CoreXY機(jī)構(gòu)3D打印機(jī)運(yùn)動(dòng)控制算法研究

（河北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 機(jī)械工程系，天津 300130）

0 引言

近年來(lái)3D打印機(jī)、激光雕刻機(jī)、激光切割機(jī)以及激光打標(biāo)機(jī)等智能設(shè)備興起，引發(fā)了科技愛(ài)好者的興趣。CoreXY機(jī)構(gòu)是廣泛應(yīng)用于這些設(shè)備中的機(jī)構(gòu)之一，CoreXY結(jié)構(gòu)相對(duì)緊湊，同樣體積的情況下，可以實(shí)現(xiàn)相對(duì)較大的打印尺寸；對(duì)于CoreXY結(jié)構(gòu)，在XY平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)電機(jī)都固定，降低了運(yùn)動(dòng)部件的重量，這樣也就降低了運(yùn)動(dòng)部件的慣性，同樣驅(qū)動(dòng)力的情況下，加速度更高，帶來(lái)的效果就是運(yùn)動(dòng)更加敏捷。相對(duì)于笛卡爾直角坐標(biāo)機(jī)構(gòu)、Delta機(jī)構(gòu)[1]，CoreXY機(jī)構(gòu)具有明顯的優(yōu)勢(shì)。為了更加高效精確的控制它，目前比較流行的是廣泛用于數(shù)控機(jī)床控制的插補(bǔ)算法，常用的插補(bǔ)算法有逐點(diǎn)比較法、最小偏差法、Bresenham直線(xiàn)生成算法（計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中繪制直線(xiàn)的一種經(jīng)典算法[2]）等。這些算法的優(yōu)點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單、插補(bǔ)計(jì)算速度快、插補(bǔ)誤差較小，但同時(shí)也存在如下缺點(diǎn)：1）不能兩軸聯(lián)動(dòng)，影響加工精度；2）插補(bǔ)次數(shù)多，執(zhí)行時(shí)間長(zhǎng)，影響生產(chǎn)效率[3]。所以為了提高機(jī)構(gòu)的執(zhí)行效率和加工精度，引入一種高精度高效率的算法尤為重要。

熔融沉積成型（Fused Deposition Modeling，F(xiàn)DM）是將絲狀的熱熔性材料加熱融化，同時(shí)三維擠出機(jī)構(gòu)在計(jì)算機(jī)的控制下，根據(jù)截面輪廓信息，將材料選擇性地涂敷在工作臺(tái)上，快速冷卻后形成一層截面。一層成型完成后，機(jī)器工作臺(tái)下降一個(gè)高度（即分層厚度）再成型下一層，直至形成整個(gè)實(shí)體造型[4]。對(duì)于CoreXY 結(jié)構(gòu)的FDM型3D打印機(jī)來(lái)說(shuō)，為了快速的打印出高精度的產(chǎn)品模型，需要對(duì)打印機(jī)的X軸、Y軸、Z軸以及E軸（擠出機(jī)構(gòu)）的聯(lián)動(dòng)控制，四者密切配合運(yùn)動(dòng)、缺一不可。尤其是X、Y平面的運(yùn)動(dòng)對(duì)一臺(tái)3D打印機(jī)的打印質(zhì)量尤為重要；因此實(shí)現(xiàn)對(duì)平面機(jī)構(gòu)的控制成為3D打印的核心。本文著重論述CoreXY平面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)控制，Z軸和E軸的運(yùn)動(dòng)控制相對(duì)較為簡(jiǎn)單，不再詳細(xì)論述。目前一些主流的3D打印機(jī)固件不開(kāi)源、國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究資料較少，算法改進(jìn)與移植困難，這給我們的研究帶來(lái)困難。本文將數(shù)控技術(shù)應(yīng)用于3D打印行業(yè)，這將會(huì)大大方便3D打印愛(ài)好者的開(kāi)發(fā)，同時(shí)也降低了入門(mén)難度。CoreXY結(jié)構(gòu)3D打印機(jī)由于其獨(dú)特的傳動(dòng)方式，以及其較其他機(jī)構(gòu)的鮮明優(yōu)勢(shì)，這種機(jī)構(gòu)的應(yīng)用前景將不可限量。

為了更準(zhǔn)確高效地實(shí)現(xiàn)對(duì)CoreXY機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)控制，本文對(duì)CoreXY結(jié)構(gòu)所獨(dú)有的X、Y平面機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)特性分析，將該機(jī)構(gòu)與典型的直角坐標(biāo)機(jī)構(gòu)建立一定的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化關(guān)系，引入了一種比最小偏差法更優(yōu)的算法。

1 機(jī)構(gòu)特點(diǎn)與運(yùn)動(dòng)分析

CoreXY機(jī)構(gòu)最大特點(diǎn)是步進(jìn)電機(jī)都固定在機(jī)架一側(cè)，無(wú)論運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)沿X軸還是沿Y軸向運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)步進(jìn)電機(jī)都不會(huì)隨著機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)，因此減輕了機(jī)器在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的負(fù)擔(dān)，使運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)作更加平穩(wěn)。CoreXY機(jī)構(gòu)的原理圖如圖1所示。整個(gè)機(jī)構(gòu)的各種運(yùn)動(dòng)方式都是通過(guò)一根皮帶的傳動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，這種傳動(dòng)方式可以有效減輕振動(dòng)，且避免了安裝絲杠、移動(dòng)步進(jìn)電機(jī)的負(fù)擔(dān)，使整體結(jié)構(gòu)更加簡(jiǎn)單，運(yùn)動(dòng)更加靈活，能夠在一定程度上提高機(jī)構(gòu)的工作效率。

機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)位移ΔX，ΔY與步進(jìn)電機(jī)M1、M2的線(xiàn)位移ΔA、ΔB之間的關(guān)系如式(1)和(2)所示：

解方程組可得：

上式中：ΔX、ΔY 分別為3D打印機(jī)工料擠出機(jī)構(gòu)所在的滑塊分別沿X正方向和沿Y正方向的位移，ΔA、ΔB分別為步進(jìn)電機(jī)M1、M2的線(xiàn)位移，為了方便以順時(shí)針為負(fù)、逆時(shí)針為正來(lái)標(biāo)記ΔA、ΔB的方向。

圖1 CoreXY 機(jī)構(gòu)傳動(dòng)原理示意圖

當(dāng)步進(jìn)電機(jī)M1和M2以相同的速度順時(shí)針或逆時(shí)針同向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，機(jī)構(gòu)的滑塊就會(huì)沿X軸方向水平運(yùn)動(dòng)，ΔA、ΔB的大小、方向相同；此時(shí)有：

當(dāng)步進(jìn)電機(jī)M1和M2以相同的速度、相反的方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，機(jī)構(gòu)的滑塊就會(huì)沿Y軸方向運(yùn)動(dòng)，此時(shí)：ΔA、ΔB的大小相同，方向相反；此時(shí)：

當(dāng)步進(jìn)電機(jī)M1轉(zhuǎn)動(dòng)，步進(jìn)電機(jī)M2靜止時(shí)，滑塊將沿著Y=X方向移動(dòng)；此時(shí)：

同理當(dāng)步進(jìn)電機(jī)M2轉(zhuǎn)動(dòng)，步進(jìn)電機(jī)M1靜止時(shí)，滑塊將沿著Y=-X方向移動(dòng)；此時(shí)：

由上可知，CoreXY機(jī)構(gòu)可以非常方便的實(shí)現(xiàn)滑塊沿著X、Y軸方向和Y=X、Y=-X方向移動(dòng)，這就為下文的控制算法引入埋下伏筆。

2 運(yùn)動(dòng)控制算法研究

2.1 逐點(diǎn)比較法

這里我們先引入逐點(diǎn)比較法，逐點(diǎn)比較法的廣泛應(yīng)用于數(shù)控領(lǐng)域，近來(lái)隨著增材制造和激光加工的興起，該算法也被應(yīng)用于FDM型3D打印機(jī)的控制中。

要實(shí)現(xiàn)3D打印機(jī)的連續(xù)運(yùn)動(dòng)，需要將建立好的三維模型用切片軟件進(jìn)行切片，得到所需打印模型的G代碼，代碼中存放的是無(wú)數(shù)層切片的坐標(biāo)值，要重復(fù)這些軌跡，就要實(shí)現(xiàn)擠出機(jī)構(gòu)從當(dāng)前點(diǎn)C（X0，Y0）到目標(biāo)點(diǎn)D（X1，Y1）的插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)[5]。

逐點(diǎn)比較法插補(bǔ)過(guò)程的每一步都要經(jīng)過(guò)以下四個(gè)工作節(jié)拍。

1）坐標(biāo)判斷：計(jì)算擠出機(jī)構(gòu)的當(dāng)前位置C（X0，Y0）與目標(biāo)位置D（X1，Y1）的差值Xe，Ye，并根據(jù)Xe，Ye的符號(hào)，判斷進(jìn)給方向。

2）坐標(biāo)進(jìn)給：根據(jù)當(dāng)前偏差Fn判別的結(jié)果，控制機(jī)構(gòu)沿相應(yīng)的坐標(biāo)軸進(jìn)給一步，使擠出機(jī)構(gòu)向模型輪廓靠攏。

3）偏差計(jì)算：擠出機(jī)構(gòu)進(jìn)給一步后，針對(duì)新的擠出機(jī)構(gòu)位置，計(jì)算新的偏差值Fn+1。

4）終點(diǎn)判別：擠出機(jī)構(gòu)進(jìn)給一步后，需要判別擠出機(jī)構(gòu)是否已經(jīng)到達(dá)零件輪廓的終點(diǎn)。如果已經(jīng)到達(dá)終點(diǎn)，則停止插補(bǔ)過(guò)程，目標(biāo)位置賦值為當(dāng)前位置；如果未到達(dá)終點(diǎn)，則返回到第1）步，重復(fù)上述四個(gè)節(jié)拍[6]。表1為打印機(jī)擠出機(jī)構(gòu)各卦限的運(yùn)動(dòng)判斷公式。

表1 逐點(diǎn)比較法插補(bǔ)公式表

擠出機(jī)構(gòu)在具體卦限的具體進(jìn)給方向和偏差判斷如圖2，偏差F≥0時(shí)，擠出機(jī)構(gòu)沿著X軸運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)＜0時(shí)擠出機(jī)構(gòu)沿著Y軸運(yùn)動(dòng)，步進(jìn)電機(jī)M1和M2以相同的速度順時(shí)針或逆時(shí)針同向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，就可以沿著X軸運(yùn)動(dòng)，步進(jìn)電機(jī)M1和M2以相同的速度順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)聪蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，就可以沿著Y軸運(yùn)動(dòng)。不妨假設(shè)步進(jìn)電機(jī)的脈沖當(dāng)量為0.1mm，當(dāng)前點(diǎn)為C（0，0），目標(biāo)點(diǎn)為D（0.5，0.7）或D（0.7，0.5），圖3為經(jīng)MATLAB仿真得到逐點(diǎn)比較法的運(yùn)動(dòng)效果圖，圖中的細(xì)線(xiàn)代表實(shí)際走過(guò)軌跡，粗線(xiàn)代表理想軌跡，由圖3我們可以明顯的看出，從一點(diǎn)到另一點(diǎn)，由于機(jī)構(gòu)只沿著X或Y軸運(yùn)動(dòng)存在很大的誤差，而且插補(bǔ)效率很低。

圖2 逐點(diǎn)比較法運(yùn)動(dòng)判斷圖

圖3 逐點(diǎn)比較法運(yùn)動(dòng)效果

2.2 最小偏差法

最小偏差法和逐點(diǎn)比較法的執(zhí)行步驟、判斷依據(jù)基本一致，有所不同的是最小偏差法引入了不止沿著x軸和y軸插補(bǔ)，還引入了45度角插補(bǔ)，共把一個(gè)平面區(qū)域分成了八個(gè)卦限[7]，其各卦限進(jìn)給方向和偏差關(guān)系如表2所示，在具體卦限的具體進(jìn)給方向和偏差判斷如圖4所示，F(xiàn)為偏差，F(xiàn)≥0時(shí)，擠出機(jī)構(gòu)沿Y=X或Y=-X運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)＜0時(shí)擠出機(jī)構(gòu)沿著X或Y軸運(yùn)動(dòng)，步進(jìn)電機(jī)M1和M2以相同的速度順時(shí)針或逆時(shí)針同向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，就可以沿著X軸運(yùn)動(dòng)，步進(jìn)電機(jī)M1和M2以相同的速度順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)聪蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，就可以沿著Y軸運(yùn)動(dòng)，當(dāng)步進(jìn)電機(jī)M1轉(zhuǎn)動(dòng)，步進(jìn)電機(jī)M2靜止時(shí)，滑塊將沿著Y=X方向移動(dòng)；當(dāng)步進(jìn)電機(jī)M2轉(zhuǎn)動(dòng)，步進(jìn)電機(jī)M1靜止時(shí)，滑塊將沿著Y=-X方向移動(dòng)。

同樣以0.1mm為步進(jìn)電機(jī)的脈沖當(dāng)量，假設(shè)當(dāng)前點(diǎn)為C（0，0），目標(biāo)點(diǎn)為D（0.4，0.7）或D（0.7，0.4），經(jīng)過(guò)MATLAB仿真得到最小偏差法運(yùn)動(dòng)效果圖5，圖中的細(xì)線(xiàn)代表實(shí)際走過(guò)軌跡，粗線(xiàn)代表理想軌跡，由圖5可知，最小偏差法比逐點(diǎn)比較法在效率和精度上有了明顯的提高，但依然存在著較大的誤差，效率也并不高，所以現(xiàn)在就引入改進(jìn)算法。以上兩種算法只局限于沿著X軸、Y軸和45度方向進(jìn)給，其他角度的直線(xiàn)只能靠插補(bǔ)來(lái)實(shí)現(xiàn)。我們不妨假設(shè)，可以沿著其他角度插補(bǔ)，這就需要兩個(gè)步進(jìn)電機(jī)同時(shí)以不同的速度運(yùn)動(dòng)，這樣就可以實(shí)現(xiàn)各種角度的高精度、高效率運(yùn)動(dòng)。

表2 最小偏差法插補(bǔ)公式表

圖4 最小偏差法運(yùn)動(dòng)判斷

圖5 最小偏差法運(yùn)動(dòng)效果圖

2.3 改進(jìn)算法

2.3.1 原理描述

為了實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)X、Y軸的聯(lián)動(dòng)，需使電機(jī)M1和M2同時(shí)以不同速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)開(kāi)始同時(shí)結(jié)束，其第一卦限運(yùn)動(dòng)示意圖如6所示。

圖6 改進(jìn)算法運(yùn)動(dòng)示意圖

由圖6可知，對(duì)于任意方向的直線(xiàn)插補(bǔ)，ΔX和ΔY的大小并不一定相同，此時(shí)：

由此我們可以得到兩個(gè)步進(jìn)電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)的線(xiàn)位移的比例關(guān)系，兩個(gè)電機(jī)需要在相同時(shí)間完成轉(zhuǎn)動(dòng)，所以電機(jī)的位移之比等于角速度之比，又由于步進(jìn)電機(jī)的角速度ω1、ω2是由控制器輸出的脈沖的周期T1、T2決定，所以可得：

由式(7)可知我們可以通過(guò)控制其輸出脈沖的周期以達(dá)到控制機(jī)構(gòu)滑塊沿著任意方向運(yùn)動(dòng)。

這種方法的難點(diǎn)在于周期大小選擇，脈沖周期過(guò)大和過(guò)小都會(huì)無(wú)法驅(qū)動(dòng)步進(jìn)電機(jī)，所以我們可通過(guò)設(shè)置及極限值的方法來(lái)限制不合適的脈沖，步進(jìn)電機(jī)可以平穩(wěn)驅(qū)動(dòng)的脈沖周期大約為10μ s～3ms，對(duì)于128細(xì)分的驅(qū)動(dòng)器，最小的驅(qū)動(dòng)周期可達(dá)3μs；對(duì)于普通的驅(qū)動(dòng)器沒(méi)有那么多細(xì)分，由式(7)可知，當(dāng)直線(xiàn)方向接近Y=X時(shí)，驅(qū)動(dòng)步進(jìn)電機(jī)M2的脈沖周期則趨于無(wú)窮大，這樣這種方法就會(huì)產(chǎn)生死區(qū)，為了解決這一缺陷我們可以采取和最小偏差法相結(jié)合的方法，在死區(qū)時(shí)采用最小偏差法，其他時(shí)候采用這種方法，這樣就會(huì)大大提高機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)速度和精度。

2.3.2 算法實(shí)現(xiàn)步驟

對(duì)于算法的實(shí)現(xiàn)，需要確定CoreXY機(jī)構(gòu)兩個(gè)步進(jìn)電機(jī)的旋轉(zhuǎn)方向、驅(qū)動(dòng)脈沖周期以及脈沖數(shù)目，因此可以分為以下3個(gè)步驟：

若符合要求，則適用改進(jìn)算法；若不符合，則適用最小偏差法。

2）電機(jī)方向和步數(shù)確定：步進(jìn)電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)方向和轉(zhuǎn)動(dòng)步數(shù)可以由下式確定：

式中X、Y為擠出機(jī)構(gòu)沿X軸和Y軸脈沖當(dāng)量的數(shù)目，可以通過(guò)Xe，Ye分別除以脈沖當(dāng)量得到，A、B分大小別為步進(jìn)電機(jī)M1和M2所需轉(zhuǎn)動(dòng)的脈沖數(shù)，符號(hào)代表步進(jìn)電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。

3）電機(jī)脈沖周期確定：由式(7)可以確定步進(jìn)兩個(gè)步進(jìn)電機(jī)脈沖周期之比，通常以周期較小者為基準(zhǔn)周期，基準(zhǔn)周期選用可平穩(wěn)驅(qū)動(dòng)步進(jìn)電機(jī)的最小周期Tmin。

假設(shè)取當(dāng)前點(diǎn)為C（11.3，-8.4），目標(biāo)點(diǎn)為D（12.5，-8.7），脈沖當(dāng)量為0.01mm，規(guī)定最小周期Tmin=0.5ms，最大周期Tmax=2.5ms，則易得Xe=1.2，Ye=-0.3，換算為脈沖當(dāng)量數(shù)目為X=120，Y=-30，方向?yàn)榈谒南笙蕖?/p>

（1）由式(8)知Xe，Ye在不等式范圍內(nèi)，適用改進(jìn)算法。

（2）由式(9)、式(10)計(jì)算得A=90，B=150，步進(jìn)電機(jī)M1的需要轉(zhuǎn)動(dòng)的脈沖數(shù)為90，方向?yàn)槟鏁r(shí)針，步進(jìn)電機(jī)M2的需要轉(zhuǎn)動(dòng)的脈沖數(shù)為150，方向?yàn)槟鏁r(shí)針。

3 結(jié)束語(yǔ)

我們分析了CoreXY機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性以及基于該機(jī)構(gòu)3D打印機(jī)的常用運(yùn)動(dòng)控制算法，對(duì)比的各種算法的優(yōu)缺點(diǎn)，提出了一種改進(jìn)算法，運(yùn)用這種算法，配合數(shù)據(jù)校正算法，再配合步進(jìn)電機(jī)的梯形加減速算法[8]，PID算法控制擠出絲的溫度，配合Z軸和E軸的運(yùn)動(dòng)，可以獲得很好的打印精度和速度。