具有Banach代數(shù)的錐D-度量空間和公共不動點定理

張學智,薛西鋒

(西北大學數(shù)學學院,陜西 西安 710127)

1 引言

1922年,Banach提出著名的壓縮映象原理[1].1992年,文獻[2]引入D-度量空間的定義,并在完備有界的D-度量空間中證得壓縮映射的不動點定理.1996年,文獻[3-4]給出相容映象的定義,并證明了相容映象具有公共的不動點,此外也有大量作者對多個相容映象的公共不動點問題作出研究[5-6].受Jungck的啟發(fā),文獻[7]在D-度量空間中引入相容映象的概念,并證明了D-度量空間中相容映象的公共不動點定理.

2007年,文獻[8]用序Banach空間代替實數(shù),引入了錐度量空間,一些學者在此空間中得到了單個自映射的不動點定理和多個相容映象的公共不動點定理[9-10].2013年,文獻[11]用Banach代數(shù)代替序Banach空間得到具有Banach代數(shù)的錐度量空間,與度量空間相比較,其空間結構發(fā)生了改變.近來,許多作者在刪去錐的正規(guī)性條件后,用不同的方法在不動點理論方面作出新的研究.

基于以上內容,本文將錐D-度量和Banach代數(shù)糅合在一起,得到具有Banach代數(shù)的錐D-度量空間的定義,并在刪去錐的正規(guī)性的條件下證得2個相容映象的公共不動點定理,主要結果改進了已有文獻的一些結論.

2 預備知識

設A為實的Banach代數(shù)，即A是具有乘法運算的實Banach空間，其運算具備以下性質(對任意的x,y,z∈A,α∈R,):(1)(xy)z=x(yz);(2)x(y+z)=xy+xz;(3)α(xy)=(αx)y=x(αy);(4).

本文總假設實Banach代數(shù)A具有單位元（即乘法單位元）e,滿足對任意x∈A均有ex=xe=x.一個元素x∈A稱為可逆的,如果存在一個元素（稱為它的一個逆元）y∈A使得xy=yx=e.x的逆元記作x?1.更詳細的內容可以參照文獻[12].

下面是本文用到的一些重要的定義和引理.

引理2.1[12]設A是具有單位元 e的 Banach代數(shù),x∈A.若x的譜半徑ρ(x)<1,即.則e?x是可逆的,并且有.

注記2.1[13]若ρ(x)<1,則∥xn∥→0(n→ ∞).

引理2.2[13]設A是具有單位元e的Banach代數(shù),x,y∈A.若x和y可交換,則有下列式子成立:

(1)ρ(xy)≤ρ(x)ρ(y);

(2)ρ(x+y)≤ρ(x)+ρ(y);

(3)|ρ(x)?ρ(y)|≤ρ(x?y).

引理2.3[13]設A是具有單位元e的Banach代數(shù),k∈A.若0≤ρ(k)<1,則

定義2.1[8]設A是具有單位元 e的 Banach代數(shù),A的一個非空閉凸子集P稱為錐,若 (1){θ,e}?P;(2)αP+βP?P對任意的非負實數(shù)α,β均成立;(3)P2=P·P?P;(4)P∩(?P)={θ}.其中θ為Banach代數(shù)A中的零元.對于A中的錐P,定義半序≤如下:x≤y當且僅當y?x∈P;x

下文假定P為Banach代數(shù)A中的體錐,≤是由在P中定義的半序,N是自然數(shù)集.

定義 2.2 設X是非空集合,若映射D:X×X×X×X?→A滿足:

(1)θ≤D(x,y,z)對任意x,y,z,a∈X成立,D(x,y,z)=θ當且僅當x=y=z;

(2)D(x,y,z)=D(x,z,y)=D(y,x,z)=···;

(3)D(x,y,z)≤D(x,y,a)+D(x,a,z)+D(a,y,z),對任意x,y,z,a∈X.則D稱為X上的錐D-度量,(X,D)稱為具有Banach代數(shù)的錐D-度量空間.

下面給出一個具有Banach代數(shù)的錐D-度量空間的例子.

例2.1 設對任意的x∈A.定義乘法運算為xy(t)=x(t)y(t),t∈[0,1],則A是具有單位元e的Banach代數(shù).

設P={x∈A:x(t)≥0,t∈[0,1]},則P?A是一個非正規(guī)體錐[14].

令X=[0,1],定義映射D:X×X×X×X?→A如下:

則(X,D)是具有Banach代數(shù)A的錐D-度量空間.

定義2.3 設(X,D)為具有Banach代數(shù)A的錐D-度量空間,x∈X且{xn}為X中的序列,則

(1)稱{xn}收斂于x,若對任意滿足θ?c的向量c∈A,存在正整數(shù)N,使得D(xm,xn,x)?c對任意m,n>N成立,記為

(2)稱{xn}為Cauchy列,若對于任意滿足θ?c的向量c∈A,存在正整數(shù)N,使得D(xn,xn+1,xn+p)?c對任意n,p≥N成立.

(3)稱(X,D)為完備的錐D-度量空間,若(X,D)中的每一個Cauchy列在(X,D)中都收斂.

定義2.4 設(X,D)是具有Banach代數(shù)A的錐D-度量空間,稱X是D-有界的，若存在M≥0,使得D(x,y,z)≤M對任意的x,y,z,a∈X成立,M稱為X的D-有界數(shù).

引理2.4 設(X,D)是具有Banach代數(shù)A的錐D-度量空間,則

是連續(xù)的.即若

則

引理2.5[14-15]設E是具有體錐P的Banach空間,若θ≤u?c對任意θ?c成立,則u=θ.

引理2.6[14-15]設E是具有體錐P的Banach空間,{xn}∈A.若

則對任意θ?c,存在正整數(shù)N使得xn?c對任意n≥N成立.

定義2.5[16-17]設X是非空集合,映射T,S:X→X,若存在x∈X使得w=Tx=Sx,則稱w是T和S的疊合點.

定義2.6[18]設X是非空集合,映射T,S:X→X稱為弱相容的,對任意x∈X,如果Tx=Sx,都有TSx=STx成立.

引理2.7[16-17]設X是非空集合,映射T,S:X→X是弱相容的,若T,S在X中有唯一的疊合點w,即w=Tx=Sx,則w也是T和S的唯一公共不動點.

3 主要結果及其證明

定理3.1 設(X,D)是具有Banach代數(shù)的完備有界的錐D-度量空間,M是X的D-有界數(shù),P是A的非正規(guī)體錐,若映射T,S:X→X滿足

對任意的x,y,z∈X,其中α,β ∈P且 0≤ ρ(α)+ρ(β)<1,α,β可互換,此外,設有

(1)T(X)?S(X);

(2)S(X)是X的閉子空間;

(3)(T,S)是弱相容的.

則T,S在X中有唯一的公共不動點.

證明任選x0∈X,由T(X)?S(X),可構造序列{xn}和{yn}滿足

不妨設ynyn+1,n∈N,下證{yn}是 Cauchy列.

對任意的z∈X,有

由此得到

令λ=α+β,同理,有

依次進行此過程，可得

對任意固定的P∈N,存在yn+p∈X使得

又因為

由注記 2.1,可得→0(n→∞).

由于M是X的D-有界數(shù),故

故由引理 2.6知,對任意c∈A且θ?c,存在正整數(shù)N使得對任意的n>N時,有θ≤D(yn,yn+1,yn+p)?c成立.

因此,{yn}是X中的Cauchy列.由于S(X)是完備空間X的閉子空間,故S(X)也是完備的,因而存在u∈S(X)使得,從而,下證u是T,S的唯一的疊合點.

由于u∈S(X),知存在q∈X使得Sq=u.首先證Tq=Sq=u.因為D是連續(xù)的,所以有

又D(Tq,Sq,Sq)=D(Tq,u,u),故 (e?β)D(Tq,u,u)≤θ.

于是D(Tq,u,u)=θ,因此Tq=u=Sq,即u為T,S的疊合點.下證u的唯一性,不妨設v=Tq′=Sq′為T,S的另一疊合點,有

化簡得 (e?α)D(u,v,u)≤θ.故D(u,v,u)=θ,即u=v.所以u是T,S的唯一的疊合點.根據(jù)引理2.7,由T,S的弱相容性,知u是T,S的唯一的公共不動點.

定理3.2 設(X,D)是具有Banach代數(shù)的完備有界的錐D-度量空間,M是X的D-有界數(shù),P是A的非正規(guī)體錐,對任意的x,y,z∈X,若自映射T,S:X→X滿足

對任意的x,y,z∈X,其中α,β,γ∈P且 0≤ρ(α)+ρ(β)+ρ(γ)<1,α,β,γ可互換,此外,設有(1)T(X)?S(X);(2)S(X)是X的閉子空間;(3)(T,S)弱相容的.則T,S在X中有唯一的公共不動點.

證明任意選定x0∈X,由T(X)?S(X),可構造迭代序列{xn}和{yn}滿足

不妨設ynyn+1,n∈N,下證{yn}是 Cauchy列.

對任意的n,p∈N,有

于是推出

令

依次進行此過程,有D(yn,yn+1,yn+p)≤λnD(y0,y1,yp).

由于M是X的D-有界數(shù),故又

由引理2.6知,對任意θ?c且c∈A,存在正整數(shù)N使得對任意n≥N時,有

故{yn}是X中的Cauchy列,由X的完備性,S(X)是X的閉子空間知S(X)是完備的,從而存在u∈S(X)使得,也有,下證u是T,S的唯一疊合點.由u∈S(X)知存在q∈X使得Sq=u,首先證明Tq=Sq=u,有

由D的連續(xù)性,令n→∞,上式兩端同時取極限,可得

可推得 (e? γ)?1D(u,u,Tq)≤θ.因此,D(u,u,Tq)=θ,于是Tq=u=Sq.即u為T,S的疊合點,下證u是唯一的,不妨設v=Tq′=Sq′是T,S的另一疊合點,則有

化簡得 (e?α?β?γ)D(Tq,Tq,Tq′)≤θ.則D(Tq,Tq,Tq′)=θ,即u=Tq=Tq′=v,故u是T,S的唯一的疊合點.

又因為T,S是弱相容的,即當u=Tu=Su,有TSu=STu.故由引理2.7知u是T,S的唯一的公共不動點.

推論3.1 設(X,D)是具有Banach代數(shù)的完備有界的錐D-度量空間,M是X的D-有界數(shù),P是A的非正規(guī)體錐,若自映射T,S:X→X,m,t為正整數(shù),滿足

對任意的x,y,z∈X,其中α,β∈P且 0≤ρ(α)+ρ(β)<1,α,β可互換,此外,設有 (1)Tm(X)?St(X);(2)St(X)是X的閉子空間;(3)(Tm,St)是弱相容的.則T,S在X中有唯一的公共不動點.

證明由定理2.1知,Tm和St有唯一的公共不動點u.當m=1時,Tu=Stu=u,由條件(3)知,TStu=StTu,所以有Tm(Tu)=T(Tmu)=Tu=T(Stu)=St(Tu),上式說明Tu為Tm,St的公共不動點.由u的唯一性,可得Tu=u.

同理,Su=u.故T,S有唯一的公共不動點.

推論3.2 設(X,D)是具有Banach代數(shù)的完備有界的錐D-度量空間,M是X的D-有界數(shù),P是A的非正規(guī)體錐,若自映射T,S:X→X,m,t為正整數(shù),滿足

對任意的x,y,z∈X,其中α,β∈P且 0≤ρ(α)+ρ(β)+ρ(γ)<1,α,β可互換,此外,設有

(1)Tm(X)?St(X);(2)St(X)是X的閉子空間;(3)(Tm,St)是弱相容的.則T,S在X中有唯一的公共不動點.

證明類似于推論3.1.