基于迭代正則化高斯-牛頓法的非線性Urysohn積分方程數(shù)值解

陳亞文,仝云莉,閔濤

(西安理工大學(xué)理學(xué)院,陜西 西安 710054)

1 引言

在物理學(xué)、力學(xué)和工程技術(shù)諸多領(lǐng)域都存在大量的非線性不適定問題,例如參數(shù)識(shí)別問題、逆散射問題、逆位勢(shì)問題以及第一類Fredholm積分方程求解問題等[1].這類問題一般歸結(jié)為求解下面的非線性不適定算子方程:

其中,F:D?X→Y是定義域?yàn)镈的非線性算子,X,Y為Hilbert空間.當(dāng)(1)式的解不連續(xù)依賴于右端數(shù)據(jù)y時(shí),稱(1)式為不適定的.在實(shí)際問題中,右端數(shù)據(jù)y通常是由測(cè)量得到的,因而得到的數(shù)據(jù)是一個(gè)滿足∥yδ?y∥≤δ的近似數(shù)據(jù)yδ,這里δ>0是給定的很小的擾動(dòng)水平[2-4].

一個(gè)典型的例子就是Urysohn型非線性算子方程[5]:

這里x(s)未知,K(t,s,x(s))為定義在 [a,b]×[a,b]×R上的核函數(shù),且非線性依賴于x(s).

由于上述問題的不適定性,為了獲得穩(wěn)定的、準(zhǔn)確的數(shù)值解,就必須使用正則化方法.本文利用迭代正則化高斯-牛頓法求解問題(1)或問題(2).此外,采用Sigmoid-型函數(shù)確定正則化參數(shù),由于Sigmoid-型函數(shù)的性質(zhì),隨著迭代次數(shù)的增加,函數(shù)值不斷減小并逐漸趨于0,以此來(lái)確定一個(gè)最佳的正則化參數(shù).

2 迭代正則化高斯 -牛頓法

設(shè)方程(1)有解x?(不必唯一),yδ是y的擾動(dòng),

如用牛頓法求解方程(1),則由線性化方程

確定xk+1.一般情況下,F′是不可逆的,需要通過正則化方法來(lái)求得其解x?的近似.

為此,可定義泛函

其中,α>0為正則化參數(shù),?(x)為先驗(yàn)條件.要求無(wú)約束最優(yōu)化問題(5)的解,首先將算子F線性化,利用F(x)在第k次迭代點(diǎn)xk處的泰勒展開式,得到

其中?(x)=∥L(x?x0)∥為穩(wěn)定泛函,L是單位矩陣(L=L0=I∈Rn×n)或者是一階算子的離散近似,即 [L1]ij=δi,j?δi,j?1,i=1,2,···,n?1,其中,δi,j為克羅內(nèi)克符號(hào),j=1,2,···,n,方程(6)通過一階最優(yōu)條件求解,可得到:

(7)式稱為迭代正則化高斯-牛頓法[6-7],簡(jiǎn)記為IRGN法.αk表示正則化參數(shù)且為單調(diào)遞減序列并滿足:

正則化參數(shù)的選取規(guī)則(8)是保證正則化方法收斂的必要條件,即當(dāng)擾動(dòng)水平趨于0時(shí),正則解收斂到真解.有關(guān)此迭代算法的收斂性定理的證明可參考文獻(xiàn)[8-12].

3 離散化

為了數(shù)值求解(2),需要將其離散化,離散化的方法有很多,這里采用梯形公式進(jìn)行離散.將(7)式改寫為如下形式:

要得到F′(xk)TF′(xk),需要求解非線性算子F的 Fréchet導(dǎo)數(shù).

令K(t,s,x(s))為定義在a≤t,s≤b,|x|≤r上的函數(shù),并設(shè)

處處連續(xù).積分算子F為[a,b]上的連續(xù)函數(shù),并且在開球上Fréchet可導(dǎo),對(duì)任意的x0∈C[a,b]且,h∈C[a,b],可得到F的 Fréchet導(dǎo)數(shù)為:

上述(9)式定義的算子是[a,b]上的線性連續(xù)算子.

事實(shí)上,對(duì)于確定的θ=θ(h)∈[0,1],有

因此F的Fréchet導(dǎo)數(shù)可以通過(9)式得到.

利用梯形公式將方程(9)進(jìn)行離散:把區(qū)間[a,b]等分成N個(gè)小區(qū)間,其步長(zhǎng)為

令s0=a,sj=a+j△s,同理

設(shè)x(sj)=xj,則有

改寫成矩陣形式為:

其中

利用迭代正則化高斯-牛頓法可得到:

其中

因此得到迭代格式x(k+1)=x(k)+h(k),通過此格式便可求出(2)的近似解.

實(shí)現(xiàn)上述算法的關(guān)鍵在于選擇合適的正則化參數(shù)αk.本文基于Sigmoid-型函數(shù)的性質(zhì),按如下方法選取正則化參數(shù):按照(11)式選擇的正則化參數(shù),不難驗(yàn)證其滿足下列條件:

可以看到,根據(jù)上述正則化參數(shù)的選取方法,在迭代開始時(shí)能夠充分對(duì)問題進(jìn)行正則化,然后隨著迭代數(shù)的增加正則化參數(shù)逐漸減小,達(dá)到解穩(wěn)定的目的.

4 數(shù)值模擬

考慮重力測(cè)定中的一個(gè)實(shí)際問題[13-15].它在地球物理反演中經(jīng)常遇到,是一個(gè)典型的研究問題.設(shè)有一物體,其密度與環(huán)繞其周圍的介質(zhì)的密度不同.問題是通過測(cè)定由于重力場(chǎng)作用產(chǎn)生的隅角來(lái)判斷物體的形狀.

假設(shè)地面下 (z=0)介質(zhì)的密度分布不均勻,為簡(jiǎn)單計(jì),設(shè)有兩種密度分布ρ1和ρ2,它們被一邊界z(x)隔開(見圖1).

圖1 重力測(cè)定原理圖

在如此的設(shè)定下,由于重力場(chǎng)的作用,可以在地表測(cè)得一隅角為其中V是由于密度差ρ=ρ2?ρ1引起的位勢(shì).

而隅角?g是可以測(cè)定的,于是問題就是要確定邊界z(x).這就化歸為求解如下的非線性Urysohn積分方程:

其中F是一個(gè)非線性算子.

在數(shù)值求解之前,先做如下規(guī)定:

1.用L∞表示誤差范數(shù),即

2.用RE表示相對(duì)誤差,即

其中,sj為節(jié)點(diǎn),N為區(qū)間[a,b]上均勻分布的節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù),x(s)為精確解,為數(shù)值解.

數(shù)值模擬 (12)式,取 [a,b]=[?1,1],H=2,N=100,L=L1,迭代次數(shù)選為 15,若正則化參數(shù)取為 0時(shí),解的相對(duì)誤差達(dá)到 8.734 983 656 596 983e+006,計(jì)算結(jié)果嚴(yán)重失真.因此需要正則化處理,本文選取正則化參數(shù)為:,初始猜測(cè)x(0)=(0.5,0.5,···,0.5),擾動(dòng)分別為δ=0,0.005,0.01,0.05時(shí),相應(yīng)的L∞和 RE分別如表1所示,當(dāng)δ=0,δ=0.05時(shí)精確解與數(shù)值解的比較如圖2和圖3所示.迭代次數(shù)選為40,δ=0.05時(shí)相對(duì)誤差隨迭代次數(shù)的變化如圖4所示,迭代次數(shù)選為15,當(dāng)δ=0.05時(shí)相對(duì)誤差隨迭代次數(shù)的變化如圖5所示.

表1 同一初始猜測(cè)、不同擾動(dòng)、相同迭代數(shù)下所得誤差比較

圖2 迭代正則化牛頓法所得精確解與數(shù)值解的比較,δ=0

圖3 迭代正則化牛頓法所得精確解與數(shù)值解的比較,δ=0.05

圖4 迭相對(duì)誤差隨迭代次數(shù)的變化,δ=0.05

圖5 迭相對(duì)誤差隨迭代次數(shù)的變化,δ=0.05

取迭代次數(shù)K=15,擾動(dòng)δ=0.05時(shí),不同的初始猜測(cè)所得誤差如表2所示:

表2 不同初始猜測(cè)、同一擾動(dòng)、相同迭代數(shù)下所得誤差比較

取初始猜測(cè)x(0)=(0.5,0.5,···,0.5),擾動(dòng)δ=0.05時(shí),不同的迭代次數(shù)所得誤差如表3所示:

表3 相同初始猜測(cè)、同一擾動(dòng)、不同迭代數(shù)所得誤差比較

從表1可以看出,在初始猜測(cè)不變,迭代數(shù)相同的情況下,隨著擾動(dòng)的增加,求解誤差相對(duì)較小,解的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性更高,具體比較見圖2和圖3.此外,由圖4可知,當(dāng)?shù)_始時(shí)誤差急劇下降,然后趨于平緩,當(dāng)?shù)螖?shù)增加時(shí),又出現(xiàn)相對(duì)誤差變大情況,即半收斂現(xiàn)象,見圖5.在實(shí)際應(yīng)用時(shí),可以通過誤差限選取迭代次數(shù).從表2可以看出,在擾動(dòng)水平相同、迭代數(shù)相同的情況下,隨著初始猜測(cè)的變化,相對(duì)誤差幾乎不變,說(shuō)明在一定的范圍內(nèi)初始猜測(cè)對(duì)解的影響不大;從表3可以看出,在初始猜測(cè)不變、擾動(dòng)水平相同的情況下,隨著迭代數(shù)的增加,相對(duì)誤差有所增加,但精度還是可以接受的.

5 結(jié)論

本文采用迭代正則化高斯-牛頓法求解非線性Urysohn積分方程,通過對(duì)重力測(cè)定中的一個(gè)實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)值模擬,結(jié)果表明:迭代正則化高斯-牛頓法在求解此類問題時(shí)具有誤差小,數(shù)值解的穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性較高的優(yōu)點(diǎn).