(guān)系,提出了一種新的變步長(zhǎng)LMS算法，并將其應(yīng)用在電腦風(fēng)扇低頻噪聲控制中。經(jīng)仿真實(shí)驗(yàn)得知，針對(duì)電腦風(fēng)扇噪聲控制具有較好的效果。

1 變步長(zhǎng)LMS算法

1.1 LMS自適應(yīng)濾波算法

自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)[13]如圖1所示。其中，x(n)為n時(shí)刻的輸入信號(hào)，y(n)為自適應(yīng)濾波器的輸出信號(hào)，d(n)為n時(shí)刻的期望信號(hào)，通過(guò)期望信號(hào)d(n)與濾波器輸出信號(hào)y(n)作差運(yùn)算得到n時(shí)刻的誤差信號(hào)e(n)，自適應(yīng)濾波器根據(jù)誤差信號(hào)的變化來(lái)自適應(yīng)調(diào)節(jié)濾波器參數(shù)，直到自適應(yīng)濾波器的輸出信號(hào)y(n)無(wú)限接近期望信號(hào)d(n)。

圖1 自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)

LMS自適應(yīng)濾波算法的基本步驟如下：

y(n)=WT(n)X(n)，

(1)

e(n)=d(n)-y(n)，

(2)

W(n+1)=W(n)+2μe(n)X(n)，

(3)

式中，μ為步長(zhǎng)因子。

1.2 SVSLMS自適應(yīng)濾波算法

在眾多類(lèi)型的變步長(zhǎng)算法中，由覃景繁等人基于Sigmoid函數(shù)提出的變步長(zhǎng)LMS算法是最為經(jīng)典的一種，SVSLMS算法變步長(zhǎng)函數(shù)表達(dá)式為[7]：

(4)

式中，變步長(zhǎng)μ(n)為e(n)的sigmoid函數(shù)，α為控制函數(shù)形狀的常數(shù)，β為控制函數(shù)取值范圍的常數(shù)。通過(guò)在誤差信號(hào)和步長(zhǎng)之間建立新的非線性函數(shù)關(guān)系，克服了LMS算法收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。變步長(zhǎng)函數(shù)μ(n)可以滿(mǎn)足在算法收斂初期選取較大步長(zhǎng)，在算法已經(jīng)完成收斂狀態(tài)，選取較小步長(zhǎng)保證較小的穩(wěn)態(tài)誤差。使得算法可以在獲得較快收斂速度的前提下，保證較小的穩(wěn)態(tài)誤差，并在跟蹤能力上有了較大的提升。但SVSLMS算法在變步長(zhǎng)函數(shù)設(shè)置上仍然存在一定的缺陷，在誤差e(n)接近零處時(shí)，變步長(zhǎng)函數(shù)變化太大，不具有緩慢變化的特性，使得SVSLMS算法在自適應(yīng)穩(wěn)態(tài)階段仍具有較大的步長(zhǎng)變化?；诖?，文獻(xiàn)[8]提出了一種改進(jìn)的SVSLMS算法，步長(zhǎng)調(diào)整函數(shù)為：

(5)

1.3 非線性變步長(zhǎng)LMS算法

(6)

圖2為sigmoid函數(shù)及調(diào)整過(guò)程中的非線性函數(shù)曲線，其中曲線1為Sigmoid函數(shù)曲線，曲線2為Sigmoid函數(shù)求導(dǎo)曲線，曲線3為曲線2翻轉(zhuǎn)后的曲線，將曲線3向上平移0.5個(gè)單位長(zhǎng)度得到最終的曲線4。

圖2 sigmoid函數(shù)及調(diào)整過(guò)程中的非線性函數(shù)曲線

隨著自變量的增大，函數(shù)的斜率呈現(xiàn)先增大后減小的特點(diǎn)，將其導(dǎo)函數(shù)取反得到曲線3，呈現(xiàn)先減小后增大的規(guī)律，向上平移得到最終函數(shù)曲線4。從圖2可以發(fā)現(xiàn)曲線4滿(mǎn)足非線性變步長(zhǎng)函數(shù)的調(diào)整原則，在初始收斂階段步長(zhǎng)保持較大取值，在收斂完成階段選擇較小步長(zhǎng)取值，并且在誤差接近零處時(shí)，步長(zhǎng)調(diào)整節(jié)奏緩慢。式(6)可以看做是一種新型的非線性變步長(zhǎng)函數(shù)模型，為了更好地對(duì)其形狀進(jìn)行控制，本文將參數(shù)α，β引入公式中[14]，得到改進(jìn)的非線性函數(shù)模型：

(7)

式中，參數(shù)β主要控制函數(shù)取值范圍；α，β共同控制函數(shù)的形狀。

1.4 3種算法對(duì)比分析

為了更加直觀地對(duì)本文列舉的3種算法變步長(zhǎng)函數(shù)進(jìn)行對(duì)比，圖3(a)和圖3(b)分別為3種算法的變步長(zhǎng)函數(shù)與誤差關(guān)系對(duì)比圖和局部對(duì)比圖，從圖中可以看出，3種算法的迭代步長(zhǎng)函數(shù)都能保證在誤差較大的算法收斂初期提供較大的步長(zhǎng)，提高算法的收斂速度；在誤差較小(接近于0時(shí))的算法收斂階段提供較小的步長(zhǎng)，保證算法收斂狀態(tài)的穩(wěn)定性。

圖3 3種算法對(duì)比圖

從圖3(a)可以看出，當(dāng)算法初始收斂階段(誤差較大時(shí))，本文算法的步長(zhǎng)取值在3種算法中最大，確保了算法的收斂速度。對(duì)比3種變步長(zhǎng)函數(shù)曲線可以看出，改進(jìn)的SVSLMS算法和本文算法在誤差信號(hào)趨于零時(shí)，步長(zhǎng)變化相對(duì)較緩慢，確保算法可以獲得較好的穩(wěn)定性，本文變步長(zhǎng)函數(shù)表現(xiàn)更優(yōu)。

為了更好地分析本文提出的變步長(zhǎng)函數(shù)中參數(shù)α，β的作用以及取值，下面分別討論參數(shù)α，β對(duì)函數(shù)模型性能的影響，并分析其適當(dāng)?shù)娜≈捣秶?。圖4和圖5分別為β相同、α不同，α相同、β不同2種情況下，變步長(zhǎng)函數(shù)μ(n)與誤差信號(hào)e(n)之間的關(guān)系曲線。

圖4 μ(n)與e(n)的關(guān)系曲線(β相同、α不同)

圖5 μ(n)與e(n)的關(guān)系曲線(α相同、β不同)

圖4為β取1.5時(shí)，α分別取0.2，0.5，1，3，5的步長(zhǎng)因子與誤差的函數(shù)曲線。圖中多數(shù)曲線均能滿(mǎn)足變步長(zhǎng)取值的原則，在誤差值大時(shí)(初始收斂階段)，為了算法獲得較快的收斂速度，步長(zhǎng)取較大值；當(dāng)誤差小時(shí)(收斂完成階段)，為了獲取小的穩(wěn)態(tài)誤差，步長(zhǎng)取較小值來(lái)提高整個(gè)算法的性能。此外，穩(wěn)態(tài)誤差與步長(zhǎng)取是密切相關(guān)，當(dāng)誤差接近零處時(shí)，為了算法可以平穩(wěn)收斂，保持較小的穩(wěn)態(tài)誤差，此時(shí)步長(zhǎng)選取較小值，并且變化幅度較為平緩。顯然圖4中多數(shù)曲線均能滿(mǎn)足這一點(diǎn)要求。

由上分析可見(jiàn)，α值越大，模型性能越優(yōu)。但太大的α?xí)共介L(zhǎng)因子在誤差較大時(shí)減到一個(gè)較小的值，從而使系統(tǒng)的收斂速度變慢。當(dāng)α越小時(shí)，在穩(wěn)態(tài)階段算法可以獲得較小的步長(zhǎng)值，保證算法的穩(wěn)定性，但在誤差較大時(shí)卻不能提供較大的步長(zhǎng)值來(lái)加快算法的收斂速度。綜合以上因素，α值宜在2.8～3.2范圍內(nèi)選取，本文選定α=3，此時(shí)算法在誤差較大時(shí),步長(zhǎng)因子取值較大，保證了算法收斂速度較快，而在誤差接近零時(shí)步長(zhǎng)曲線也逐漸貼近零刻度線，并且變化幅度較為平緩，算法獲得更高的穩(wěn)定性。

圖5為α取3時(shí)，β分別取0.2，0.5，1.5，3，5的步長(zhǎng)因子與誤差的函數(shù)模型曲線。從迭代步長(zhǎng)與參數(shù)β關(guān)系圖可以看出，對(duì)于相同的的初始誤差，β取值越大，初始收斂階段算法的收斂速度越快。若β取值過(guò)大，雖然收斂速度得到提高但是算法收斂后|e(n)|對(duì)應(yīng)的步長(zhǎng)μ(n)也較大，造成較大的穩(wěn)態(tài)誤差。如果在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)收斂速度的需求較高，則可以選用較大的β值；如果對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差的需求較高，可選取較小的β值。但應(yīng)當(dāng)注意的是，當(dāng)β取值過(guò)小時(shí)，步長(zhǎng)μ(n)迭代變化區(qū)間較小，此時(shí)變步長(zhǎng)LMS算法也就近似退化為固定步長(zhǎng)LMS算法，收斂速度不會(huì)有較大提高。為分析方便，本文取α為定值3，β為變參數(shù)，μ(n)與β成正比，根據(jù)實(shí)際需求決定參數(shù)β的最優(yōu)取值。

2 算法模擬仿真分析

為了檢驗(yàn)本文算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差性能表現(xiàn)，對(duì)算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并選取2種具有代表性的變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)濾波算法作為對(duì)比。

圖6為3種算法的最小均方誤差(MSE)變化曲線對(duì)比，從圖中可見(jiàn)，在信噪比SNR分別為5,10,15三種噪聲背景下，SVSLMS算法的收斂速度最慢，本文提出的算法在不同噪聲環(huán)境下均能表現(xiàn)出較快的收斂速度。圖6(a)在SNR=5低信噪比背景下，本文算法迭代80次左右就已經(jīng)完成了算法的收斂過(guò)程，而SVSLMS算法及改進(jìn)的SVSLMS算法完成整個(gè)收斂過(guò)程則需要迭代次數(shù)達(dá)到200次和150次。當(dāng)信噪比較大時(shí)，本文算法提高收斂速度的優(yōu)勢(shì)將進(jìn)一步擴(kuò)大。

圖6 不同信噪比背景下3種算法MSE對(duì)比

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)算法在面對(duì)時(shí)變?cè)肼暠尘皶r(shí)跟蹤收斂能力的表現(xiàn)，仿真條件在算法迭代到500次時(shí)，未知系統(tǒng)發(fā)生時(shí)變，圖7分別為不同信噪比背景下3種算法跟蹤收斂能力的曲線對(duì)比。

圖7 3種算法跟蹤收斂效果對(duì)比圖

由圖7 可以看出，當(dāng)未知系統(tǒng)發(fā)生時(shí)變時(shí)，3種算法均能保持較好的跟蹤能力。本文算法在3種算法中表現(xiàn)最優(yōu)，并且隨著信噪比的增加，這一優(yōu)勢(shì)也逐漸拉大。

為了分析本文提出算法在實(shí)際噪聲環(huán)境中的應(yīng)用效果，錄制了一段電腦風(fēng)扇噪聲并導(dǎo)入Matlab程序，采用本文算法對(duì)噪聲進(jìn)行有源噪聲控制。在實(shí)際仿真中設(shè)置信噪比SNR=5 dB，濾波器長(zhǎng)度為8。

圖8為3種算法作用下電腦風(fēng)扇殘余噪聲時(shí)域圖。從圖中可以看出,SVSLMS算法完成收斂需要迭代120次，改進(jìn)SVSLMS算法則需要80次，而本文算法在迭代50次左右就已完成收斂。除此之外，本文算法的魯棒性也明顯的優(yōu)于其他2種算法。

圖8 電腦風(fēng)扇殘余噪聲時(shí)域圖

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)在誤差信號(hào)與步長(zhǎng)之間建立另一非線性關(guān)系，本文提出了一種新的變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)濾波算法，達(dá)到了動(dòng)態(tài)改變步長(zhǎng)大小的目的，并且分析了變步長(zhǎng)函數(shù)中參數(shù)α,β對(duì)算法收斂的影響以及取值原則。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明，本文算法有效克服了SVSLMS算法在收斂階段步長(zhǎng)變化過(guò)快的弊端，與改進(jìn)的SVSLMS算法相比，雖然計(jì)算量有所增加，但可以獲取更好的收斂效果。該算法在后期需要在算法復(fù)雜度方面進(jìn)行優(yōu)化，減小算法的計(jì)算量。